第6讲：异面直线、线面角、二面角与距离期中核心考点题型讲义【五大题型】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第6讲：异面直线、线面角、二面角与距离期中高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：异面直线所成的角 · 考点二：线面角 · 考点三：点面距离问题 · 考点四：二面角 · 考点五：空间角和距离综合问题 【知识梳理】 知识点一：异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 知识点二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 知识点三　二面角的概念及其几何求法 一、定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法. 例如　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. 2、 三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.，求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. 三、垂面法 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. 【题型探究】 题型一：异面直线所成的角 【典例1】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）设，连接， 因，且为长方体， 则四边形为正方形，故为线段中点， 因点P为的中点，则为的中位线，则， 又平面，平面，则平面. （2）连接，由（1）可知，则直线与所成角是或其补角， 因，点P为的中点， 则，， 在中，， 在中，， 在中，， 在中由余弦定理得，， 故直线与所成角的余弦值为. 【变式1】．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，交于点，则为的中点，    又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 正四棱柱中，， 由勾股定理得，， 在中，，，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角的余弦值为； （3）因为正方形，所以，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以. 或 【变式2】．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 连接，由棱柱的性质，可知所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为， 平面，所以平面平面. （2）解：由（1）知，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 因为，平面，所以，， 所以，，， 所以，即， 所以在中，， 即异面直线与所成角的正弦值为. 题型二：线面角 【典例2】．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由勾股定理逆定理得到，即可得证； （2）取的中点，连接，即可得到平面，从而得到为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又四边形为直角梯形，且，， 则，所以， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接， 因为为的中点，所以，由（1）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，， 又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1】．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）如图，在边长为2的菱形中，，平面，，E，F分别是和的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 【分析】过A作于H，连接，由题可得平面，则为与平面所成的角，然后由题目数据可得答案. 【详解】过A作于H，连接 ∵平面，平面， ∴，又平面， ∴平面. ∴为与平面所成的角， 在边长为2的菱形中， ，∴为正三角形，又， ∴H为中点，. ∵，∴， ∴. 故与平面所成角的正弦值为. 【变式2】．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证； （3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面． （3）设正方体的棱长为，则， 又，， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 设和平面所成角为，则， 所以和平面所成角的正弦值为. 题型三：点面距 【典例3】．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．      (1)求证： 平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面．                            （2）因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 【变式1】．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，得到，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）作垂足为，求得，求得的面积，结合锥体的体积公式，列出方程求得到平面的距离，再由，得到点到平面的距离是点F到平面的距离的3倍，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，且，可得， 连接，因为，所以，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：因为，，所以， 又因为四边形是等腰梯形，， 在平面中，作垂足为，则， 则的面积为， 所以三棱锥的体积为，解得， 即点到平面的距离为， 因为，所以点P到平面的距离是点F到平面的距离的3倍， 所以点到平面的距离为. 【变式2】．（22-23高一下·山东泰安·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，F为中点. (1)求证：平面EAB； (2)求点C到平面BDE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取BE的中点G，连接AG，FG，先证明四边形ADFG为平行四边形，然后利用平行四边形性质及线面平行判定定理证明即可. （2）由平面ABCD求得，然后利用线面垂直的性质定理得，进而求出，最后利用等体积法求出点面距. 【详解】（1）取BE的中点G，连接AG，FG， 所以且， 又，，，所以，且， 所以四边形ADFG为平行四边形，所以， 又平面EAB，平面EAB，所以平面EAB. （2）因为，，所以， 所以， 又平面ABCD，所以， 因为，，所以， 由平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，， 又，， 所以， 所以， 设点到平面BDE的距离为h，则，解得， 所以点C到平面BDE的距离为. 题型四：二面角 【典例4】．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）证明，，可得平面，进而可得答案． （2）由（1）知为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）如图，取AC的中点M，连接DM，BM． 在正三角形ABC中，因为M为AC的中点，所以． 因为，，， 所以，所以． 因为M为AC的中点，所以． 因为，平面，所以平面． 因为，所以． （2）由（1）知为二面角的平面角． 在正三角形ABC中，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 在中，，所以， 所以，所以二面角的平面角的正弦值为1． 【变式1】．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面， 平面ACED， 故平面ABC， 因为平面ABC，所以． 又为等边三角形，为BC的中点，故， 因为， 平面BCE， 故平面BCE. （2）由于平面平面BCE，故， 因为为等边三角形，为BC的中点，故， 所以为二面角的平面角. 因为， 故， 所以， 故二面角的余弦值为. 【变式2】．（24-25高一下·广东·期中）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面平面 (2)若，求二面角的正弦值. 【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴. ∵，点是线段的中点，∴， ∴为等腰直角三角形，故， ∴，即. ∵在直三棱柱中，，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2） ∵四边形为矩形，点是线段的中点，∴， ∵，∴为等边三角形，故. 由题意得，，，∴， ∵，∴. 如图，过作平面，垂足为，连接，. 由（1）得，平面平面， ∵平面，∴平面平面. ∵，平面，平面，∴平面， ∴到平面的距离等于到平面的距离， ∵平面，平面，∴， ∵面，∴， ∴四边形为矩形，故，. 由平面，平面，∴，故. 由，得，     由（1）知，， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角， 在中，，∴. 由，，得为等腰直角三角形，即， ∴二面角的正弦值为. 题型五：空间角和距离综合问题 【典例5】．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 【变式1】．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明详见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理可证，再结合线面垂直的判定定理可证平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）根据等体积法，利用三棱锥的体积求点到平面的距离即可； （3）根据二面角的定义做出二面角的平面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题得，在△中，，所以. 又因为矩形，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）在△中，，所以，所以. 在直角△中，. 由（1）知平面，所以点到平面的距离为. 设点C1到平面ABD的距离为d， 由，得， 所以. （3）如图，在平面内作于点，在平面内作于点，连接.    由（2）知，，又， 平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，，平面，所以平面. 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角. 因为，所以，解得， 因为平面，又平面，故， 所以． 由题意知直角三角形中，，， 故，又，则， 所以， 故二面角的余弦值为． 【变式2】．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点在线段上. (1)当时， （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点P到平面的距离； (2)当时，求二面角的余弦值.（不允许用空间向量法求解） 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）连接交于点，连接，根据三角形的中位线可得利用线面平行的判断定理即可证得结果；（ⅱ）由（ⅰ）知平面，点到平面的距离可以转为到平面的距离，即为所求结果； （2）可证得为二面角的平面角，通过余弦定理计算即可求得结果. 【详解】（1）（ⅰ）连接交于点，连接， 因为底面为正方形，所以点为的中点， 当时，为中点，所以 因为平面平面 平面 （ⅱ）由（ⅰ）知平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离. 底面， 底面，， 因为底面为正方形，所以， 又因为平面平面，，所以平面， 所以即为点到平面的距离， 所以点到平面的距离为， （2）当时，点为上靠近于C的三等分点， 因为平面，平面， 所以， 连接，， 又，点在公共边上. ，又 为二面角的平面角 在中，， 在中，在由余弦定理得： . . 所以二面角的余弦值为. 【强化精练】 1．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理推理得证. （2）易证平面，结合（1）可证结论成立. （3）利用几何法求出夹角的余弦. 【详解】（1）在正方体中，连接交于，连接， 则为的中点，而为的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由为的中点，为的中点，得，， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 于是平面，由（1）知平面，而， 平面，所以平面平面． （3）由（1）知，，则是异面直线与所成的角或其补角， 令正方体的棱长，则，， 因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 2．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法进行求解点到平面的距离； （2）直接求解与平面的夹角为，即可求出正弦值. 【详解】（1）在棱长为的正方体中，分别为线段的中点， 所以，所以，故, ， 记点到平面的距离为， 由,则, 故，即. 故点到平面的距离为. （2）由题意可知，平面， 则与平面的夹角为， 故. 故直线与平面的所成角的正弦值. 3．（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）连接AC，交BD于O，连接EO，通过证明PA//EO 可证明结论； （2）通过证明DE平面PBC，可得，结合可得平面； （3）由题意易知是平面与平面的夹角，且，分别求出的值，利用，即可求出答案. 【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接EO. 因O，E分别为中点，则， 又平面EDB，平面EDB， 则面； （2）因四边形ABCD是正方形，则BC， 又底面平面，则BC. 因平面，，则平面. 又平面，则， 因，E是PC的中点，则. 又平面，，则平面PBC， 因平面PBC，则，又，平面，， 则平面； （3）由（2）及平面可知， 故是平面与平面的夹角， 不妨设，∴， 在中，，，， 又面，∵面，∴, 在中，， ∴，故平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 4．（24-25高一下·湖南长沙·月考）在四棱锥中，,，平面，为的中点，为的中点，. (1)取中点，证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一证，利用平面证，结合，利用线线垂直推出平面，得，可得，再由线线垂直可证平面； （2）先证明平面，通过计算求出相关边长和三角形面积，利用等体积即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）在中，，则. 而，则在等腰三角形中，①. 又在中，， 则， 因为平面，平面，则， 又，即，，平面， 则平面，因为平面，所以，因此②. 又，且平面，由①②知平面； （2）在中，，， 又，平面，平面， ， 在中， ， 设点到平面的距离为， 则， ，即点到平面的距离为. 5．（24-25高一下·天津·期中）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题，可得，根据面面垂直的判性质定理可证； （2）由（1）知，是直线与平面所成角，运算求解. 【详解】（1）如图，连接，因为为的中点，是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由（1），平面，则是直线与平面所成角， 又，且，， ， 因为平面，平面，所以， 所以为直角三角形，为直角， 在中，，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，可求得，，利用勾股定理的逆定理可证，结合，可证结论成立； （2）利用（1）易证结论成立； （3）可证，进而可得为二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：， 取的中点，连接， ，，，四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面； （2）由（1）知平面平面，所以平面平面． （3）平面平面，又， 为二面角的平面角． 在中，， . 7．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． (3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线的性质得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立． （3）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用求解即可. 【详解】（1）连接交于，连接． 因为为正方体，底面为正方形， 对角线交于点，所以为的中点，又因为为的中点， 在中，是的中位线，则， 又平面平面，所以平面； （2）因为为的中点，为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面； 由（1）知平面，又因为，平面， 所以平面平面． （3）因为平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为正方体棱长为2，为的中点，所以． ，．，．因为， 所以，求得． 8．（24-25高一下·广东深圳·期中）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为，又，平面， 所以平面，故， 在中，，为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面. （2）因为平面，所以 因为在正方形中，，所以平面，所以，， 所以是二面角的平面角， 因为且，所以， 二面角的大小为； 9．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，即可证，利用线面平行的判断定理即可证明； （2）先证平面，再由计算即可； （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，利用等体积法求出，最后计算即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是矩形，所以为的中点，又是的中点， 又，又平面，平面， 所以平面. （2）由于，又是的中点，所以， 在正三棱柱中，平面，平面，所以， 又平面平面， 所以平面，所以是三棱锥的高，又，所以， （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 由（2）有平面，又平面，所以， 因为，，所以， 又，即，解得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．（24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再结合线面平行的性质求证即可； （2）过点P作于点M，连接EM，先证明平面BCFE，可得为直线PE与平面BCFE所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）由，可知， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以． （2）由题知， 因为，所以， 过点P作于点M，连接EM， 由，则， 因为，，，平面，， 所以平面PFC，因为平面，所以， 因为，平面BCFE， 所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角， 在中，， 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． 11．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，如图所示，    因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 又为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）取棱的中点，连接，如图所示，   为等边三角形，得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，故， 又，，平面， 所以平面. （3）连接，如图所示，    因为，所以BC，AD与平面PAC所成的角相等， 由（2）中平面，可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以，直线BC与平面所成角的正弦值为. 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 【详解】（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即得. （3）由（2）求得，再在上取点，利用线面平行的判定推理得解. 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ，于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，在上取点，使， 则，，而平面平面，平面，因此平面， 所以线段上存在点N，使得平面，. 14．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）借助余弦定理证得，再利用面面垂直的性质推理得证. （2）作出线面角，利用定义法求出大小. （3）延长棱台侧棱还原成棱锥，再利用面面角的定义计算推理即可. 【详解】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲：异面直线、线面角、二面角与距离期中高频考点题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：异面直线所成的角 · 考点二：线面角 · 考点三：点面距离问题 · 考点四：二面角 · 考点五：空间角和距离综合问题 【知识梳理】 知识点一：异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． ②范围：. 知识点二　直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 知识点三　二面角的概念及其几何求法 一、定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法. 例如　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝，求二面角V－AB－C的大小. 2、 三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法.这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.，求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. 三、垂面法 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. 【题型探究】 题型一：异面直线所成的角 【典例1】．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，长方体中，，点P为的中点. (1)求证：直线平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【变式1】．（24-25高一下·山西阳泉·期中）已知在正四棱柱中，，，点是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【变式2】．（24-25高一下·吉林松原·期中）如图，在三棱柱中，，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若三棱柱为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线与所成角的正弦值. 题型二：线面角 【典例2】．（24-25高一下·黑龙江双鸭山·期中）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1】．（24-25高一下·甘肃平凉·期中）如图，在边长为2的菱形中，，平面，，E，F分别是和的中点，求与平面所成角的正弦值． 【变式2】．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）如图， 在正方体中， 是的中点. (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)求和平面所成角的正弦值. 题型三：点面距 【典例3】．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点．      (1)求证： 平面； (2)求点D到平面的距离． 【变式1】．（24-25高一下·广东佛山·期中）如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)若，三棱锥的体积为6，求点到平面的距离. 【变式2】．（22-23高一下·山东泰安·期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，F为中点. (1)求证：平面EAB； (2)求点C到平面BDE的距离. 题型四：二面角 【典例4】．（24-25高一下·山西忻州·期中）如图，在三棱锥D-ABC中，底面ABC为正三角形，，，． (1)求证：； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【变式1】．（24-25高一下·广东惠州·期中）如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 【变式2】．（24-25高一下·广东·期中）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点. (1)求证：平面平面 (2)若，求二面角的正弦值. 题型五：空间角和距离综合问题 【典例5】．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【变式1】．（24-25高一下·广西柳州·期末）如图1，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿BD翻折至△BC1D，且，如图2所示.    (1)求证：平面ABC1⊥平面AC1D； (2)求点C1到平面ABD的距离d； (3)求二面角的余弦值. 【变式2】．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点在线段上. (1)当时， （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点P到平面的距离； (2)当时，求二面角的余弦值.（不允许用空间向量法求解） 【强化精练】 1．（24-25高一下·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)取中点，求证：平面平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 2．（24-25高一下·青海西宁·期中）如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 3．（24-25高二上·湖南长沙·月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． (1)求证：PA∥平面EDB； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小． 4．（24-25高一下·湖南长沙·月考）在四棱锥中，,，平面，为的中点，为的中点，. (1)取中点，证明：平面； (2)求点到平面的距离. 5．（24-25高一下·天津·期中）如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 7．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，在正方体中，为的中点，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． (3)若正方体的棱长为2，求直线到平面AEC的距离． 8．（24-25高一下·广东深圳·期中）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. (1)求证：直线平面； (2)求二面角的大小； 9．（24-25高一下·广东东莞·期中）已知正三棱柱中，点是的中点，底面的边长为2，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 11．（24-25高一下·吉林·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形.平面平面PCD，，，. (1)设G，H分别为PB，AC的中点，求证：平面PAD； (2)求证：平面PCD； (3)求直线BC与平面PAC所成角的正弦值. 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 14．（24-25高一下·山东泰安·期中）如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $