广东广州市2025-2026学年高一下学期数学期中自编模拟卷02

广东省广州市2025-2026学年高一下学期数学期中自编模拟卷02 范围：人教A版必修第二册第六至八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以复数的共轭复数为. 2．如图，在中，为中点，在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求得关于、的表达式，利用平面向量的减法法则可得出关于、的表达式. 【详解】为的中点，则， ，， . 故选：B. 3．中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】D 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为，高为， 则，，， 故. 故选：D 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系可判断每个选项的正误． 【详解】对于A：，，或与相交或与异面，故A错误； 对于B：由，，，可能，可能，还可能异面不垂直， 也可能相交不垂直，故B错误； 对于C：由，，则，又，则，故C正确； 对于D：，或，故D错误. 故选：C. 5．若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由侧面积求得母线长，再求出圆台的高，然后由体积公式计算． 【详解】记母线长为，高为， 由侧面积为，，则高为， 所以体积为， 故选：B． 6．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，，，则， 由正弦定理得，则， 在中，，所以. 故选：D 7．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用面面垂直的性质证得面，面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示，    连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 则由题意知，，为正方形外接圆的圆心， 又因为面面，面面，面， 所以面， 同理面， 设等边的外接圆的圆心为， 过作的平行线交过且与平行的线于点O， 则面，面， 所以O为四棱锥外接球的球心，设球的半径为， 方法1：等边的外接圆半径为 ， 方法2：在等边中由正弦定理得，解得， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C. 8．在中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这样就能直接利用边长与角的关系表示三点坐标，再由重心坐标写出利用得到关于的关系式，最后设求函数值范围即可. 【详解】设 因为所以这样的设法符合题意， 因为点是的重心，所以 于是 由可得 所以 得 展开整理： 因此 设则， 当且仅当即时取等号，所以最小值为 又因为三角形内角且这里由上式可知 ， 所以必须有 事实上等价于即 当 或 时， 综上， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．为纯虚数 C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为 【答案】BCD 【分析】由，将所求复数化为的形式，进而逐项判断可得其正误． 【详解】对A，因为（其中为虚数单位，），所以，故A错； 对B，为纯虚数，故B正确； 对C，复数的模长等于，故C正确； 对D，其共轭复数为，故D正确． 故选：BCD． 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示与同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对A：若，则，解得，A正确； 对B：若，则，所以， 所以，B错误； 对C：因为，，而， 当且仅当、反向时等号成立，此时，解得， 即当时，取最大值，C对； 对D：若，即，故， 所以，D正确． 故选：ACD. 11．如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．三棱锥体积最大时，其内切球半径为 【答案】ABD 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；.先由基本不等式确定B点位置，再结合等体积法即可求得三棱锥的内切球半径，则D可求. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A正确； 对于B，， 当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值， 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C错误； 对于D，结合B选项的解析可知， 当且仅当时等号成立，即时三棱锥的体积取最大值， 此时三棱锥的表面积为：， 设三棱锥的内切球半径为， 由等体积法可得，故D对. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 【答案】9 【分析】根据斜二测画法，还原成平面图形，计算面积即可. 【详解】根据斜二测画法，还原成平面图形. 得到，，，， 可知四边形是直角梯形，所以四边形的面积． 故答案为：9 13．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】解：因为平面向量，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ， 故答案为： 14．如图，点O为内一点，且，，，则______ 【答案】8 【分析】由，知点为的重心．连接并延长，交于点，可得和的长，又，利用平面向量的数量积公式计算即可得解． 【详解】解：由，所以点O为的重心．连接CO并延长，交AB于点D． 又，所以． 在中，，所以． 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若向量，且，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，然后根据向量数量积的坐标表示即得； （2）利用向量模长的坐标表示结合二次函数的性质即得. 【详解】（1）因为向量，， 所以，又， 所以， 即， 所以； （2）因为，， 所以 ， 即的最小值为. 16．（15分） 在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，所以，即可求解； (2)先证明平面，又因为平面平面，面，所以，即可求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以，且， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，有，则， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； （2）在平行四边形中，有， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，面，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 17．（15分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 【答案】(1) (2)，面积 【分析】（1）根据题意，由余弦定理代入计算，即可求解； （2）根据题意，由条件可得，再由正弦定理和三角形面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）已知，由余弦定理得：， 所以， 化简可得：. 又，故 （2）， 由正弦定理，代入，，： 所以. 因为， 所以. 18．（17分） 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)若点为的中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由条件可知，平面平面，再利用面面垂直的性质定理，即可证明线面垂直； （2）首先取中点，将转化为，再根据（1）的结果，利用线面角的定义，即可求解线面角； （3）利用等体积转化，，求点到平面的距离. 【详解】（1）∵平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面， ∵，点为中点， ∴， ∵平面平面，平面， ∴平面. （2） 取中点，连接，， ∵，，，点为中点， ∴四边为平行四边形，∴， ∴直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等， ∵平面， ∴为直线与平面所成的角， ∵点为中点，， ∴，，， ∴，又，所以， 所以直线与平面所成角为. （3）如图，连结和， 由，，，且平面， 所以,， ，，, 所以是等边三角形，， 设点到平面的距离为， 则，即，得 所以点到平面的距离为 19．（17分） 在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理得，由两角和与差的正弦公式可得，从而得到； （2）因为，所以由得，代入数值即可求得的值； （3）由是锐角三角形得，由正弦定理得，设，根据在上单调递增即可求得的取值范围. 【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），所以. （2）由（1）知，所以为锐角， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即. （3）因为是锐角三角形，所以，解得， 所以， 由正弦定理得 . 令，则在上单调递增， 而，所以， 所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省广州市2025-2026学年高一下学期数学期中自编模拟卷02 范围：人教A版必修第二册第六至八章 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为中点，在线段上，且，则（    ） A． B． C． D． 3．中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（    ） A．24 B． C． D． 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 5．若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，侧面积为，则它的体积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点和，测得，，长米，并在处测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，侧面底面，侧面是正三角形，底面是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 8．在中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．为纯虚数 C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为 10．已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 11．如图，为正圆锥底面圆的直径，点是圆上异于的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．三棱锥体积的最大值为 C．的取值范围是 D．三棱锥体积最大时，其内切球半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．把水平放置的四边形按照斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，则四边形的面积为___________． 13．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______． 14．如图，点O为内一点，且，，，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量，. (1)若，求实数的值； (2)若向量，且，求的最小值. 16．（15分） 在底面为平行四边形的四棱锥中，，分别为棱，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面平面，求证：平面． 17．（15分） 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且. (1)求角B； (2)若，，求边c和的面积. 18．（17分） 如图，已知平面ABC，，，，，，点为的中点 (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)若点为的中点，求点到平面的距离． 19．（17分） 在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $