期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间位置关系8类核心考点，以判定与性质为逻辑主线，通过精选例题与变式构建系统性训练体系，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行的判定|2例+2变式|证明线面平行|线线平行→线面平行的转化| |线面平行的性质|2例+2变式|由线面平行证线线平行|线面平行→线线平行的应用| |面面平行的判定|2例+2变式|证明面面平行|线面平行→面面平行的判定| |面面平行的性质|2例+2变式|由面面平行证线线/线面平行|面面平行→线线/线面平行的性质| |线面垂直的判定|2例+2变式|证明线面垂直|线线垂直→线面垂直的判定| |线面垂直的性质|2例+2变式|由线面垂直证线线垂直|线面垂直→线线垂直的应用| |面面垂直的判定|2例+2变式|证明面面垂直|线面垂直→面面垂直的判定| |面面垂直的性质|2例+2变式|由面面垂直证线面垂直|面面垂直→线面垂直的性质|

期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判定 面面平行的性质 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的判定 面面垂直的性质 考点一 线面平行的判定 例1.(2026·江苏·模拟预测节选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA=2,PA⊥平 面ABCD,M是AD的中点，N是PC的中点. P M D B (1)求证：MN//平面PAB: 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)取PB的中点为G,连接AG,GN,因为N是PC的中点， 所以GN1/BC.GN-号8C 因为四边形ABCD为菱形，所以BC/IAD,BC=AD, 又M是AD的中点，所以AM/IGN,AM=GN,所以四边形AMNG为平行四边形， 所以MNI/AG,又AGc平面PAB,而MN不在平面PAB内， 所以MNI/平面PAB 例2.(25-26高一下·浙江·期中.节选)已知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,AB/CD,BC⊥AB, PC=BC=CD=}AB=1,点E为PA中点. 2 E (I)求证：DE∥平面PBC; 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1) E 取PB中点N,连接EN,CN, 在6ABP中，ENA8且EN=B, 因为ABIICD,且CD=AB,所以ENICD且EN=CD, 所以四边形ENCD是平行四边形，所以EDIICN, 因为DEd平面PBC,CNC平面PBC,所以DE∥平面PBC; 变式1.(25-26高三下·江西赣州期中.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AD/BC, AB⊥AD,△ACD是面积为3的等边三角形 4 B (I)已知E是PD的中点，证明：CE∥平面PAB 【答案】(1)证明见解析 〖详解】(1)等边A4CD面积S=AD=,得D=AC=CD=, 由ADIIBC,AB⊥AD,得AB⊥BC,且∠BAC=90°-∠CAD=30°， 在RIA ABC中，BC=ACsin30P三)AD 取PA中点F,连接EF,BF, 因为E是PD中点，故EFAD且EF=AD, 2 结合BCAD且BC=1AD, 2 得EFlIBC且EF=BC,即四边形BCEF是平行四边形， 因此CEIIBF, 又BFC平面PAB,CE文平面PAB, 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 由线面平行判定定理得：CE∥平面PAB 变式2.(25-26高一下·安徽阜阳·期中.节选)如图，在四棱台ABCD-A,B,CD,中，DD1⊥平面ABCD,两底面均为 正方形，AB=6,DD=5,A,B=2,点E在线段BD上，且DE=5EB. D A A E B (1)证明：D,E/平面A,BC,. 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)如图，连接BD,与AC交于点F,连接BF, 因为四边形ABCD是正方形，AB=2, 所以BD,=2√2，D,F=√2， 因为四边形ABCD是正方形，AB=6,所以BD=6√2. 因为DE=5EB,所以EB=BD=2, 所以EB=D,F,又EBIID,F, 所以四边形BED,F为平行四边形， 所以D,EIIBF, 因为D,E文平面ABC1,BFC平面A,BC, 所以D,E/I平面A,BC. D D B 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点二 线面平行的性质 例1.(25-26高一下·福建龙岩期中.节选)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,P分别为棱D,C,B,C, AA的中点. D E A P D B (I)求证：D,B,F,E四点共面. (2)设平面A,BDn平面AB,CD=1,求证：BDIl. 【答案】(I)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】(1)证明：连接DB. 因为E,F分别为棱DC,BC的中点， 所以EFI1D,B,又在正方体ABCD-A,B,CD,中，DD,IIBB,且DD=BB, 所以四边形DBBD,为平行四边形，所以DB∥BD,所以EF IBD, 所以D,B,F,E四点共面 (2)证明：由(1)知EF/BD, 又EFc平面ABC,D1,BDd平面ABCD, 所以BD11平面A,B,C,D1· 因为平面A,BD∩平面AB,CD=I,BDc平面A,BD, 所以BD/I. 例2.(25-26高一下·北京朝阳·期中.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形， PA=AB=2,AD=25;点E在线段PD上，且PE=1. 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 B (1)设平面PBC∩平面PAD=1,证明：BC/l; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)因为四边形ABCD为矩形， 所以BC//AD, 因为ADC平面PAD,BC丈平面PAD, 所以BCII平面PAD 又BCc平面PBC,平面PBC∩平面PAD=I, 所以BC111 变式1.(24-25高二下·江苏宿迁·期中.节选)在三棱台ABC-AB,C,中，AC⊥CB,AC=CB=2C,B,CD=DB, AE=EB,CD=CD,CD⊥平面ABC B (I)若平面DEB,∩平面A,C,B=MN,求证：DEIIMN; 【答案】(1)证明过程见解析； 【详解】(1)因为CD=DB,AE=EB, 所以DE为ABC的中位线， 故DEI1AC,又ACI1AC,故DEI/AC, 因为DE文平面AC,B,AC1t平面A,C,B, 所以DE/平面AC,B, 因为平面DEB,O平面A,C,B=MN,DEC平面DEB, 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 所以DE/IMN 变式2.(2026·青海西宁.二模.节选)如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,EF∥平面ABCD, AD⊥DC,△ADE为等边三角形，AB=4,CD=3,EF=AD=2. A (1)求证：ABIICD; 【答案】（①）证明见解析 【详解】(1)在五面体ABCDEF中， EFI∥平面ABCD, EFC平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD, 所以CDIEF, 同理可证ABEF, 所以ABIICD. 6 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点三 面面平行的判定 例1.(2026陕西西安模拟预测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E ,F,G分别是PD,AB,AC的中点. 0 (1)证明：平面EFG/平面PBC; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)因为F,G分别为AB,AC的中点，所以FG11BC, 而FG丈平面PBC,BCC平面PBC, 则FG/平面PBC. 连接BD,因为四边形ABCD为矩形，所以G为BD中点， 因为E是PD的中点，则EG/IPB, 而EGt平面PBC,PBc平面PBC, 所以EG/1平面PBC, 又EG,FGc平面EFG,且EG∩FG=G, 所以平面EFG/I平面PBC, 例2.(25-26高二下·江苏泰州·月考节选)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD∥EA, PD⊥CD,PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H. Q E G A B (I)求证：平面FGHI/平面ADPE; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)因为BP,BE,PC的中点分别为F,G,H, 所以FG1IEP,FH IIBCIIAD, 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 又EP,ADC平面ADPE,FG,FH丈平面ADPE, 所以FGII平面ADPE,FH1I平面ADPE, 又FGOFH=F,且FG,FHc平面FGH, 所以平面FGHI/平面ADPE, 变式1.(2026陕西咸阳二模·节选)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,EF⊥AB,CF=EF=2DF=2, AE=3,将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'DFE⊥平面BCFE,连接A'B,D'C(如 图2) D F D E B 图1 图2 (1)求证：平面A'EB11平面D'FC; 【答案】（①）证明见解析 【详解】(1)依题意，A'EI1D'F,A'Ed平面D'FC,D'Fc平面D'FC, 则A'EII平面D'FC,又BE//CF,BEt平面D'FC,CFc平面D'FC, 则BEII平面D'FC,又A'EOBE=E,A'E,BEC平面AEB, 所以平面A'EBI/平面D'FC 变式2.(25-26高三下·贵州铜仁月考节选)如图1，已知ABC的各边长均为4，点D,E,F分别为AB,BC, AC的中点，现将△ADF,BDE,△CEF分别沿DF,DE,EF折起，使点A到点P的位置，点B到点Q的位 置，点C到点M的位置，且平面PDF⊥平面DEF,平面ODE⊥平面DEF,平面MEF⊥平面DEF,如图2. E E 图1 图2 (I)求证：平面PQMI平面DEF: 【答案】(1)证明见解析 【详解】(I)证明：因为△ABC的各边长均为4，点D,E,F分别为AB,BC,AC的中点， 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 D 所以△ADF,BDE,△CEF均是边长为2的正三角形， 翻折后△PDF,△QDE,△MEF均是边长为2的正三角形， 如图，分别取DE,EF的中点G,N,连接QG,MW,GN, 则QG=MN=V3,且QG⊥DE,MN⊥EF, 因为平面ODE⊥平面DEF,平面MEF⊥平面DEF,且平面ODE∩平面DEF=DE, 平面MEF∩平面DEF=EF,QGC平面QDE,MNc平面MEF, 所以QG⊥平面DEF,MN⊥平面DEF, 所以QG∥MN; 又QG=MN,所以四边形QMNG是平行四边形，所以QM‖GN, 又OM￠平面DEF,GNc平面DEF,所以OMII平面DEF, 同理可证PQ/I平面DEF, 因为OMc平面PQM,PQc平面PQM,PQ∩QM=Q, 所以平面POM/I平面DEF; 0 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点四 面面平行的性质 例1.(25-26高二下.上海·期中.节选)如图，己知在四棱柱ABCD-EFGH中，EA⊥平面ABCD,N、M分别是EF、 HD的中点 E G B (1)求证：HN∥平面AFM; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)取AE的中点，记为S,连接SN,则SN∥AF, 因为SNE平面AFM,AFc平面AFM,所以SN∥平面AFM; 连接SH,由SA=HM,SA∥HM,得四边形ASHM是平行四边形， 所以SH∥AM 因为SHE平面AFM,AMC平面AFM, 所以SH∥平面AFM; 因为SNOSH=S,SN,SHc平面SNWH, 所以平面SNH∥平面AFM; 因为HNc平面SNH,所以HN∥平面AFM H M B 例2.(2025江苏南通·模拟预测节选)如图，已知圆台O,O2,AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴 截面，且BC=2AD=4,AE=√2. 10 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 D 03 B(:------ -------------===C (1)证明：AE1IBF; 【答案】(1)证明见解析； 【详解】(1)在圆台O,O中，由BA,FE为该圆台的母线，得BA,FE的延长线交于一点， 所以B,A,F,E四点共面， 而平面ADE/I平面BCF,平面AEFB平面ADE=AE,平面AEFB平面BCF=BF, 所以AEIIBF 变式1.(25-26高二上北京·期中.节选)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，侧面AA,C,C⊥底面ABC,D为AC中点， 过点A,B,D的平面与BC交于点E,AC=AA=2,∠AAC=60°，AB=BC=√2， (I)求证：E为BC中点； 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面ABC/1平面A,B,C, 而平面ABC∩平面AB,D=DE, 平面AB,C平面AB,D=A,B,, 得DE∥AB, AB∥AB1,.DE∥AB, D为AC中点，：E为BC中点 变式2.(2526高二下·天津河北开学考试节选)如图，正方形ABCD,CB与平面ABNM垂直，点P为AD的中点， AM //BN,ZABN=90,AM=AB=1 BN=2. 2 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 B (1)证明：NC/平面AMD; 【答案】()见解析 【详解】(I)因为BCIIAD,BCG平面ADM,ADc平面ADM, 所以BCII平面ADM, 同理BN/平面ADM,BC∩BN=B, 且BC,BNC平面BCN, 所以平面BCN//平面ADM,NCC平面BCN, 所以NC//平面AMD; 12 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点五 线面垂直的判定 例1.(25-26高一下·安徽阜阳·期中.节选)如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD⊥BD,BF为 △BCD的中线，将BCF沿BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. D B (I)求证：EF⊥平面ABCD 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)因为AD=BD=2,且AD上BD,所以AB=CD=2√2，LDBC=90° 又BF为△BCD的中线，所以CF=BF=EF=√2， 因为CE=2,所以CF2+EF2=CE2,所以EF⊥CF. 由题意知AD=BD=BC=2,BF为△BCD的中线，所以BF⊥CD. 而△EFB是ACFB沿BF折叠到点E的位置，所以BF⊥EF 因为EF⊥CF,BF⊥EF,且CF∩BF=F,且CF,BFC平面ABCD, 所以EF⊥平面ABCD 例2.(25-26高一下·浙江杭州·期中)在正六棱柱ABCDEF-AB,C,D,E,F中，AB=1,AA,=V3,O为下底面ABCDEF 的中心，M为侧棱DD,的中点 F E B (1)求证：MO/平面ABDE,; (②)证明：B,D⊥平面ABDE,: 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)由O是底面正六边形ABCDEF的中心，M是DD,的中点，通过构造中位线，找到平面内与MO平行 15 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； (2)利用线面垂直的判定定理，证明B,D垂直于平面ABD,E,的两条相交线。 【详解】(1)连接AD,OM,AD,如图所示， F B M:O为底面正六边形ABCDEF的中心，：O是AD的中点； :M是DD,的中点，：MO为△ADD,的中位线，则MO∥AD; AD,C平面ABD,E,MO文平面ABD,E,·MO/1平面ABD,E, (2)连接BD,，BD,BD,如图所示， F D B M:O为底面正六边形ABCDEF的中心，：∠ABC=∠BCD=120°； :BC=DC,∠CBD=30°，∠ABD=120°-30°=90°，即AB⊥BD; :六棱柱ABCDEF-A,B,CD,E,F是正六棱柱，BB⊥底面ABCDEF; :ABC底面ABCDEF,B,B⊥AB: B,BBDB,:AB⊥平面B,BDD1; :B,DC平面BBDD1,BD⊥AB; :底面ABCDEF是正六边形，BC=CD=AB=1,∠BCD=120°，·BD=√3： B,B⊥底面ABCDEF,BDC底面ABCDEF,.BB⊥BD; BB=44=3,:.BB=BD=3; :B,B∥AA,BB=AA,BB⊥BD,BB=BD,:四边形BBDD,为正方形； 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 :BD,BD为正方形B,BDD的对角线，：B,D⊥BD: :BD⊥AB,BD⊥BD,ABC平面ABDE,BDC平面ABDE,且BD,OAB=B,·B,D⊥平面ABD,E, 变式1.(24-25高二下·江苏宿迁·期中.节选)如图MA⊥平面ABC,BC⊥AC,F是线段BC上的动点，E是MC 的中点，已知AM=AC B (1)证明：AE⊥平面MBC; 【答案】(1)证明见解析； 【详解】(1)：AM=AC,E是MC的中点，：AE⊥MC, MA⊥平面ABC,BCc平面ABC,.MA⊥BC, 又：BC⊥AC,又ACO MA=A,ACc平面MAC,MAc平面MAC, BC⊥平面MAC, 又AEC平面MAC,BC⊥AE, 又BC∩MC=C,BCc平面MBC,MCc平面MBC, .AE⊥平面MBC; 变式2.(2026广东揭阳二模节选)如图，三棱锥P-A0B中，P01平面AOB,A0=0B,∠AB0=30°， AC=2BC=2P0=2. B A (1)求证：A0⊥平面POC; 【答案】（①）证明见详解 【详解】(1)因为P0⊥平面AOB,A0c平面AOB,因此P0⊥A0, AC=2BC=2,AB=AC+BC=3, 在等腰△0AB中，易知∠0AB=∠AB0=30°，∠A0B=120°， 由正弦定理可得40=sin30°sn1208=V3,则o6=V5, 在△A0C中，由余弦定理0C2=A02+AC2-2A0·ACc0s30, 15 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 可得0C=1,故有A02+0C2=AC2=4,则A0⊥0C, 因为PO∩OC=O,PO,OCc平面POC,且A0⊥P0、A0⊥0C, 所以A0⊥平面POC. 16 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点六 线面垂直的性质 例1.(25-26高二下…浙江期中.节选)如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SA=2,AB=√2，SP=2PD. S B (I)证明：AC⊥SD: 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)连结BDOAC=0,连结S0,如图， 因为四棱锥S-ABCD是正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD, 又ACc平面ABCD,所以SO⊥AC,在正方形ABCD中，BD⊥AC, 又SOBD=O,SO,BDC平面SBD,所以AC⊥平面SBD, 因为SDc平面SBD,所以AC⊥SD. 例2.(2026陕西成阳·三模.节选)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,ABIICD,AB=AS=AD=3, SB=3V2,SD=35,CD=2. B A (1)求证：AB1SD: 【答案】()证明见解析 【详解】(1)已知AB=AS=3,SB=3√2，则AB2+AS2=18=SB2, ∴△ABS为直角三角形，且AB⊥AS, :AB⊥AD,且AS AD=A,AS,ADC平面SAD, 由线面垂直判定定理可得，AB⊥平面SAD, :SDc平面SAD, AB⊥SD. 17 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(2026·河南周口模拟预测节选)如图1，AC为半径为2的圆0的直径，点D,B为圆0上的两点，且 AD=2DC,AB=BC如图2，将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB,OD,OE,BD D B 图1 图2 (I)若BC⊥CD,E为BD的中点，证明：OE⊥BC; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)证明：取BC的中点F,连接EF,OF E,O分别为DB,AC的中点， ∴EF∥DC,OF∥AB B 又：AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴.OF⊥BC. BC⊥DC,EF∥DC,.EF⊥BC 又EFOF=F,EF,OFc平面OEF,∴.BC⊥平面OEF :OEc平面OEF,∴.BC⊥OE 变式2.(2026陕西咸阳·模拟预测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD, PA=AD,点E是棱PD上的一点（不同于端点），且AE⊥EC. D (I)求证：PE=ED; 【答案】（①）证明见解析 【详解】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD. 18 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 因为底面ABCD是矩形，所以CD⊥AD, 又PAOAD=A,PAc平面PAD,ADC平面PAD,所以CD⊥平面PAD. 因为AEc平面PAD,所以AE⊥CD, 又AE⊥EC,CDEC=C,CDc平面PCD,ECc平面PCD, 所以AE⊥平面PCD,又PDC平面PCD,所以AE⊥PD. 又因为PA=AD,所以E为PD的中点，则PE=ED. 19 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点七 面面垂直的判定 例1.(2026天津和平·二模.节选)如图，四棱台ABCD-A,BCD,的上下底面均为正方形，且A4⊥底面ABCD, AD=AA,=2A,D,=6」 D D (I)求证：平面A,ABB,⊥平面A,ADD: 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)解：证明：因为AA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, 因此AB⊥AA,,又因为正方形ABCD, 所以AB⊥AD,AA∩AD=A, 所以AB⊥平面AADD,又ABC平面AABB, 所以平面AABB,⊥平面AADD1: 例2.(25-26高一下·浙江台州期中.节选)如图，圆柱OO,轴截面ABB,A是边长为2的正方形，动点C在底面圆周 上 A B (1)求证：平面AAC⊥平面BBC1: 【答案】（①）证明见解析 【详解】(1)如图，连接BC, 20 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 A :BBI/CC且BB,=CC,所以四边形BB,CC为平行四边形，所以BCIB,C ⊙ :AA⊥平面ABC,BCC平面ABC,.AA⊥BC 又：AB为圆O的直径AC⊥BC :AC⊥BC,AA,⊥BC,AC∩AA,=A,ACc平面AA,C,AAC平面AAC, BC⊥平面AAC,又：BCB,C1,∴B,C,⊥平面AAC,B,C,C平面BCB ∴.平面AAC⊥平面B,CB 变式1.(2026·云南昭通二模节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AB=BC=CD=AD=2, PA=PB=PC=PD=5 B (I)求证：平面ABCD⊥平面PAD; 【答案】()证明见解析： 【详解】(1)取AD的中点为O,连接PO,OB,如下图所示： p 在四边形ODCB中，OD=AD=BC,又OD∥BC,故四边形ODCB为平行四边形，故0B=DC=2: 2 在三角形PAD中，PA=PD=√5，又O为AD中点，故PO⊥AD,PO= PA- =5-4=1 在三角形P0B中，PO2+OB2=1+4=5=PB2,故P010B; 21 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 又ADOB=O,AD,OBc面ABCD,故PO⊥面ABCD,又POC面PAD,故面PAD⊥面ABCD 变式2.(25-26高二下·河南新乡·期中.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形， ∠ADC=120°，AD=DC=2,PC=V10. D A B (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(I)如图：取AD的中点E,连接PE,EC D C y 因为AD=2,所以DE=1,在△DEC中，∠ADC=120°，DC=2. 由余弦定理得CE=VCD2+DE2-2CD·DE·cosl20=V4+1+2×2x1x 因为△PAD为等边三角形，所以PE=√5， 在△PEC中，PC=V10,则PE2+CE2=PC2,所以PE⊥CE, 因为PE⊥AD,ADOCE=E,AD,CEc平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD, 因为PEC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD; 22 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点八 面面垂直的性质 例1.(2026河南安阳·模拟预测节选)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面A,AC⊥平面A,B,C,A,C,⊥A,B, AC=23.AB=AA=2,CAB=, 6 A C B B (I)证明：AB⊥平面ABC; 【答案】(1)证明见解析 【详解】(1)证明：因为AB=AA,所以四边形ABB,A,是菱形，所以AB⊥AB, 又A,C⊥A,B,且A,C,/IAC, 所以AC⊥AB, 因为AC∩AB,=A,ACc平面AB,C,AB,C平面ABC, 所以AB⊥平面AB,C; 例2.(2026河南郑州·二模·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,平面PAC⊥平面 PBD,AB=AP=√3，AD=1,四棱锥P-ABCD的体积为2. D B (I)求证：BD⊥PC; 【答案】()证明见解析 【详解】(1)设AC∩BD=0,连接PO,过点C作CM⊥P0于点M 由平面PAC⊥平面PBD,PO=平面PAC∩平面PBD,CMc平面PAC, 故CM⊥平面PBD,又BDc平面PBD,故CM⊥BD, 由PA⊥底面ABCD,BDC平面ABCD,故PA⊥BD, 又CM∩PA≠O,CM、PAc平面PAC,故BD⊥平面PAC, 23 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 又PCc平面PAC,故BD⊥PC; D 'M- B C 变式1.(25-26高二上广东广州月考节选)在三棱锥S-ABC中，平面SAC1平面ABC,AB⊥1BC, AC=AS=SC=2BC,D,E分别为AB,AC的中点. E D B (1)证明：AB⊥平面SDE; 【答案】()证明见解析 【详解】(1)：SC=AS,E为AC中点， :SE⊥AC,又平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,SEc平面SAC, :SE⊥平面ABC,而ABC平面ABC, :SE⊥AB,又D为AB的中点， :DEIBC,又BC⊥AB, :DE⊥AB.又DE∩SE=E,DE,SEC平面SDE, :AB⊥平面SDE. 变式2.(2026山东枣庄二模·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥ 平面ABCD,PA=PD=√2，E为AD的中点，点F为线段BC上的动点. D B (1)求证：平面PAD⊥平面PCD; 【答案】(1)证明见解析 24 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 【详解】(1)因为PA=PD,E为AD的中点， 所以PE⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,AD是交线，PEC平面PAD, 所以PE⊥平面ABCD, 因为CDc平面ABCD, 所以PE⊥CD, 又CD⊥AD,PE∩AD=E,PE,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD, 因为CDc平面PCD, 所以平面PAD⊥平面PCD 25期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点目录 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的判定 面面平行的性质 线面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的判定 面面垂直的性质 考点一 线面平行的判定 例1.(2026·江苏·模拟预测节选)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA=2,PA⊥平 面ABCD,M是AD的中点，N是PC的中点. P A M D B (I)求证：MN//平面PAB; 例2.(25-26高一下·浙江·期中.节选)己知四棱锥P-ABCD,PC⊥平面ABCD,ABIICD,BC⊥AB, PC=BC=CD=!AB=l,点E为PA中点. E ........ B (I)求证：DE∥平面PBC; 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(25-26高三下·江西赣州期中.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AD1IBC, AB⊥AD,AACD是面积为V3的等边三角形 B (I)己知E是PD的中点，证明：CE∥平面PAB 变式2.(25-26高一下·安徽阜阳期中.节选)如图，在四棱台ABCD-A,B,CD,中，DD,⊥平面ABCD,两底面均为 正方形，AB=6,D,D=5,A,B=2,点E在线段BD上，且DE=5EB. D A D B (1)证明：D,E/平面A,BC. 2 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点二 线面平行的性质 例1.(25-26高一下·福建龙岩·期中.节选)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,P分别为棱DC,B,C, AA的中点. D E A B P D B (I)求证：D,B,F,E四点共面. (2)设平面A,BDn平面AB,CD=1,求证：BDIl. 例2.(25-26高一下·北京朝阳期中节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形， PA=AB=2,AD=23;点E在线段PD上，且PE=1. D E A B (1)设平面PBC∩平面PAD=1,证明：BC11: 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(24-25高二下·江苏宿迁期中.节选)在三棱台ABC-A,B,C,中，AC⊥CB,AC=CB=2CB,CD=DB, AE=EB,CD=CD,CD⊥平面ABC. A B D (I)若平面DEB,∩平面A,C,B=MN,求证：DE/1MN; 变式2.(2026·青海西宁二模·节选)如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD,EF∥平面ABCD, AD⊥DC,AADE为等边三角形，AB=4,CD=3,EF=AD=2. E A (1)求证：AB/CD; 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点三 面面平行的判定 例1.(2026陕西西安模拟预测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E ,F,G分别是PD,AB,AC的中点. E D (1)证明：平面EFG/平面PBC; 例2.(25-26高二下·江苏泰州·月考节选)如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD∥EA, PD⊥CD,PD⊥AD,AD=PD=2EA=2,BP,BE,PC的中点分别为F,G,H H E D B (I)求证：平面FGHI/平面ADPE; 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(2026陕西咸阳二模.节选)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/CD,EF⊥AB,CF=EF=2DF=2, AE=3,将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A'D'位置，且平面A'D'FE⊥平面BCFE,连接AB,D'C(如 图2). D D F D E 公 B A B 图1 图2 (I)求证：平面A'EB/平面D'FC; 变式2.(25-26高三下·贵州铜仁月考节选)如图1，已知ABC的各边长均为4，点D,E,F分别为AB,BC, AC的中点，现将△ADF,BDE,△CEF分别沿DF,DE,EF折起，使点A到点P的位置，点B到点Q的位 置，点C到点M的位置，且平面PDF⊥平面DEF,平面QDE⊥平面DEF,平面MEF⊥平面DEF,如图2. D B 图1 图2 (1)求证：平面PQMI平面DEF; 6 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点四 面面平行的性质 例1.(25-26高二下.上海·期中.节选)如图，己知在四棱柱ABCD-EFGH中，EA⊥平面ABCD,N、M分别是EF、 HD的中点 E G B (I)求证：HN∥平面AFM: 例2.(2025·江苏南通·模拟预测节选)如图，己知圆台O,O2,AB,CD,EF均为母线，四边形ABCD为圆台的轴 截面，且BC=2AD=4,AE=√2. 01 B 02 C (1)证明：AE11BF; > 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(25-26高二上北京·期中.节选)如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，侧面AA,CC⊥底面ABC,D为AC中点， 过点A,B,D的平面与BC交于点E,AC=AA=2,∠AAC=60°，AB=BC=√2， C (1)求证：E为BC中点； 变式2.(2526高二下·天津河北·开学考试节选)如图，正方形ABCD,CB与平面ABNM垂直，点P为AD的中点， AM1/BN,∠ABN=90°，AM=AB=LBN=2. B A (I)证明：NC/平面AMD; 8 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点五 线面垂直的判定 例1.(25-26高一下·安徽阜阳期中节选)如图，在平行四边形ABCD中，AD=BD=2,AD⊥BD,BF为 △BCD的中线，将BCF沿BF折叠，使点C到点E的位置，连接AE,DE,CE,且CE=2. E D B (I)求证：EF⊥平面ABCD. 例2.(25-26高一下·浙江杭州期中)在正六棱柱ABCDEF-AB,CD,E,E中，AB=1,AA,=V5,O为下底面ABCDEF 的中心，M为侧棱DD,的中点 F E A B O. B (1)求证：MO//平面ABD,E,; (2)证明：B,D⊥平面ABDE1 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(24-25高二下·江苏宿迁·期中.节选)如图MA⊥平面ABC,BC⊥AC,F是线段BC上的动点，E是MC 的中点，己知AM=AC M B (1)证明：AE⊥平面MBC; 变式2.(2026广东揭阳二模.节选)如图，三棱锥P-A0B中，P0⊥平面AOB,A0=0B,LAB0=30°， AC=2BC=2P0=2. C (1)求证：A0⊥平面POC: 9 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点六 线面垂直的性质 例1.(25-26高二下…浙江期中.节选)如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SA=2,AB=√2，SP=2PD. S B C (1)证明：AC⊥SD; 例2.(2026陕西成阳·三模.节选)如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD,ABIICD,AB=AS=AD=3, SB=3V2,SD=35,CD=2. B (1)求证：AB1SD: 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(2026·河南周口模拟预测节选)如图1，AC为半径为2的圆0的直径，点D,B为圆0上的两点，且 AD=2DC,AB=BC如图2，将圆O沿AC翻折，E为线段BD上的一点，连接OB,OD,OE,BD D D B 图1 图2 (I)若BC⊥CD,E为BD的中点，证明：OE⊥BC; 变式2.(2026陕西成阳模拟预测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA1平面ABCD, PA=AD,点E是棱PD上的一点（不同于端点），且AE⊥EC, P E A B (I)求证：PE=ED; 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点七 面面垂直的判定 例1.(2026天津和平，二模.节选)如图，四棱台ABCD-AB,C,D,的上下底面均为正方形，且A4⊥底面ABCD, AD=AA =2AD=6. D (1)求证：平面AABB,⊥平面A,ADD; 例2.(25-26高一下·浙江台州期中.节选)如图，圆柱OO,轴截面ABB,A,是边长为2的正方形，动点C在底面圆周 上 A 01 B (1)求证：平面A,AC⊥平面BBC1: 13 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(2026·云南昭通二模节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AB=BC=CD=AD=2, 2 PA=PB=PC=PD=5 (I)求证：平面ABCD⊥平面PAD; 变式2.(25-26高二下·河南新乡·期中.节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形， ∠ADC=120°，AD=DC=2,PC=V10. D D --- A B (I)证明：平面PAD⊥平面ABCD; 14 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 考点八 面面垂直的性质 例1.(2026河南安阳·模拟预测节选)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面AAC⊥平面AB,C，A,C,⊥A,B, AC=23.AB=AA=2,CAB=, 6 C B (1)证明：A,B⊥平面ABC; 例2.(2026河南郑州二模·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,平面PAC⊥平面 PBD,AB=AP=V3,AD=1,四棱锥P-ABCD的体积为2. A D (I)求证：BD⊥PC: 15 期中培优：空间位置关系8种高频考点专项训练 变式1.(25-26高二上·广东广州月考·节选)在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC,AB⊥BC, AC=AS=SC=2BC,D,E分别为AB,AC的中点. D (1)证明：AB⊥平面SDE; 变式2.(2026山东枣庄·二模·节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥ 平面ABCD,PA=PD=√2，E为AD的中点，点F为线段BC上的动点. D E A (I)求证：平面PAD⊥平面PCD; 16