微专题5.1 导数的概念及其意义12种常考题型讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

2025-2026学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-1 导数的概念及其意义12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 解题策略1 如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 注：（1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 解题策略2 求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 题型1 平均变化率 1．（2026高二·全国·专题练习）对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 【答案】C 【分析】根据增量和的概念判断即可. 【详解】可为正、可为负、不可为0；可为正、可为负、可为0. 故选：C. 2．（2026高二·江苏徐州·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【分析】根据平均变化率定义直接计算可得结果. 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为, 故答案为：3. 3．（2026高二·天津河西·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 【答案】D 【分析】直接求解即可. 【详解】平均变化率. 故选：D 4．（2026高二·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率的定义即可求得. 【详解】由平均变化率定义得， 故选：C. 5．（2026高三·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 【答案】 【分析】由平均变化率的定义即可求解. 【详解】由平均变化率的定义可得：， 故答案为： 6．（2026高二·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 7．（2026高二·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 【答案】B 【分析】由函数的平均变化率定义进行求解． 【详解】由题意， ， ， 故． 故选：B 8．（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义列方程求解即可. 【详解】依题意有，解得. 故选：B. 9．（2026高二·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 题型2 瞬时变化率 10．（2026高二·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 【答案】A 【分析】利用导数求出的值，即可得出答案. 【详解】因为，则，故. 当时，该质点的瞬时速度为. 故选：A. 11．（2026高三·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 【答案】 【分析】由瞬时变化速度计算公式计算即可得. 【详解】， 则火箭在时的瞬时速度为. 故答案为：. 12．（2026高二·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对球体体积公式求导，结合瞬时变化率的定义求时的瞬时变化率. 【详解】因为，所以，故时，的瞬时变化率为. 故选：B 13．（2026高二·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的意义求解. 【详解】由，得， 则， 令， 得. 故选：B. 14．（2026高二·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的运算公式，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由题意知，位移与时间的关系是，可得， 可得. 故选：C. 15．（2026·甘肃白银·模拟预测）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 【答案】B 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求得该质点在2s末的瞬时速度. 【详解】， 则质点在2s末的瞬时速度为7m/s. 故选：B 题型3 导数定义中极限的简单计算 16．（2026高二·江苏南京·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据题目条件，利用导数的定义即可求解. 【详解】. 故选：D 17．（2026高二·湖北武汉·期末）已知，则的值为 【答案】 【分析】利用导数的定义式直接求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故答案为： 18．（2026高二·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】因为函数可导，且满足， 所以 ，所以， 所以函数在处的导数为. 故答案为： 19．（2026高二·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 20．（2026高二·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】 【分析】根据导数的定义计算即可. 【详解】因为是定义在上的可导函数，， 则. 故答案为：. 21．（2026高二·山西·月考）已知函数在处可导，且，则 ． 【答案】10 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算可得. 【详解】由， 得， 所以． 故答案为：10 22．（2026高二·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 23．（2026高二·上海·期末）设，则（   ）. A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. 24．（2026高二·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 【答案】D 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义得，故D正确. 故选：D 题型4 导函数概念的理解 25．（2026高二·全国·课堂例题）如何求函数在点处的导数？是变量还是常数？ 【答案】答案见解析 【分析】由导数的定义即可解答； 【详解】计算，取极限得导数， 所求函数在点处的导数为是一个常数值，与的取值有关的常数值，不是变量； 26．（2026高三·全国·课后作业）若，则函数在处可导是函数在可导的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】利用定义法直接判断. 【详解】充分性：函数在处可导不能推出函数在可导.故充分性不满足； 必要性：因为函数在可导，，所以函数在可导.必要性满足. 故函数在处可导是函数在可导的必要非充分条件. 故选：C 27．（2026高二·全国·课后作业）用定义求函数的导数． 【答案】. 【分析】先求出平均变化率，根据导数的定义求极限即可得到结果. 【详解】函数的定义域为. 设，因为， 根据导数的定义知，. 28．（2026高二·全国·课堂例题）求函数在处的导数． 【答案】 【分析】由导数的定义直接求解； 【详解】由导数的定义知，函数在处的导数 ， 而， 又，所以． 29．（2026高二·上海·课后作业）用导数的定义求函数的导数． 【答案】 【分析】根据导数的定义直接计算即可求解. 【详解】设， 则， 得， 即函数的导数为. 题型5 对导数几何意义的理解 30．（2026高二·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 【答案】C 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 31．（2026高二·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义以及两点斜率公式即可求解. 【详解】和分别表示函数的图象在和处的切线斜率，结合图象可得， 而，表示过和两点的直线斜率，则， 故选：D 32．（2026高二·陕西西安·月考）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 33．【多选】（2026高二·内蒙古呼和浩特·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用导数的几何意义，结合图象，判断求解即可． 【详解】由题图知函数是单调递增的，则函数的图象上任意一点处的导函数值都大于零，故选项D错误； 又函数的图象在处的切线斜率大于在处的切线斜率，所以，故选项A正确； 记，则直线的斜率，表示函数在区间上的平均变化率， 由函数图象知，即，故选项B错误，C正确； 故选：AC． 34．（2026高二·重庆·月考）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可. 【详解】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知. 故选：D 35．（2026高二·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 题型6 定义求曲线切线的斜率（倾斜角） 36．（2026高二·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【详解】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D 37．（2026高二·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【详解】由有， 所以. 故选：A． 38．（2026高二·河北邯郸·月考）设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（    ） A．30° B．135° C．45° D．120° 【答案】B 【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的斜率，再结合斜率的定义即可求解． 【详解】设曲线在处的切线倾斜角为， 由，可得， 则曲线在处的斜率为， 则，，解得， 故选：B． 39．（2026高二·安徽宿州·月考）已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】根据导数的定义和几何意义可知曲线在处的切线斜率，结合斜率的定义即可求解. 【详解】由，可得， 则曲线在处的切线斜率为1， 由（为倾斜角），，可得. 故选：A． 40．（2026高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导函数定义求得导函数，根据切线的几何意义以及倾斜角的定义，可得答案. 【详解】， 所以.又切线的倾斜角的范围为，所以所求倾斜角为. 故选：C 题型7 定义求曲线在某点的切线方程 41．（2026高二·广东深圳·期中）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义可知，再根据导数公式可求出，即可求出切点，从而得出切线方程． 【详解】由可知，，而，所以，解得，即，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即． 故选：A． 42．（2026高二·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【详解】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 43．（2026高二·重庆九龙坡·期末）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，利用导数的定义求解，然后求解切线的斜率即可． 【详解】解：函数，可得， ，可得， 即，所以， 可得，解得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为 故选：A 题型8 定义求切点坐标 44．（2026高二·全国·课后作业）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 【答案】 【分析】设切点，根据导数的几何意义以及导数的定义得，进而可以求出的值，进而得到结果. 【详解】设切点，切线斜率为k，由，得.由题意可知，所以，代入得，故所求切点P为. 故答案为：. 45．（2026高二·全国·专题练习）已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 【答案】 【分析】设切点为，计算，确定，解得或，再验证得到答案. 【详解】设直线与曲线相切于点， 则 ， 故，解得或， 当时，；当时，. 切点坐标为或． 当切点为时，有，故（舍去）． 当切点为时，有，故， 因此切点坐标为，的值为. 故答案为：； 46．（2026高二·全国·专题练习）直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 【答案】 【分析】设出切点，利用切点既在切线上又在曲线上，再根据导数的几何意义即可求解. 【详解】设直线与曲线的切点为，则 由题意可知，，解得或， 当时，， 又点在直线上，将，. 代入得，与已知条件矛盾，不合题意舍去． 当时，. 将代入直线中，得. 故答案为：，. 题型9 定义求过一点的切线方程 47．（2026高二·云南·期中）已知曲线方程为,求: (1)点处的切线方程 (2)过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求导后算出直线在点A处的斜率,然后结合点斜式求出切线方程 （2）注意到点B不在曲线方程上，设切点坐标为，写出其对应切线方程后，将点代入其中求出切点坐标，从而计算出切线方程. 【详解】（1）设 ，则 . 又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率, 故所求切线的方程为,即. （2）因点不在曲线上, 则设过点B直线与曲线相切时所对应的切点坐标为, 由(1)知,故切线的斜率,则切线方程为. 又∵点在切线上,∴解得或. ∴切点坐标为,. 故所求切线方程为或, 即或. 48．（2026高二·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】或. 【分析】设所求切线与曲线相切于点，根据导数的定义求得切线斜率，列方程求，进而可得切线方程. 【详解】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 49．（2026高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x3. （1）求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程； （2）若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(，0)作曲线C的切线，求切线的方程． 【答案】（1） y＝3x－2；（2）y＝0或y＝3x－2. 【分析】（1）由导函数的概念求得函数在点(1，1)处的导数值，再根据导数的几何意义即可得切线的斜率，从而可求的切线方程； （2）设切点为，则由第一问得切线的斜率为k＝，再将P(，0)代入即可求得，从而可得切线的方程． 【详解】解：（1）由导函数的概念，得 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ [3x(x＋Δx)＋(Δx)2] ＝3x2， 又＝3，， 所以函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2； （2）设切点为，则由第一问得切线的斜率为k＝， 切线方程为，即. 因为切线过点P(，0)， 所以， 解得x0＝0或x0＝1， 从而切线方程为y＝0或y＝3x－2. 题型10 定义解决已知切线（斜率）求参数 50．【多选】（2026高二·全国·专题练习）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先设切点为，再利用导数的定义及几何意义求得，从而求得相应的，由此得解. 【详解】依题意，设切点坐标为， 因为， 所以，解得， 当时，；当时，； 综上：所求切点为或. 故选：BC. 51．（2026高二·全国·课后作业）已知直线与抛物线相切，求的值． 【答案】 【分析】由题意可得，又因为，，解方程即可得出答案. 【详解】设切点为． 即，又因为，， 则，，代入可得：， 则，解得：或， 则或， 当时，由可得：， 则，故不成立，故. 52．（2026高二·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】由题意得，可求出，再将代入函数解析式中可求出，从而可求得的值. 【详解】由题意得， 所以， 解得， 又，则， 所以． 故选：B 53．（2026高二·全国·课后作业）若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【分析】设切点，直线与曲线相切，利用导数的几何意义得，求出切点坐标，代入直线解得. 【详解】设直线与曲线的切点为， 由得， 所以曲线在点处的切线斜率， 又直线与曲线切于点，所以，解得， 所以或.因为点在直线上，代入解得. 故答案为： 54．（2026高二·全国·专题练习）已知曲线与 在处的切线的斜率之积为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义及已知条件即可求解. 【详解】由题意知， ， ， 所以两曲线在处的切线的斜率分别为 ，. 由题意可知，，即，解得. 故选：B. 题型11 定义解决切线的垂直和平行问题 55．（2026高二·湖南·课后作业）已知曲线y＝在点处的切线与直线平行，且与的距离等于，求直线的方程. 【答案】或 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合两直线平行斜率相等及两条平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】由导数的几何意义，得曲线y＝在点处的切线的斜率为 ， 所以曲线y＝在点处的切线方程为 ，即.　 设直线l的方程为，则 由题意可知，，解得或， 所以直线的方程为或. 56．（2026高二·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用导数定义求出，设，根据垂直得出切线斜率为，则可得，进而求出点坐标. 【详解】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是． 故答案为： 题型12 定义解决两曲线的公切线问题 57．（2026高二·全国·课后作业）已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先根据题干中的题意求出曲线在点处的切线，又切线与曲线相切，联立切线和曲线方程利用即可得到结果. 【详解】设，则， 易得曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 又因为该直线与曲线相切， 所以该直线与曲线只有一个公共点． 由得， 则， 解得，则， 所以点的坐标为或． 故答案为：或 $2025-2026学年《考点通关》高二数学微专题精准突破（人教A版2019选择性必修第二册） 微专题5-1 导数的概念及其意义12种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 知识点1 函数的平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：＝. (2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率． 知识点2 瞬时速度 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . (3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度． 注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0. （2）瞬时变化率的变形形式 ＝ ＝ ＝ ＝f′(x0)． 知识点3 函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 知识点4 割线斜率与切线斜率及导数的几何意义 1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线． 2． 切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 3． 切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于 点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k. 注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率． 4．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点5 函数的单调性与导数的关系 若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0； 若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快； 若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快． 解题策略1 如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即． 注：（1）是的一个“增量”，可用代替，同样． （2）是一个整体符号，而不是与相乘． （3）求函数平均变化率时注意，，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零．若函数为常函数，则． 解题策略2 求曲线“在”与“过”某点的切线 1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 题型1 平均变化率 1．（2026高二·全国·专题练习）对于平均变化率，下列说法中不正确的是（    ） A．可为正 B．可为负 C．可为0 D．可为0 2．（2026高二·江苏徐州·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 3．（2026高二·天津河西·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．0.21 B．0.21 C．2.1 D．2.1 4．（2026高二·江苏·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·江苏镇江·月考）函数在上的平均变化率为 . 6．（2026高二·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·全国·单元测试）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A．－3 B．－5 C．0 D．1 8．（2026高二·全国·专题练习）若函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值等于（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026高二·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 题型2 瞬时变化率 10．（2026高二·宁夏石嘴山·月考）已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A．-3m/s B．3m/s C．-4m/s D．1m/s 11．（2026高三·上海·期中）竖直向上发射的火箭熄火后的位移（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系，则火箭在时的瞬时速度为 . 12．（2026高二·云南曲靖·期末）已知半径为r的球的体积为，当时，的瞬时变化率为（   ） A． B． C． D． 13．（2026高二·河南焦作·期末）某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·海南海口·期中）一物体做直线运动，其位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系是，则物体在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·甘肃白银·模拟预测）如果质点按规律（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s末的瞬时速度为（    ） A．8 m/s B．7m/s C．6 m/s D．5 m/s 题型3 导数定义中极限的简单计算 16．（2026高二·江苏南京·期末）已知，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 17．（2026高二·湖北武汉·期末）已知，则的值为 18．（2026高二·陕西·月考）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为 . 19．（2026高二·黑龙江牡丹江·期末）如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 20．（2026高二·广东河源·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 21．（2026高二·山西·月考）已知函数在处可导，且，则 ． 22．（2026高二·陕西西安·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 23．（2026高二·上海·期末）设，则（   ）. A． B．0 C． D． 24．（2026高二·浙江杭州·期中）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 题型4 导函数概念的理解 25．（2026高二·全国·课堂例题）如何求函数在点处的导数？是变量还是常数？ 26．（2026高三·全国·课后作业）若，则函数在处可导是函数在可导的（    ）． A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 27．（2026高二·全国·课后作业）用定义求函数的导数． 28．（2026高二·全国·课堂例题）求函数在处的导数． 29．（2026高二·上海·课后作业）用导数的定义求函数的导数． 题型5 对导数几何意义的理解 30．（2026高二·上海浦东新·期末）根据图中的函数图象，下列数值最小的是（    ）    A．曲线在点处切线的斜率 B．曲线在点处切线的斜率 C．曲线在点处切线的斜率 D．割线的斜率 31．（2026高二·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A． B． C． D． 32．（2026高二·陕西西安·月考）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 33．【多选】（2026高二·内蒙古呼和浩特·期中）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（2026高二·重庆·月考）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ）    A． B． C． D． 35．（2026高二·上海·期中）某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是 ． 题型6 定义求曲线切线的斜率（倾斜角） 36．（2026高二·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 37．（2026高二·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 38．（2026高二·河北邯郸·月考）设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为（    ） A．30° B．135° C．45° D．120° 39．（2026高二·安徽宿州·月考）已知函数可导，且，则曲线在点处的切线倾斜角为（    ） A．45° B．60° C．120° D．135° 40．（2026高二·全国·课后作业）曲线在点处的切线的倾斜角等于（　　） A． B． C． D． 题型7 定义求曲线在某点的切线方程 41．（2026高二·广东深圳·期中）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 42．（2026高二·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 43．（2026高二·重庆九龙坡·期末）已知函数满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型8 定义求切点坐标 44．（2026高二·全国·课后作业）已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为 . 45．（2026高二·全国·专题练习）已知直线和曲线相切，则切点坐标为 ，实数a的值为 ． 46．（2026高二·全国·专题练习）直线和曲线相切，则的值为 ，切点坐标为 ． 题型9 定义求过一点的切线方程 47．（2026高二·云南·期中）已知曲线方程为,求: (1)点处的切线方程 (2)过点且与曲线相切的直线方程. 48．（2026高二·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 49．（2026高二·全国·课后作业）已知函数f(x)＝x3. （1）求函数f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程； （2）若函数f(x)的图象为曲线C，过点P(，0)作曲线C的切线，求切线的方程． 题型10 定义解决已知切线（斜率）求参数 50．【多选】（2026高二·全国·专题练习）下列各点中，在曲线上，且在该点处的切线倾斜角为的是（　　） A． B． C． D． 51．（2026高二·全国·课后作业）已知直线与抛物线相切，求的值． 52．（2026高二·全国·课后作业）已知函数在点处的切线斜率为2，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 53．（2026高二·全国·课后作业）若直线与曲线相切，则 . 54．（2026高二·全国·专题练习）已知曲线与 在处的切线的斜率之积为，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 题型11 定义解决切线的垂直和平行问题 55．（2026高二·湖南·课后作业）已知曲线y＝在点处的切线与直线平行，且与的距离等于，求直线的方程. 56．（2026高二·全国·课后作业）若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是 ． 题型12 定义解决两曲线的公切线问题 57．（2026高二·全国·课后作业）已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为 ． $