期中培优：二项式定理8种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

期中培优：二项式定理8种高频考点专项训练 期中培优：二项式定理8种高频考点专项训练 考点目录 求指定项的系数 两个二项式乘积展开式的系数问题 三项展开式的系数问题 二项展开式的系数和问题 求系数最大（小）的项 由二项展开式的系数或系数和求参数 二项式定理的实际应用问题 杨辉三角 考点一 求指定项的系数 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 例2．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）在的展开式中，第4项的二项式系数为（   ） A．5 B．10 C． D．160 例3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，的系数为__________． 变式1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）的展开式中，项的二项式系数为（   ） A． B． C． D．84 变式2．（24-25高三上·贵州·月考）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 变式3．（2026·内蒙古包头·二模）在的展开式中，含的项的系数是__________. 考点二 两个二项式乘积展开式的系数问题 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 例2．（25-26高二下·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 例3．（25-26高二下·江苏无锡·期中）的展开式中的系数是_________. 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）的展开式中的系数是（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 变式2．（24-25高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（    ） A．26 B． C．6 D． 变式3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在的展开式中，的系数为______． 考点三 三项展开式的系数问题 例1．（2026·四川南充·二模）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 例2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 例3．（25-26高二下·江苏南京·月考）展开式中的系数为____________．（用数字作答） 变式1．（25-26高二下·广东广州·月考）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 变式2．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 变式3．（25-26高二下·天津·月考）的展开式中的系数是_________（用数字作答） 考点四 二项展开式的系数和问题 例1．（2026·吉林·三模·多选）在的展开式中，则（   ） A．展开式共有7项 B．常数项是第4项 C．各二项式系数的和为 D．各项系数的和为 例2．（2026·山西临汾·二模·多选）若，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B． C． D．被16除的余数是15 例3．（25-26高二下·宁夏银川·月考）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. 变式1．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）已知，则下列描述不正确的是（　　） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 变式2．（25-26高二下·福建福州·期中·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·天津静海·期中）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. (4)求的值. (5)结合二项式展开式的特点，针对合理赋值这一方法应如何进行设问. 考点五 求系数最大（小）的项 例1．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 例2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 例3．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是________． 变式1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 变式2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 变式3．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 考点六 由二项展开式的系数或系数和求参数 例1．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 例2．（25-26高三上·山西运城·期中）若的展开式中，所有二项式系数之和为32，则该展开式中的常数项为（    ） A．－48 B．48 C．－80 D．80 例3．（2025·上海浦东新·三模）已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为__________.（结果用数值表示） 变式1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 变式2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 变式3．（25-26高三上·广东佛山·月考）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为___________． 考点七 二项式定理的实际应用问题 例1．（25-26高二下·福建福州·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 例2．（25-26高二下·安徽安庆·月考）被7整除的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 变式1．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 变式2．（25-26高二下·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 变式3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知能够被8整除，其中，则______． 考点八 杨辉三角 例1．（25-26高二下·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）将按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将”杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则下列说法正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：二项式定理8种高频考点专项训练 期中培优：二项式定理8种高频考点专项训练 考点目录 求指定项的系数 两个二项式乘积展开式的系数问题 三项展开式的系数问题 二项展开式的系数和问题 求系数最大（小）的项 由二项展开式的系数或系数和求参数 二项式定理的实际应用问题 杨辉三角 考点一 求指定项的系数 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 例2．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）在的展开式中，第4项的二项式系数为（   ） A．5 B．10 C． D．160 【答案】B 【分析】利用展开式的通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第项的二项式系数为. 故选：B 例3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【详解】根据二项式展开式的通项公式， 可知的通项：， 根据题意令，则， 所以系数为：. 变式1．（24-25高二下·贵州遵义·期中）的展开式中，项的二项式系数为（   ） A． B． C． D．84 【答案】D 【分析】根据二项式展开式通项公式计算求解. 【详解】的展开式中，项的二项式的项为：， 所以项的二项式系数为. 故选：D. 变式2．（24-25高三上·贵州·月考）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（    ） A．8 B． C．28 D． 【答案】C 【分析】利用二项式系数的意义求解即可. 【详解】第3项的二项式系数为. 故选：C. 变式3．（2026·内蒙古包头·二模）在的展开式中，含的项的系数是__________. 【答案】16 【详解】易知含的项为， 因此其系数为16. 考点二 两个二项式乘积展开式的系数问题 例1．（25-26高二下·福建厦门·月考）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 例2．（25-26高二下·浙江·期中）的展开式中常数项为（    ） A．-6 B．6 C．1 D．4 【答案】B 【详解】因为， 所以展开式的通项为. 令，得， 所以常数项为. 例3．（25-26高二下·江苏无锡·期中）的展开式中的系数是_________. 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则，， 则的展开式中的系数是. 变式1．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）的展开式中的系数是（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】C 【详解】展开式的通项为， 所以的展开式中的系数为. 变式2．（24-25高二下·云南昭通·期中）的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为（    ） A．26 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由题可得第3项系数即含的项的系数，则分别计算，中的二次项，一次项系数，据此可得答案. 【详解】展开式中按x的升幂排列的第3项，即展开式中含的项. 的2次项，1次项分别为； 的2次项，1次项为. 则的2次项为. 故选：B． 变式3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【详解】的通项公式为，令得， 所以， 的通项公式为，令得， 所以的系数为. 考点三 三项展开式的系数问题 例1．（2026·四川南充·二模）的展开式中的系数为（    ） A．1 B．6 C．15 D．20 【答案】B 【分析】先化简得到，再利用二项展开式的通项计算的系数 【详解】化简得到， 的展开式通项为。 令 ，即，得到， 故的系数为. 例2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【详解】的展开式中的常数项为． 例3．（25-26高二下·江苏南京·月考）展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【详解】解：展开式中含的项为， 故展开式中的系数为． 变式1．（25-26高二下·广东广州·月考）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 变式2．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【答案】C 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 变式3．（25-26高二下·天津·月考）的展开式中的系数是_________（用数字作答） 【答案】 【分析】利用二项式定理计算即可 【详解】可看成五个因式的乘积， 含的项可以是五个因式中选1个提供，1个提供，余下3个因式提供1； 也可以是五个因式中选3个提供，余下2个提供1； 则的系数是. 考点四 二项展开式的系数和问题 例1．（2026·吉林·三模·多选）在的展开式中，则（   ） A．展开式共有7项 B．常数项是第4项 C．各二项式系数的和为 D．各项系数的和为 【答案】ABC 【详解】由知，其展开式共有7项，且二项式系数的和为，A、C对， 由该二项式的展开式的通项为， 令，则常数项为第四项，B对， 令，则各项系数的和为，D错. 例2．（2026·山西临汾·二模·多选）若，则下列结论正确的是（   ） A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B． C． D．被16除的余数是15 【答案】ABC 【分析】利用二项式定理中二项式系数的特点：中间项的二项式系数最大，求解选项A，对二项式展开式进行赋值，赋值求解选项B，对二项式展开式的左右两边进行求导再赋值求解即可求解选项C，对二项式展开式赋值并观察各项系数特点是否含有16的因数求解选项D. 【详解】展开式中二项式系数最大为第1014项，故选项A正确， 所以 又因为 所以令则故选项B正确. 对函数左右两边求导得： 令，则 又，所以，故选项C正确. ， 令，则， 除第一项外，其余项均可以被16整除， 所以被16除的余数是1，故选项D错误. 例3．（25-26高二下·宁夏银川·月考）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. 【答案】(1)0 (2) (3)0 【分析】（1）令得到所有项系数和，再令得到的值，两者作差即可得到值； （2）先分析原二项式展开式系数的正负性，再通过赋值法，将原二项式中的负号转化为正号后令，从而得到值； （3）利用赋值法，令取特定值，代入原二项式展开式直接得到值. 【详解】（1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此； （2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数， 等价于令代入原式： 计算得，因此结果为； （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. 变式1．（25-26高二下·吉林长春·期中·多选）已知，则下列描述不正确的是（　　） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二项式定理求出，直接判断A，求出判断B，在已知展开式中改变已知展开式中符号为，令，再求解判断C，已知求导后令求解后判断D. 【详解】， 选项A，，A错误； 选项B，，除以5余数是1，B正确； 选项C，由已知，， 所以， 所以，从而，C错误； 选项D，，， ， 所以，D错误. 变式2．（25-26高二下·福建福州·期中·多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，令，则，所以，A错误； 对于B，令，则，B正确； 对于C，令，则， 显然都是正数，都是负数， 所以，C正确； 对于D，对两边同时求导， 则， 令，则， 又， 所以 ，D正确. 变式3．（25-26高二下·天津静海·期中）已知 展开式共有11项. (1)求 的值； (2)求 的值； (3)求 的值. (4)求的值. (5)结合二项式展开式的特点，针对合理赋值这一方法应如何进行设问. 【答案】(1)0 (2) (3)0 (4)20 (5)答案见解析 【详解】（1）二项式展开式的项数为，由题知展开式共11项，因此，得， 令，得， 即， 令，代入等式得：， 因此. （2）展开式中，系数的符号由决定，即对应将原式中换为后的系数，等价于令代入原式： 计算得，因此结果为. （3）令，代入等式得， 左边等于，因此结果为. （4）对两边分别求导数，左边，右边， 代入，得到. （5）可以通过给赋值为求系数总和，求常数项，若各项的系数形如，可赋值，如果出现之类，可以先对二项式两边分别求导，然后赋值去求解. 考点五 求系数最大（小）的项 例1．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 例2．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【分析】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【详解】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 例3．（2025·新疆·三模）二项式的展开式中系数的最大值是________． 【答案】32 【分析】设第项系数最大，由第项系数不小于第项和第项系数，列不等式组解之可得项数即可得解． 【详解】展开式第项系数为，设第项系数最大，则 ，解得，∴， ∴系数的最大值是：． 故答案为：32. 变式1．（24-25高三下·浙江宁波·月考）二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【答案】C 【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数. 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 变式2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】先根据二项式系数的性质确定的值，再求出展开式的通项公式，最后根据有理项的定义确定有理项的个数. 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 变式3．（24-25高二下·上海嘉定·期末）在的二项展开式中，系数最大的项是______． 【答案】 【分析】二项式展开式列出系数不等式组计算求解即可得答案. 【详解】令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大， 则二项展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 考点六 由二项展开式的系数或系数和求参数 例1．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 例2．（25-26高三上·山西运城·期中）若的展开式中，所有二项式系数之和为32，则该展开式中的常数项为（    ） A．－48 B．48 C．－80 D．80 【答案】C 【分析】先根据二项式系数之和求出的值，再利用二项展开式的通项公式求出常数项. 【详解】的展开式中，所有二项式系数之和为解得. 的二项展开式的通项为， 当时，即时，该项为常数项，. 故选：C. 例3．（2025·上海浦东新·三模）已知的展开式中各项系数和为27，则含项的系数为__________.（结果用数值表示） 【答案】12 【分析】先令表示出各项系数和，求出的值，再利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】令代入中得，，则， 根据二项式定理，含的项为，所以含项的系数为12. 故答案为：12. 变式1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用赋值法，令，即可求出. 【详解】因为的展开式系数和为729， 所以令，则，则，所以或， 因为，所以. 故选：C 变式2．（2025·福建泉州·二模）若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（    ） A．32 B．64 C．80 D．16 【答案】C 【分析】根据二项式系数和公式可得，利用赋值法可得，即可利用二项式展开式的通项特征求解. 【详解】因为的二项式系数之和为32，则，解得， 即二项式为， 因为展开式各项系数和为243，令，代入可得，解得， 即二项式为，则该二项式展开式的通项为， 令，解得，则展开式中的系数为. 故选：C 变式3．（25-26高三上·广东佛山·月考）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中的系数为___________． 【答案】1215 【分析】根据给定条件，利用赋值法求出指数，再利用二项式定理求解. 【详解】由的展开式中各项系数之和为64，得当时，， 即，解得，则展开式中含的项为， 所以所求展开式中的系数为1215. 故答案为：1215 考点七 二项式定理的实际应用问题 例1．（25-26高二下·福建福州·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，（）为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】依题意可得，利用二项式定理说明被8除得的余数为0，即可判断. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 即被8除得的余数为0，结合选项可知只有2024被8除得的余数为0. 例2．（25-26高二下·安徽安庆·月考）被7整除的余数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题可知，， 则其展开式的通项公式为， 由通项公式可得，只有时，不能被7整除， 其余项均能被7整除，故被7整除的余数为3． 例3．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式除以所得的余式为，则a＝______． 【答案】2 【分析】由题可设，再化简解方程即可求解得到. 【详解】因为多项式除以所得的余式为， 所以可以设， 整理得到， 所以，则. 故答案为：2. 变式1．（2026·江苏镇江·二模）计算保留到小数点后3位的结果是（    ） A．0.945 B．0.905 C．0.904 D．0.903 【答案】C 【分析】由结合二项式展开式计算前四项的和即可求解. 【详解】， 由于展开式的第一项，第二项， 第三项，第四项，后面的项绝对值更小，对小数点后3位的影响可以忽略， 由， 所以保留到小数点后3位的结果是. 变式2．（25-26高二下·江苏南京·月考）下列选项中与最接近的数为（   ） A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15 【答案】B 【详解】 从选项可知精确到0.01即可. 所以原式. 变式3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知能够被8整除，其中，则______． 【答案】7 【分析】利用二项式定理将转化为，分析其除以8的余数，再结合能够被8整除的条件，即可求出的值. 【详解】因为， 根据二项式定理：， 展开式中，前1013项都含有因数8，都能被8整除， 只有最后一项不能被8整除， 因为能够被8整除，所以就需要能被8整除， 又因为，即，所以，则. 考点八 杨辉三角 例1．（25-26高二下·吉林·期中）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 【答案】ACD 【详解】选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第行起，第行第个数可表示为, 故第行从左到右第四个数是，故正确 . 选项：第行第个数可表示为,由组合数的性质可知最大,因此时最大，故错误. 选项：,故正确. 选项：第行第个数,因此,令,则, 即,故正确. 变式1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）将按照二项式定理展开后，其各二项式系数可以形成“杨辉三角”（图1），将”杨辉三角”中所有的奇数涂成黑色圆，偶数涂成白色圆，就得到“谢尔宾斯基三角形”（图2），则下列说法正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为 B．在“杨辉三角”中，记第行的第个数为，则 C．在“谢尔宾斯基三角形”中，第行全行都为黑色圆 D．在“谢尔宾斯基三角形”中，第126行的黑色圆比白色圆少一个 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数之和的公式即可求解A，根据组合数的运算性质即可求解BC，由杨辉三角的性质即可求解D． 【详解】第行的所有数字之和为，A正确； ，所以，B正确； 通过观察规律归纳可知：第行数字都是奇数，因此可以归纳出第行全行都是奇数，故都为黑色圆，C正确； 由C可知第127行全行为奇数，则由奇数+偶数=奇数，结合， 则第126行的127个数是奇偶相间，且两端都是奇数，所以黑色圆比白色圆多一个，D错误； 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 【答案】ACD 【分析】A. 杨辉三角第行对应二项式系数，第6行第3个数为,计算可得，与选项相符，故A正确. B. 根据二项式定理，令中，可得第行所有数和为, 并非，因此B错误. C. 先证明杨辉三角相关结论：第行各数平方和等于.代入，即得平方和为，故C正确. D. 由，将原式化为.由，可得等式成立，故D正确. 【详解】A.杨辉三角规定第行为，第行的数对应二项式系数，第行从左到右第个数对应，计算得，A正确. B.杨辉三角第行（不含第0行）的所有数为. 由二项式定理，令， 取，得，即第行数字之和为，不是，B错误. C.在“杨辉三角”中,第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字, 用数学语言表述为， 证明如下: 对应相乘可得的系数为. 而利用二项式定理可得通项公式为，当时,可得，即的系数为:，所以所以第10行所有数字的平方和等于，C正确. D.第行第个数，则求和式可替换为，令，得，由二项式定理，故，D正确. 2 学科网（北京）股份有限公司 $