5.2.2导数的四则运算法则教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.2 导数的四则运算法则 一、教学内容 导数的四则运算法则. 二、教学目标 1. 理解并掌握导数的四则运算法则； 2. 用导数的四则运算法则求简单函数的导数. 三、教学重难点 教学重点：体会四则运算法则的探究过程，能灵活运用导数的四则运算法则求函数导数. 教学难点：函数积、商的求导法则. 四、教学过程设计 【温故知新】 复习 我们学习了哪些基本初等函数的导数？ 1.若 f (x)=c （ c 为常数），则 f ¢(x)=0 ； 2.若 f (x)=xa （a Î Q ，且a ¹ 0 ），则 f ¢(x)=a xa - 1 ； 3.若 f (x)=sin x ，则 f ¢(x)=cos x ； 4.若 f (x)=cos x ，则 f ¢(x)=- sin x ； 5.若 f (x)=ax （ a >0 ，且 a ¹ 1），则 f ¢(x)=ax ln a ；特别地，若 f (x)=ex ，则 f ¢(x)=ex ； 6.若 f (x)=loga x （ a >0 且 a ¹ 1），则 f ¢(x)=x ln1 a ；特别地，若 f (x)=ln x ，则 f ¢(x)=1x . 【设计意图】复习基本初等函数导数的公式，引入本节课题. 【探究新知】 探究一 如何求函数 h (x)=x2 +x 的导数？ 设 y =h (x)=x2 +x ，由导数的定义， V y (x +Vx)2 +(x +Vx)- ( x2 +x ) Vx 2 +2x ×Vx +Vx = = ( ) =Vx +2x +1, Vx Vx Vx \ h¢(x)=lim Vy =2x +1. Vx®0 Vx 思考 观察 f (x)=x2 , g (x)=x, h (x)=x2 +x 与导数 f ¢(x)=2x, g¢(x)=1, h¢(x)=2x +1你有什么发现和猜想？ h (x)= f (x)+g (x); h¢(x)= f ¢(x)+g¢(x). éf (x)+g (x)ù¢= f ¢(x)+g¢(x). ë û 同样地， éf (x)- g (x)ù¢= f ¢(x)- g¢(x). ë û 【设计意图】帮助学生回忆定义法求导数以及基本初等函数的求导公式. 结论 函数和、差的求导运算法则： éf (x)±g (x)ù¢= f ¢(x)±g¢(x). ë û 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）. 【典例分析】 例 1 求下列函数的导数： （1） f (x)=x3 - x +3 ；（2） g (x)=2x +cos x . 解：（1） f ¢(x)=(x3 - x +3)¢= (x3 )¢- (x)¢+(3)¢=3x2 - 1 ； （2） g¢(x)=(2x +cos x)¢= (2x )¢+ (cos x)¢=2x ln x - sin x. 【设计意图】以课本实例演示求导过程，利用导数运算法则求导数比用定义法要简便. 探究二 两个函数积的导数呢？也等于这两个函数导数的积吗？ · f (x)=x2 , g (x)=x 为例，计算 éf (x)g (x)ù¢与 f ¢(x)g¢(x)是否相等？ · û éf (x)g (x)ù¢= (x3 )¢=3x2 ， f ¢(x)g¢(x)=2x ×=12x ， ë û \ éf (x)g (x)ù¢¹ f ¢(x)g¢(x). ë û 思考 f (x)=x2 , g (x)=x 的商的导数是否等于它们导数的商？ éf (x) ¢ 2 ¢ f ¢(x) 2x éf (x) ¢ f ¢(x) ù =æx ö = x ¢=1, = =2x. \ ù ¹ . ê ú ÷ ê ú ç ( ) g¢(x) 1 g¢(x) ëg (x)û è x ø ëg (x)û 结论 对于两个函数 f (x), g (x)的乘积（或商）的导数，我们有如下法则： éf (x)g (x)ù¢=f ¢(x)g (x)+f (x)g¢(x); ë û · f (x)ù¢= f ¢(x)g (x)- f (x)g¢(x)(g (x)¹ 0). êg (x)úég (x)ù2 · ë ûë 【设计意图】类比加减法的方式去尝试一下积和商的导数，这对学生要求较高，学生不 易得出结论，用定义证明时，也需要极限的运算，这一部分可以建议同学们课下探究. 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第 二个函数的导数.两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母减去分母的导数乘分子，再 除以分母的平方. écf (x)ù¢=c f (x)+cf (x)=cf (x). 结论 一般地，由函数乘积的导数法则可以得出 ë û ¢ ¢ ¢ é ( )ù¢ ( ) 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 ëcf x û =cf ¢ x . 【典例分析】 例 2 求下列函数的导数： （1） f (x)=x3ex ；（2） g (x)=2sin x . x2 解：（1） f ¢(x)=(x3ex )¢= (x3 )¢ex +x3 (ex )¢=3x2ex +x3ex ； ¢ 2sin x ¢ 2 - 2sin x x 2 ¢ 2 æ x ) = × - ö = ( ) ( ç 2sin x ÷ 2cos x x 4 x 2 x 4 x （2） è ø 2sin x ×2x 2x cos x - 4sin x = x3 【设计意图】以课本实例演示求导过程，掌握函数积或商的导数运算法则. 例 3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水的纯净度的提高，所需净化费用 不断增加. 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x %时所需费用（单位：元）为 c (x)=1005284-x (80 <x <100). 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90%；（2）98%. 思考 怎样求纯净度为 90%和 98%时，所需净化费用的瞬时变化率？ 分析 通过求净化费用函数的导数来解决. æ ö ( - x ) - 5284 ( ) ( - x ) - 5284 ´ ( ) 5284 5284 ¢ 5284¢´ 100 ´ 100 - x ¢ 0 ´ 100 - 1 c¢(x)=ç ÷= = = . ( 2 ( 2 2 è100 - x ø ) - x ) ( ) 100 - x 100 100 - x 所以 c¢90 = 5284 =52.84, c¢98 = 5284 =1321. ) ) ( ) ( - 90 ( ) ( - 98 100 2 100 2 净化到纯净度为 98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净度为 90%时的 25 倍.即净化 到纯净度为 98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净度为 90%时净化费用变化快慢的 25 倍. 这说明，水的纯度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快. 【设计意图】函数求导在实际生活中有着非常重要的应用，是考察事物变化快慢的重要 参考.通过导数可以简化运算，从而解决生活中的实际问题， 【课堂练习】 1、课本 P78 页练习题； 2.求曲线 y =x2 +3x 在（1,4）处的切线程； 3.已知 f(x)＝x2＋2xf′(1)，则 f′(0)＝________． 【课堂小结】 1、对于两个函数 f (x) 和 g(x) ，有如下导数的运算法则： [ f (x) ±g(x)]¢= f ¢(x) ±g¢(x) ； [ f (x)g(x)]¢= f ¢(x)g(x) +f (x)g¢(x) ； [cf (x)]¢=cf ¢(x) ； éf (x) ù¢ f ¢(x)g(x) - f (x)g¢(x) ê ú = (g(x) ¹ 0) . 2 ëg(x) û [g(x)] 2、利用导数运算法则的策略 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利 用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然 后再求导． 【布置作业】 1.课本 81 页 1、2、3、4、5. 2.求 y＝(x＋1) (x＋3) (x＋5) 的导数. 3.求出下列函数的导数． (1)y＝ln(2x-1) ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos(x＋1)． 【目标检测设计】 一、选择题 1．已知函数 f (x) =x2 +2x - xex ，则 f ¢(0) =（ ） A．1 B． 0 C． - 1 D． 2 2．函数 y =2x(ln x +1) 在 x =1 处的切线方程为（ ） A． y =4x +2 ( ) B． y =2x - 4 C． y =4x - 2 D． y =2x +4 3．已知函数 f ( ) ( ) =（ x =ln x - 3x +f ¢1 x2 ，则 f 1 ） A．2 B．1 C．0 D． - 1 4．（多选题）下列求导运算错误的是（ ） 3 )¢=1 3 1 A． (x + + B． (log2 x)¢ = x x2 x ln 2 C． (3x )¢=3x D． (x2 cos x)¢=- 2x sin x 二、填空题 1 5．函数 y =x + 的导数是___________. x 6．已知函数 f (x) =x2 ex ， f '(x) 为 f (x) 的导函数，则 f ¢(1) 的值为___________. 7．设函数 f (x)在 (0, +¥ )内可导，其导函数为 f ¢(x)，且 f (ln x)=2x - ln x ，则 f ¢(1)=______. 三、解答题 8．求下列函数的导数．（1） y =x- 2 +x2 ； （2） y =3x ex - 2x +e ； ln x （3） y =x2 +1 ； （4） y =x2 - 4sin 2x cos 2x ． 9．已知函数 y =x +ln x . （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的图象在点 x =1 处的切线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$