期中培优：补全线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的条件专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何中平行与垂直条件补全的存在性探索，以递进式题型构建从线面到面面的逻辑训练体系，强化直观想象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |补全线面平行条件|2例+2变式|存在性探索（找点/证平行）|线线平行→线面平行判定定理的应用| |补全面面平行条件|2例+2变式|存在性探索（定比/证平行）|线面平行→面面平行判定定理的转化| |补全线面垂直条件|2例+2变式|存在性探索（找点/证垂直）|线线垂直→线面垂直判定定理的应用| |补全面面垂直条件|2例+2变式|存在性探索（定比/证垂直）|线面垂直→面面垂直判定定理的转化|

期中培优：补全线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的条件专项训练 期中培优：补全线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的条件专项训练 考点目录 补全线面平行的条件 补全面面平行的条件 补全线面垂直的条件 补全面面垂直的条件 考点一 补全线面平行的条件 例1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用线面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点P的具体位置，即可求解． 【详解】（1）因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形ABED为菱形，所以， 又，所以，， 又，平面， 所以平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 所以， 所以； （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如下图所示： 所以，即可得A，M，P，Q四点共面， 又因为平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形AMPQ为平行四边形，所以，点P为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且， 易知为正三角形，且，所以， 由勾股定理可得， 所以， 所以 例2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求直线和平面的夹角的正弦值； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)存在点，且，使得平面. 【分析】（1）根据线面角定义得出线面角为，再结合边长关系计算求解； （2）在直角梯形中，过点作于，根据得到，利用线面垂直的性质得到，从而得到面，再利用面面垂直的判定即可证明平面平面. （2）存在点，且，则在上取点，使，连接，，，易证，，从而得到平面，平面，利用面面垂直的判定得到平面平面，从而得到平面． 【详解】（1）四棱柱是直四棱柱，所以平面， 所以直线和平面的夹角为， 在直角梯形中，过点作于，如图所示： 由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形，所以， 所以， 在中， 所以； （2）由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形， 所以，，所以， 所以， 从而得到， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （3）存在点，且，使得平面， 则在上取点，使，连接，，，如图所示： 此时，， 所以，即， 在平面中，，所以， 此时由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 变式1．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在五面体中，平面，分别为的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明，再利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （2）由平面，可得直线与平面所成角为，进而可得的正弦值，从而可得答案； （3）连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为再利用等体积法可求点到平面的距离 【详解】（1）， 又分别为的中点，，A四点共面， 平面面， 平面，平面， 又平面， 又为，且， 又平面平面， 平面 （2）因为平面，所以直线与平面所成角为， 直角三角形中，， . 即直线与平面所成角的大小为 （3）存在点P，使得平面 如图，连接，取其中点O，连接并延长与相交，交点即为 证明：因为分别为的中点， ， 面，在平面外， 平面， 由M是中点，M到面的距离为2， 根据条件，的面积为， 中， ， 得的面积为 设点到平面的距离为，则， 即，解得， 所以点到平面的距离为. 变式2．（24-25高一下·四川绵阳·月考）如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求：    (1)正四棱锥的外接球表面积； (2)若M为SA的中点，求证：平面； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出外接圆半径，即可求出正四棱锥的外接球表面积. （2）利用线面平行的判定推理得证. （3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论. 【详解】（1）在正四棱锥，，，则， 由对称性知，正四棱锥外接球球心在平面内， 因此正的外接圆是该外接球的截面大圆，外接球半径， 所以正四棱锥的外接球表面积. （2）在正四棱锥中，连接，连接，则O为AC的中点，    由M为SA的中点，得，又平面平面， 所以平面. （3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得，    过Q作的平行线交于E，连接，， 由于O是的中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由，得， 又，又平面，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，而平面， 所以平面，即侧棱SC上存在一点E，使得平面，. 考点二 补全面面平行的条件 例1．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 例2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 变式1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为，证明见解析 【分析】（1）连接并延长，与的延长线交于点，利用相似比证明，然后利用线面平行的判定定理和面面平行的性质定理证明即可. （2）结合平行线比例相等，利用线面平行的判定定理证得平面，由（1）平面，最后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 变式2．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取PB的中点，连接，由题意可证得且，即证得四边形为平行四边形，再证得结论； （2）取BC的中点，连接，由题意可证得平面平面，由题意可证得重合，再求出的值． 【详解】（1）证明：取PB的中点，连接， 在四棱锥中，底面为正方形，E，F分别为AD，PC的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形，， 而平面平面PBE， 平面； （2）存在满足条件的，且， 证明如下：取BC的中点，连接FQ，DQ，则， 由平面平面平面， 又平面平面， 又平面平面与重合， 即为BC的中点，．    考点三 补全线面垂直的条件 例1．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）借助长方体的性质与线面垂直的判定定理可得平面，再借助面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合直线与平面所成角的定义可得等于直线与平面所成的角，再借助正弦的定义计算即可得； （3）找出符合要求的点，再借助线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 例2．（25-26高一下·云南昭通·月考）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用等体积法即可求解； （2）在平面内过点A作，交于点Q，由面面垂直的性质定理可得平面，由题意得，根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 变式1．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 变式2．（25-26高一下·北京房山·月考）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证； （2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得. 【详解】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 考点四 补全面面垂直的条件 例1．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    例2．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）设，连接，利用三角形的中位线定理可得∥，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由面面垂直的性质可证得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，则直线与平面所成角为，从而可求得答案； （3）当时，可证得平面平面，设，然后在等腰直角三角形中利用平面向量的知识计算即可. 【详解】（1）证明：设，连接， 因为底面是正方形，所以为的中点， 因为是的中点，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面 （2）因为底面是正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为为等边三角形，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设正方形的边长为2，则， 因为平面，平面，所以， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）存在，当时，平面平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设，则，所以， 由（2）知平面， 因为平面，所以，所以， 因为， ， 所以， 所以，得，解得， 所以当时，平面平面. 变式1．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）取的中点，不妨设，利用平行直线转化结合余弦定理解三角形求异面直线夹角即可； （3）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【详解】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形，平面． 因为平面，所以. 因为是等边三角形，D为的中点，所以. 因为，平面，且， 所以平面． （2）如图，取的中点，连接，，则， 则是异面直线与CD所成的角或补角. 设，则，，，， 故， 即异面直线与CD所成角的余弦值为. （3）在中，作，垂足为E. 因为平面，且平面， 所以. 因为平面，且， 所以平面. 因为平面BCE，所以平面平面. 设，则，，故. 因为， 所以， 则，， 所以. 故在上存在点E，使得平面平面，此时. 变式2．（24-25高二上·陕西安康·月考）如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】（1）证明，结合可得平面，即得证. （2）取的中点，的中点，连接交于点，连接，，证得平面，可得当点M为棱的中点时，平面. 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：补全线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的条件专项训练 期中培优：补全线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的条件专项训练 考点目录 补全线面平行的条件 补全面面平行的条件 补全线面垂直的条件 补全面面垂直的条件 考点一 补全线面平行的条件 例1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 例2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求直线和平面的夹角的正弦值； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 变式1．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在五面体中，平面，分别为的中点，连接. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由. 变式2．（24-25高一下·四川绵阳·月考）如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求：    (1)正四棱锥的外接球表面积； (2)若M为SA的中点，求证：平面； (3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 考点二 补全面面平行的条件 例1．（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 例2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 变式1．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 变式2．（24-25高一下·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点分别为的中点．    (1)证明：平面； (2)在棱BC上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考点三 补全线面垂直的条件 例1．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高一下·云南昭通·月考）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式1．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 变式2．（25-26高一下·北京房山·月考）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 考点四 补全面面垂直的条件 例1．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 例2．（24-25高一下·广东惠州·月考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，面面，是的中点. (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出如果不存在，说明理由. 变式1．（24-25高一下·湖南衡阳·月考）如图，在正三棱柱中，为的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的余弦值. (3)在上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 变式2．（24-25高二上·陕西安康·月考）如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $