期中培优：三点共线问题、四点共面问题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

期中培优：三点共线问题、四点共面问题复习讲义 期中培优：三点共线问题、四点共面问题复习讲义 考点目录 三点共线问题 四点共面问题 考点一 三点共线问题 【知识点解析】 解题原理 1. 公共直线原理：若两点确定一条直线，第三点落在该直线上，则三点共线。 1. 平角原理：以中间点为顶点，两侧角之和为（构成平角），三点共线。 1. 平行重合原理：过同一点的两条直线互相平行，则两直线重合，三点共线。 1. 距离原理：任意两点线段和等于最长线段长，，则三点共线。 解题思路 1. 定基准直线：先连接其中两点，确定一条基准直线； 1. 证点在直线上：利用平行、垂直、角的关系，证明第三个点在这条直线上； 1. 角度证法：证明相邻两角互补，和为，构成平角； 1. 平行证法：证两条直线平行且有公共点，直线重合，推出共线； 1. 线段和差验证：利用线段等量关系，满足总长关系即可判定。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，为直线与平面的交点．    (1)求证：三点共线； (2)求与平面所成角的正弦值． 例2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 变式2．（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 考点二 四点共面问题 【知识点解析】 解题原理 1. 平面确定原理：不共线三点唯一确定一个平面，只需证第四个点在该平面内。 2. 相交/平行共面原理： 两条平行直线必共面；两条相交直线必共面； 若直线上所有点在同一平面，则多点共面。 3. 面面包含原理：点在某平面内，则该点与平面内任意点共面。 解题思路 1. 先定基础平面：任选不共线三点，确定唯一一个平面； 1. 证线在面内：连接四点构造直线，证明第四条直线落在已确定的平面中； 1. 平行构造法：构造两组平行线，利用平行线共面，推出全部点共面； 1. 相交构造法：利用直线相交于一点，相交直线共面，完成推导； 1. 分割面法：将四点拆分为两组共面直线，结合公共部分，证整体共面。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 例2．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：三点共线问题、四点共面问题复习讲义 期中培优：三点共线问题、四点共面问题复习讲义 考点目录 三点共线问题 四点共面问题 考点一 三点共线问题 【知识点解析】 解题原理 1. 公共直线原理：若两点确定一条直线，第三点落在该直线上，则三点共线。 1. 平角原理：以中间点为顶点，两侧角之和为（构成平角），三点共线。 1. 平行重合原理：过同一点的两条直线互相平行，则两直线重合，三点共线。 1. 距离原理：任意两点线段和等于最长线段长，，则三点共线。 解题思路 1. 定基准直线：先连接其中两点，确定一条基准直线； 1. 证点在直线上：利用平行、垂直、角的关系，证明第三个点在这条直线上； 1. 角度证法：证明相邻两角互补，和为，构成平角； 1. 平行证法：证两条直线平行且有公共点，直线重合，推出共线； 1. 线段和差验证：利用线段等量关系，满足总长关系即可判定。 【例题分析】 例1．（24-25高一下·广东广州·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，为直线与平面的交点．    (1)求证：三点共线； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，证明即可求解； （2）连结，证明平面，证明是与平面的所成角，连结，证明，证明是的外心即可求解. 【详解】（1）∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∵为直线与平面的交点， ∴，又∵平面， ∴平面，又∵平面，平面平面， ∴，∴，，三点共线； （2）连结，四边形是正方形， ，在正方体中平面， 平面， ，平面， ，同理， ，平面， 即是与平面的所成角， 连结，平面平面， ， ，， ，同理， 是的外心， 不妨设，， ，， ，即与平面所成角的正弦值为． 例2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，证明见解析. 【分析】（1）利用点为平面和平面的公共点即可得证； （2）先证明由为的中点，然后由三角形中位线定理可确定点的位置. 【详解】（1）若直线与直线交于点G，则， 又平面，平面，所以平面，平面， 又平面平面，所以， 即B，C，G三点共线. （2）存在，证明如下： 延长相交于点，连接， 因为为的中点，，所以， 所以，所以为的中点，为的中点， 在平面中，由平面向量知识可知，， 又，所以，所以， 因为，所以三点共线，即直线与直线交于点， 由为的中点可知，当取为的中点时，，即. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·宁夏·月考）如图，空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点，求证：三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明四边形中有一对平行直线即可. （2）要证明三点共线，可证明点在直线上，即证明点在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 变式2．（24-25高一下·江西·期末）已知正方体，、分别为和上的点，且，. (1)求证：； (2)设，求证：，，三点共线. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合正方体的性质、线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据面面相交的性质，结合（1）的结论证明即可. 【详解】（1）如图，连结，在正方体中， ∵，又，， ∴ 平面． 又在正方体中，连接, ∵，, ∴平面， 又平面，∴． 同理可得. 又，∴平面． ∴; （2）由题意可得，又由（1）知， 所以直线和必相交，不妨设， 则， 又平面， 所以平面， 同理平面． 因为平面平面， 所以， 所以、、三条直线交于一点． 考点二 四点共面问题 【知识点解析】 解题原理 1. 平面确定原理：不共线三点唯一确定一个平面，只需证第四个点在该平面内。 2. 相交/平行共面原理： 两条平行直线必共面；两条相交直线必共面； 若直线上所有点在同一平面，则多点共面。 3. 面面包含原理：点在某平面内，则该点与平面内任意点共面。 解题思路 1. 先定基础平面：任选不共线三点，确定唯一一个平面； 1. 证线在面内：连接四点构造直线，证明第四条直线落在已确定的平面中； 1. 平行构造法：构造两组平行线，利用平行线共面，推出全部点共面； 1. 相交构造法：利用直线相交于一点，相交直线共面，完成推导； 1. 分割面法：将四点拆分为两组共面直线，结合公共部分，证整体共面。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·江苏无锡·期中）如图，在长方体中，，，，，分别为棱，，的中点． (1)在线段上是否存在点，使得，，，四点共面？请说明理由； (2)证明：平面； (3)点在矩形内（包含边界）运动，且满足平面，求周长的最小值． 【答案】(1)当为中点时，，，，四点共面，利用平面性质判断 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）延长交于，连接交于，连接，由共面可得，进而得到为中点时，，，，四点共面； （2）通过证明平面平面，进而得到平面； （3）由（2）可知在线段上，再展开平面，利用余弦定理求边长即可． 【详解】（1）如图，延长交于，连接交于，连接， ，，分别为棱，，的中点， ，， 又，， 要使得，，，四点共面， ，又， 四边形为平行四边形， ，即为中点，， 易得，， 所以，存在，当为中点时，，，，四点共面； （2）连接， ，分别为棱，的中点， ，又平面，平面， 平面， 由（1）知，又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面，又 平面， 平面； （3）由（2）知平面平面， 在线段上，又， 的周长最小，即最小， 将平面沿翻折到平面中，如图， ， ， ， ， ， 又，所以的最小值为， 即周长的最小值为． 例2．（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出侧面与底面三角形的面积即可得解； （2）根据棱锥的体积公式求解； （3）利用两条平行线确定一个平面，证明四点共面即可. 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 【变式训练】 变式1．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 变式2．（24-25高一下·贵州·月考）如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【详解】（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $