专题04：导数中抽象函数的构造【7个常考题型归纳】讲义-2025-2026学年高二数学下学期人教A版选择性必修第二册

2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专题04：导数中抽象函数的构造】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由幂函数的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用幂函数及其导数的形式，匹配题干中与的系数关系 常见形式：或，对应构造或 解题思路 1.观察题干导数式：若出现，则构造 2.求导验证：，符号与题干导数式一致 3.分析单调性，结合已知条件求解不等式或比较大小 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则，单调递增（） 名师点睛 幂函数构造的关键是凑出与的乘积/商的导数形式 注意定义域：若含，需排除 （24-25高三·湖北荆州·月考）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二下·全国·单元测试）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·江西·月考）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ）小试牛刀2 A．当时， B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 【题型2：由指数函数的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用指数函数导数为，匹配题干中或 常见形式：或，对应构造或 解题思路 1.观察题干导数式：若出现，构造 2.求导验证：，符号与题干导数式一致 3.分析单调性，结合已知条件求解 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则，单调递增 名师点睛 指数函数构造的本质是消去导数中的线性项，简化导数符号判断 当时，恒正，不改变导数符号，是最常用的构造载体 （25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·河南商丘·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏盐城·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：与三角函数的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用的导数特性，匹配题干中含的导数式 常见形式：、等 解题思路 1.观察题干导数式：若出现，构造 2.求导验证：，符号与题干一致 3.分析单调性，结合三角函数定义域求解 常见结论 若，构造，则 若，构造，则（） 名师点睛 三角函数构造需注意定义域限制（避免或） 优先将导数式整理为或与乘积/商的导数形式 （2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（2026高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足恒成立，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：由导数的加减法构造】 【练方法】 知识梳理 核心：直接将题干导数式视为两个函数导数的和或差，构造原函数 常见形式：或，对应或 解题思路 1.拆分题干导数式：将拆分为两个可求原函数的部分 2.构造，则 3.分析单调性，结合已知条件求解 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则，单调递增 名师点睛 加减法构造是最基础的构造方式，适用于导数式可直接拆分为简单函数导数和/差的情况 若导数式含常数项，可将常数视为常数函数的导数（） （25-26高三上·安徽·月考）设定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式一定成立的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）函数及其导函数的定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高二·全国·专题练习）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二下·全国·课后作业）设函数，在上的导函数存在，且，则当时，下列不正确的有（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由导数的乘除构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用导数的乘除法则、，匹配题干导数式 常见形式：或，对应构造或 解题思路 1.识别导数式：若为，构造；若为，构造 2.求导验证：确认与题干导数式一致 3.分析单调性，结合已知条件求解 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则（） 名师点睛 乘除构造的关键是识别出的结构，尤其是含与交叉项的情况 注意分母的符号，避免因分母正负导致导数符号判断错误 【多选题】（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．当时， （24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：与函数的奇偶性有关的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用奇偶函数导数的性质：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 常见形式：题干给出奇偶性及导数式，需构造新函数并利用奇偶性简化分析 解题思路 1.若是奇函数，则，导数（偶函数） 2.构造新函数，结合奇偶性判断奇偶性 3.利用奇偶函数对称性，只需分析（或）的单调性，即可推广到整个定义域 常见结论 若是奇函数，且时，则时（导数为偶函数），在上单调递增 若是偶函数，构造，则是奇函数，可利用奇函数对称性分析 名师点睛 奇偶性构造的本质是利用对称性减少分析工作量 需注意：奇函数在处有定义时，，这是常用的隐含条件 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________．经典例题1例题 （23-24高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽六安·月考）已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为________.小试牛刀3 【题型7：函数的平移构造】 【练方法】 知识梳理 核心：将函数平移后，导数形式不变，可将未知点转化为已知点分析 常见形式：题干给出或的导数条件，需构造平移后的函数 解题思路 1.设平移变量：令（或），则（或） 2.构造新函数，将导数条件转化为关于的形式 3.分析单调性，再还原为的不等式求解 常见结论 若，令，则，构造，则，单调递增 平移构造可将非对称区间问题转化为对称区间，简化单调性分析 名师点睛 平移构造的关键是变量替换，将未知区间转化为已知单调性的区间 注意平移后定义域的变化，避免因区间范围导致结论错误 （25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________经典例题1例题 （2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：的图象关于直线对称，且当时，成立．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．小试牛刀1 A． B． C． D． （2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2024·辽宁大连·一模）设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数，满足当时，，若，则有（   ） A． B． C． D．与的大小关系不定 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·四川广安·月考）已知函数 是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）设的导函数为，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河南·月考）已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山东济南·月考）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知的定义域为，是的导函数，且，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2025·湖南郴州·三模）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽黄山·二模）已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（   ） A．在上有且只有1个零点 B．在区间上单调递增 C． D． 三、填空题 16．（24-25高二下·天津武清·月考）已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是______． 17．（24-25高二下·北京·月考）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则按从小到大排列为______． 18．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学下学期常考题型归纳 【专题04：导数中抽象函数的构造】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：由幂函数的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用幂函数及其导数的形式，匹配题干中与的系数关系 常见形式：或，对应构造或 解题思路 1.观察题干导数式：若出现，则构造 2.求导验证：，符号与题干导数式一致 3.分析单调性，结合已知条件求解不等式或比较大小 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则，单调递增（） 名师点睛 幂函数构造的关键是凑出与的乘积/商的导数形式 注意定义域：若含，需排除 （24-25高三·湖北荆州·月考）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，，若，则必有（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数确定函数的单调性，进而比较大小. 【详解】令，则， 又，，所以，函数在上单调递减， 由，得，即，所以. 【多选题】（25-26高二下·全国·单元测试）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时，总有，则下列各项表述不正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察条件中的，不难发现这是求导后的分子，故设，求导后由题意可得在为增函数，则有，即，最终可得AB错误. 【详解】设，则， 因为，所以，即， 所以在为增函数，则有，即. 易得是的充分不必要条件，CD正确，AB错误. 故选：AB （25-26高二上·浙江衢州·期末）已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知不等式构造函数，利用其单调性和奇偶性逐项求解判断. 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 【多选题】（25-26高二上·江西·月考）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ）小试牛刀2 A．当时， B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设，由已知得出为上奇函数，且在和上单调递减，即可判断各选项． 【详解】设，则， 当时，0，所以， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上也单调递减， 因为，所以，， 当时，，即时，， 因为，所以，故A正确； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故B正确； 因为在上单调递减， 所以，即，故C错误； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故D正确， 故选：ABD． 【多选题】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）.设为函数的导函数，已知，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A．有两个极值点 B．是函数的极大值点 C． D． 【答案】BCD 【分析】令，利用导数求解其单调性，根据极值点的概念判断AB；根据单调性比较大小判断CD. 【详解】令，则， 令，得或，解得， 令，得或，解得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 所以在时，取得极大值，无极小值，故A错误，B正确； 因为在和上单调递减， 所以，所以，即， ，所以，即，故CD正确. 故选：BCD 【题型2：由指数函数的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用指数函数导数为，匹配题干中或 常见形式：或，对应构造或 解题思路 1.观察题干导数式：若出现，构造 2.求导验证：，符号与题干导数式一致 3.分析单调性，结合已知条件求解 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则，单调递增 名师点睛 指数函数构造的本质是消去导数中的线性项，简化导数符号判断 当时，恒正，不改变导数符号，是最常用的构造载体 （25-26高二上·湖南张家界·期末）已知为定义在上的可导函数，为其导函数，且恒成立，其中是自然对数的底数，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知不等式的形式构造新函数，利用新函数导数的正负性判断新函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造新函数， 所以是上递增函数， 所以. 故选：D （25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由构造函数，由其单调性求解不等式. 【详解】因为，即，构造函数，因为， 所以函数是减函数，又由可得，且， 所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. （25-26高二上·河南商丘·期末）已知定义在上的函数，其导函数为，且，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数结合已知确定单调性，进而比较大小即得. 【详解】令函数，则，函数在上单调递增， 则，即，所以. 故选：B （25-26高三上·江苏盐城·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导，分析函数的单调性，利用的单调性解不等式. 【详解】设函数，则， 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又，所以. 设 ，又，所以. 由 ，即. 所以，即 . 故选：B 【题型3：与三角函数的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用的导数特性，匹配题干中含的导数式 常见形式：、等 解题思路 1.观察题干导数式：若出现，构造 2.求导验证：，符号与题干一致 3.分析单调性，结合三角函数定义域求解 常见结论 若，构造，则 若，构造，则（） 名师点睛 三角函数构造需注意定义域限制（避免或） 优先将导数式整理为或与乘积/商的导数形式 （2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知函数为奇函数，令，得到，则函数在上单调递增，结合奇偶性即可逐项判断． 【详解】 的图象关于点对称， 的图象关于点对称，即函数为奇函数， ，， 令，， 则， 即函数在上单调递增， 又函数为奇函数，为偶函数， 所以函数为奇函数， ，即， 整理得，则的大小无法确定，故AB错误； ，即， 整理得，则的大小无法确定，故C错误； ，即， ，即， 整理得，故D正确． 故选：D． （25-26高三上·陕西西安·月考）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. （2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 【多选题】（2026高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足恒成立，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数，求导，判断函数的单调性，再根据单调性比较大小，逐项判断即可． 【详解】∵，∴， 而，即， 等价于， 构造函数，则， 即在上单调递减， ，，即， 化简得，故A选项正确，B选项错误； ，，即， 化简得，故C选项正确，D选项错误． 故选：AC． （25-26高三上·河南南阳·期中）已知定义域为R的偶函数的导函数为，且当时，，若，则的大小关系为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性，进而比较大小. 【详解】当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 因此，又是定义域为的偶函数，则， 而，则． 故选：B 【题型4：由导数的加减法构造】 【练方法】 知识梳理 核心：直接将题干导数式视为两个函数导数的和或差，构造原函数 常见形式：或，对应或 解题思路 1.拆分题干导数式：将拆分为两个可求原函数的部分 2.构造，则 3.分析单调性，结合已知条件求解 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则，单调递增 名师点睛 加减法构造是最基础的构造方式，适用于导数式可直接拆分为简单函数导数和/差的情况 若导数式含常数项，可将常数视为常数函数的导数（） （25-26高三上·安徽·月考）设定义在上的函数的导函数满足，则下列不等式一定成立的是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求导，得到的单调性，则，即，得到答案. 【详解】由题意得，，令，则， 所以在上单调递减，则， 即，即． 故选：D． （2025高三·全国·专题练习）函数及其导函数的定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导得到其单调性，对不等式变形得到，由函数单调性解不等式即可. 【详解】设，则，因为，所以， 所以在上单调递增，因为， 所以，即，等价于，故． 故选：D. （24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. （2025高二·全国·专题练习）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：C. 【多选题】（25-26高二下·全国·课后作业）设函数，在上的导函数存在，且，则当时，下列不正确的有（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可判断；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误， 若，则，故B错误； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则， 所以在上单调递减， 因为，即，所以， 由得，则，故C正确； 由得，则，故D错误. 故选：ABD. 【题型5：由导数的乘除构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用导数的乘除法则、，匹配题干导数式 常见形式：或，对应构造或 解题思路 1.识别导数式：若为，构造；若为，构造 2.求导验证：确认与题干导数式一致 3.分析单调性，结合已知条件求解 常见结论 若，构造，则，单调递增 若，构造，则（） 名师点睛 乘除构造的关键是识别出的结构，尤其是含与交叉项的情况 注意分母的符号，避免因分母正负导致导数符号判断错误 【多选题】（24-25高二下·吉林长春·期中）已知函数的定义域是，是的导函数，若对任意的，都有，则下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．当时， 【答案】BCD 【分析】构造，根据条件，判断函数的单调性，再结合函数的单调性得到相应的不等式以判断各个选项的正确性. 【详解】设，. 则 . 所以在上单调递增. 对A：由 ，故A错误； 对B：由 ，故B正确； 对C：由 ，故C正确； 对D：当时，，所以 ，故D正确. 故选：BCD （24-25高二下·山东威海·期中）定义在上的奇函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数，则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为偶函数，为奇函数，所以为奇函数， 又，即， 所以，解得. 故选：D. （2025·湖北·模拟预测）已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，由可判断进而得出结果． 【详解】， 令，则， 故在单调递增， 又，所以， 即， 所以，A选项正确， 另外，，由于与0的大小关系不确定， 故C，D无法判断. 故选：A. （24-25高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. （24-25高二下·浙江·期中）设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导，得到在上单调递增，可直接判断B、C选项；举出反例，设，可判断A、D选项. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， B选项，由，即，可得，故B错误； C选项，由，即，可得，故C正确； A选项，因为，不妨设（为常数）， 即（为常数），所以， 令，故，当时，为常数函数， 此时，即，所以，故A错误； D选项，根据上述分析，，（为常数）， 故，，令，， 当时，，在上单调递减， 所以，则，故D错误. 故选：C. 【题型6：与函数的奇偶性有关的构造】 【练方法】 知识梳理 核心：利用奇偶函数导数的性质：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 常见形式：题干给出奇偶性及导数式，需构造新函数并利用奇偶性简化分析 解题思路 1.若是奇函数，则，导数（偶函数） 2.构造新函数，结合奇偶性判断奇偶性 3.利用奇偶函数对称性，只需分析（或）的单调性，即可推广到整个定义域 常见结论 若是奇函数，且时，则时（导数为偶函数），在上单调递增 若是偶函数，构造，则是奇函数，可利用奇函数对称性分析 名师点睛 奇偶性构造的本质是利用对称性减少分析工作量 需注意：奇函数在处有定义时，，这是常用的隐含条件 （25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数在上存在导函数，对，都有，当时，成立，若，则实数的取值范围为___________．经典例题1例题 【答案】 【分析】先通过构造函数，利用导数判断函数单调性，再结合函数奇偶性，将不等式转化为关于自变量的不等式，进而求解实数m的取值范围即可. 【详解】设，对求导得， 因为当时，，所以当时，， 则在上单调递减， 因为，所以， 即是偶函数，那么在上单调递增， 因为， 将其变形为：，即， 由于是偶函数，所以等价于， 又因为在上单调递减，所以， 则，展开得， 化简得，整理得， 解得或， 因此，实数的取值范围是. （23-24高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案. 【详解】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D （25-26高三上·安徽六安·月考）已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式变形结果，构造函数，通过构造函数单调性，以及题目已知条件，构造新的不等式，并求出结果即可. 【详解】设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 故选：A （25-26高三上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，，则，，的大小关系是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据为奇函数，得出为偶函数，再结合题干得的单调性，即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以， 设函数，则，所以是偶函数. 因为，且当时，，所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减. 若 ，   ， ， 又因为，所以. 故选：B. （25-26高三上·内蒙古包头·期中）已知在上是奇函数且为的导函数，对任意均有成立，若，则不等式的解集为________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据所给含导数的不等式，构造函数，确定其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】． 令，则 ， 所以，则在上是减函数． 由，且在上是奇函数，得，则， 又 ， 所以，即不等式的解集为． 故答案为： 【题型7：函数的平移构造】 【练方法】 知识梳理 核心：将函数平移后，导数形式不变，可将未知点转化为已知点分析 常见形式：题干给出或的导数条件，需构造平移后的函数 解题思路 1.设平移变量：令（或），则（或） 2.构造新函数，将导数条件转化为关于的形式 3.分析单调性，再还原为的不等式求解 常见结论 若，令，则，构造，则，单调递增 平移构造可将非对称区间问题转化为对称区间，简化单调性分析 名师点睛 平移构造的关键是变量替换，将未知区间转化为已知单调性的区间 注意平移后定义域的变化，避免因区间范围导致结论错误 （25-26高三上·山东济南·期中）设函数在上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数的取值范围为 ____________经典例题1例题 【答案】 【分析】令，由题意得为奇函数，并结合导数得的单调性，再由，利用的单调性求解即可. 【详解】 令，即，则为奇函数， 当时，，则在上单调递增， 故在区间上单调递增，则在上单调递增， ∵ ， 即， ∴，解得． 故答案为： . （2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由构造，借助其单调性解抽象不等式即可. 【详解】令， 则， 所以为偶函数， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以 因为 所以， 所以， 所以， 故选：A. （2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足：的图象关于直线对称，且当时，成立．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）．小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象关于直线对称，得是偶函数，然后结合对数函数性质、正弦函数性质得，令，根据导数法和奇函数性质得在上单调递减，进而，比较大小即可． 【详解】由函数的图象关于直线对称，得是偶函数． ，即，又，则有， 由，得，则， 所以． 令，由知为奇函数， 当时，，所以单调递减， 则在上也单调递减，又． 所以，所以． 故选：A （2025·海南·模拟预测）定义在上的函数满足，当时，．若，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，然后判断的单调性和奇偶性，然后将不等式变形并求出不等式的解集即可. 【详解】令，则. 所以，所以是偶函数. 当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 即. 因为是偶函数，所以. 又在上单调递增，所以. 两边平方得，解得. 故选：A. （2024·辽宁大连·一模）设函数在R上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，求导，得到在上为减函数，结合为奇函数，得到在上为减函数，分和两种情况，得到，由函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】令，，则， 函数在上为减函数， 因为，即， 故为奇函数，于是在上为减函数 而不等式， 若，则，即， 可化为， 即，则 解得，与前提条件相同，满足要求； 若，则无法比较与的大小关系， 故无法比较与的大小关系，故不合要求. 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（24-25高二下·四川绵阳·月考）已知函数，满足当时，，若，则有（   ） A． B． C． D．与的大小关系不定 【答案】B 【分析】由当时，，构造上的单调函数，再利用单调性去比较大小。 【详解】设，则，所以在上单调递增. 又因为，所以，即 故选：B 2．（24-25高二下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 3．（24-25高二下·湖北·期中）已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式可构造函数，判断出函数在上单调递减即可得出结论. 【详解】由可得， 令函数， 可得即在上单调递减， 因此可得，即，所以. 故选：B 4．（21-22高二下·四川广安·月考）已知函数 是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断在上的单调性，再根据奇偶性得在上的单调性，利用的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由题意，令，则， 当时，，即， 所以在上单调递减； 又为上的奇函数， 则， 所以为定义在上的偶函数， 所以在上单调递增； 由，得， 当，即时，不等式可化为，即， 由在上单调递减，得，解得，故； 当，即时，不等式可化为，即， 由在上单调递增，得，解得，故； 综上所述，不等式的解集为：． 故选：D． 5．（2025高三·全国·专题练习）设的导函数为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得，导数研究其单调性比较大小或应用作差法比较大小. 【详解】因为，所以，即． 所以，故， 法一：因为，当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减． 因为，且， 所以， 法二：因为，，， 所以，即． 因为，所以. 故选：D 6．（24-25高二下·河南·月考）已知偶函数的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合偶函数的性质求解不等式. 【详解】设，对求导，可得： 已知当时，，所以当时，，则在上单调递增. 因为是偶函数，即，那么，所以也是偶函数. 已知，则，由是偶函数可得. 不等式两边同时乘以可得，即. 因为，所以. 又因为是偶函数且在上单调递增，所以. 即或.解得或. 同时要注意，即. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 7．（24-25高二下·云南玉溪·月考）已知函数的定义域为R，其导函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，求导确定单调性，即可求解. 【详解】构造函数，R， 则，所以函数为R上的减函数， 则，即，所以，A错误，B正确； 因为，所以，即， 所以，C错误， 因为，可得：， 所以，D错误． 故选：B. 8．（24-25高二下·山东济南·月考）定义在上的函数，是的导函数，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，构造函数，利用导数判断函数的单调性，比较函数值的大小即可. 【详解】因为时，， 所以可化为， 设，， 则， 所以函数在上的单调递减， 因为，所以， 所以，即， 对于A：因为，A选项不一定成立； 对于B：因为，B选项不一定成立； 对于C：成立； 对于D：，D选项不成立； 故选：C. 9．（24-25高二下·湖南娄底·期中）设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，再利用函数单调性解不等式. 【详解】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得 即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立， ∴不等式的解集为. 故选：C. 10．（24-25高二下·天津西青·期中）定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 11．（24-25高二下·安徽安庆·月考）已知的定义域为，是的导函数，且，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，可得，构造函数，进而求导可定函数的单调性，即可求解的最值，从而可判断的单调性，即可根据单调性求解. 【详解】因为，化简得， 构造函数，则，. 代入已知得. 再构造函数，则， 易知，当时，，函数在单调递增； 当时，，函数在单调递减， 所以， 由于，所以，所以， 所以当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递减， 所以在单调递减. 根据单位圆可得三角不等式，所以， 且，，故 . 故选：C. 12．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用构造的导数，来判断其单调性，又把已知要求解的不等式转化为，从而可利用单调性解不等式. 【详解】由已知得：因为，所以， 两边同乘以又可得：， 因为，所以有， 再构造，则， 所以在上单调递增， 因为的定义域可知，，所以， 又因为，所以， 即上面不等式可转化为，根据在上单调递增， 可得，解得， 故选：． 二、多选题 13．（2025·湖南郴州·三模）已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】因为当时，，可构造，进而可得，所以在上单调递增，结合的单调性，逐项判断即可. 【详解】因为当时，， 令，可得，所以在上单调递增. 因为，可得， 对于A，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故A正确； 对于B，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故B错误； 对于C，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，即，化简可得，故D错误； 故选：AC. 14．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】构造函数，则，结合题意可得在上单调递减，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】由题意令， 则， 当时，恒有成立， ，即在上单调递减， ， ， 即， 即得 对于A，D，故A错误，D正确； 对于B，C，故B错误，C正确. 故选：CD. 15．（2025·安徽黄山·二模）已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（   ） A．在上有且只有1个零点 B．在区间上单调递增 C． D． 【答案】ACD 【分析】构造，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到在R上单调递减，且时，时，，进而判断各项的正误. 【详解】令，而是定义在上的奇函数，则， ，即在R上也是奇函数， 而，当时，， 所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减， 综上，时，时，，故， 显然时，故时，时， 所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对； 由，显然在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增，且周期为，， 所以在上不一定单调，B错. 故选：ACD 三、填空题 16．（24-25高二下·天津武清·月考）已知是函数的导函数，且满足在上恒成立，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以，解得. 所以不等式的解集是. 故答案为：. 17．（24-25高二下·北京·月考）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则按从小到大排列为______． 【答案】 【分析】构造辅助函数，利用函数的单调性和奇偶性比较大小. 【详解】因为是奇函数，所以 令，则， 所以是偶函数 因为当时，， 所以当时，，所以在上单调递增， 因为，而， 所以 故答案为： 18．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $