以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练-2026年中考数学二轮复习

以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 考点目录 以圆为背景的解直角三角形问题 以特殊四边形为背景的解直角三角形问题 考点一 以圆为背景的解直角三角形问题 例1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 例2．（2026·江西宜春·一模）“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点，重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 例3．（2026·北京石景山·一模）如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 例4．（25-26九年级下·湖南·期中）如图，为的切线，交于点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若半径，，求阴影部分面积． 变式1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为半圆O的直径，点P在的延长线上，过点P作半圆O的切线，与半圆相切于点C，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E． (1)求证：； (2)若半圆O的半径长为4，，求的长． 变式2．（2026·湖南长沙·一模）如图，的三个顶点都在以为直径的半圆上，，连接并延长至点E，交于点F，且，连接． (1)求证：是该半圆的切线； (2)若，，求的长． 变式3．（2026·浙江丽水·一模）如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 变式4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，是的切线，点为切点，点为上一点，射线，交于点，连接，点在上，过点作，交于点，作，垂足为点．，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 考点二 以特殊四边形为背景的解直角三角形问题 例1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D在上，．过点A，C分别作，的平行线相交于点E． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 例2．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在矩形中，点E在边上，以E为圆心，长为半径画弧交边于点F，连接交线段于点P，恰有，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，，求的长． 例3．（2026·广东深圳·一模）定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 变式1．（2025·广东深圳·一模）【定义】如果平行四边形的一边中点和对边两端点连线的夹角恰好等于该平行四边形的一个内角，那么这个平行四边形叫做“中等平行四边形”． （1）边长为2的正方形______“中等平行四边形”（选填“是”或“不是”）； 如图1，在矩形中，E为边中点，，则矩形是中等平行四边形．若，则______，______． 【应用】 （2）在中等平行四边形中，，，求的长． （3）如图2，若菱形是中等平行四边形，锐角是它的一个内角，则______． （参考公式：，） 变式2．（2025·云南昆明·一模）如图，在矩形中，E、F分别是、的中点，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为24，求菱形的周长． 变式3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，菱形的边长是，．把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，设旋转角度，与交于点，连接． (1)求的度数（用含的代数式表示）． (2)若，求的值． (3)求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 考点目录 以圆为背景的解直角三角形问题 以特殊四边形为背景的解直角三角形问题 考点一 以圆为背景的解直角三角形问题 例1.(25-26九年级下·江苏淮安·期中)如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙0交BC于点D,过点D 作DE⊥AC,垂足为E,交BA的延长线于点F, B (1)求证：DE是O0的切线： ②)若AF=2.an∠F=,求o0的半径 【答案】（①）见解析 (2)00的半径为3 【分析】(1)连接OD,则OD=OB,所以∠ODB=LB,由AB=AC,得∠C=∠B,则LODB=LC,所以 OD∥AC,因为DE⊥AC于点E,所以LODF=LAEF=90°，即可证明DE是OO的切线： (2)由0D 0FanF,得DFpD,因为4F=2,04=0D,所以0F=0D+2,由勾股定理得 0D+信oD=0D+2,求得0D=3,则00的半径长为3 2 【详解】(1)证明：连接OD,则OD=OB, D ∠ODB=∠B, AB=AC, ∠C=LB, ∴∠0DB=LC, 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 0D∥AC, DE⊥AC于点E,交BA的延长线于点F, ∠0DF=∠AEF=90°， OD是O0的半径，且DE⊥OD, ∴DE是⊙O的切线. (2)解：∠0DF=90°， DF =tanF=3 OD 4 :.DF=-OD, 3 AF=2,0A=0D, 0F=0A+AF=0D+2, OD2+DF2=OF2, 2 =(0D+22, 3 解得0D=3或OD= (不符合题意，舍去， ⊙0的半径长为3. 例2.(2026江西宜春一模)如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”.小明提出一种想法：如图，设点 P为⊙0上一点，先作射线PO交⊙0于点Q,再以⊙0上一点A为圆心（点A不与点P,Q重合），以AP长为半径 画圆弧，交射线PO于点B,交射线BA于点C,连接PC. (1)求证：PC为O0的切线； (2)若PB=10,PA=6,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 a 【分析】(1)由AB=AP=AC及B、A、C共线，得BC为0A直径，故LBPC=90°，即OP⊥PC,结合OP为 ⊙0半径，证得PC为切线； 2 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 (2)连结A0,由等腰三角形性质与直角三角形两锐角互余，得∠40P=∠BCP,再由sim∠4OP=”-三及 P06 4P:6,求出P四-兰，进面得00半径为 8 【详解】(1)解：AB=AP=AC,，点B、A、C在同一条直线上， ∴BC为OA的直径， .LBPC=90°，即0P⊥PC. 而OP为00的半径， ∴PC为00的切线. (2)解：由题可知PA=AB=AC=6,则BC=12, sin∠BCp=BPS BC 6 连接AQ,由AB=AP得∠ABP=∠APB, P 又~∠BCP+∠ABP=∠AQP+∠APB=90°， ∠AQP=∠BCP sin∠AOP=sin CP-名.即 AP 5 P06 AP=6, P0=36 即00的半径为号 例3.(2026北京石景山一模)如图，AB是O0的直径，点C在O0上，AC=BC,点D在BC上，连接AD,过 点C作AB的平行线，交AD的延长线于点E. ◇ C (1)求证：CE为O0的切线； 2)若tan∠BAD三3，OA=3,求DE的长 【答案】()见解析 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 ②而 【分析】(1)根据垂径定理的推论得到0C1AB,再由平行线的性质得到∠0CE=∠AOC=90°，即可证明； (2)连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T,可得ET=OC=OA=3,再分别解Rt△AET,Rt△ABD求出 AE,AD,即可求解DE· 【详解】(1)证明：连接0C, D E C "AC=BC,OC为半径， ∴0C⊥AB,即∠A0C=90°， yCE∥AB, ∴.∠0CE=∠A0C=90°， ∴CE为O0的切线； (2)解：连接BD,过点E作ET⊥AB交AB延长线于点T, ~AB‖CE,OC⊥AB,ET⊥AB, ∠T=∠T0C=∠0CE=90°， 四边形OCET是矩形， ET=0C=0A=3, ~AB为直径， ∠ADB=90°， tan ZBAD= ET BD 1 AT AD3' ∴AT=9, AE=ET2+AT2=310, 设BD=x,AD=3x,而AB=20A=6, 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 ∠ADB=90°， “由勾股定理得，AD2+BD2=AB2, x2+3x)2=62, 解得x=0(舍负， 5 DE=4E-AD=310-910=610 5 5 例4.(25-26九年级下·湖南期中)如图，PE为O0的切线，PO交O0于点D,以点P为圆心，PD的长为半径画 弧，交PE于点G. G 图1 图2 D如图1，若sin∠P求证：PG=GE (2)如图2，若⊙0半径r=1,DP=0D,求阴影部分面积. 【答案】()见解析 25 24 【分析】本题考查切线的性质、解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌 握相关性质定理及锐角三角函数的定义是解题的关键。 连接0E,根摇切线的性顾得到PE10E,根据sin☑P=C%-,改00的半径0E=3x,则OP=5x,利用 勾股定理求出PE长，进而求出PG、GE长，从而得出结论： 2)根据腿意符到0E=OP,进面求出∠P的度数，在：P0E中，PE=0、利用院形面积公式球出 S形DPG、S商形DOE，利用S。=SPoE-S形DPG-S形DoE求解即可. 【详解】(1)解：连接OE, :PE为O0的切线，E为切点， PE⊥OE, 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 :在RtsPOE中，sin∠P=OE_3, OP 5 设00的半径0E=3x,则0P=5x, 在RaP0E中，由勾股定理得PE=VPO2-OE2=V5x)-(3x2=4x, 由题意可知，PG=PD=0P-0D=5x-3x=2x, GE=PE-PG=4x-2x=2x, :PG=GE (2)解：连接OE, 图2 在00中，0D=0E, 又：DP=OD, .DP=OD=0E, 06=0p, 又：△POE是直角三角形， ∠P=30°， ∠P0E=90°-∠P=90°-30°=60°， PE=OE、1 在RtAPOE中， tan30 3 S.PoE=PEOE=xx1= 2 2 S房形Dc= 30×π×1_π 36012S0e= 60×π×1元 3606 V3ππV3π Ss=SPOE-S前形DPG-S扇形DOE= 212624 变式1.(2026辽宁沈阳一模)如图，AB为半圆O的直径，点P在AB的延长线上，过点P作半圆O的切线，与 半圆相切于点C,过点O作AB的垂线与PC的延长线相交于点D,与半圆O相交于点F,连接AC,OD与AC相 交于点E. 6 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 D F E B (I)求证：DC=DE; ②若半圆0的半径张为4，am∠BAC=,求0D的长 【答案】()见解析 (2)5 【分析】(1)连接OC,则OC=OA,由等边对等角可得L0AC=∠0CA,由切线的性质可得PC⊥OC, ∠DCE+∠0CA=∠0CD=90°，利用垂直得出LB0D=∠0EA+L0AC=90°，再由等量代换确定L0EA=∠DCE, 结合等角对等边即可证明； (2)根据正切函数得出0A=20E=4,确定FE=OF-0E=4-2=2,DC=DE=DF+2,再由勾股定理建立方 程求解即可. 【详解】(1)证明：连接0C,则0C=0A, D E B .∠0AC=∠OCA, ~PC与O0相切于点C,与0F的延长线相交于点D, :.PC LOC, ∠DCE+∠0CA=∠0CD=90°， OD⊥AB, ∠B0D=∠0EA+∠0AC=90°， ∠OEA=∠DCE, ∠OEA=∠DEC, ∠OEA=∠DEC=∠DCE :.DC=DE. (2)解：00的半径为4. 0A=0F=0C=4. > 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 tan∠BAC=7, 0A=20E=4. .OE=2, FE=0F-0E=4-2=2, .DC=DE=DF +2. OC2+DC2=OD2,0D=DF+4, 42+(DF+22=(DF+4)2, 解得DF=1, .0D=4+1=5. 变式2，(2026·湖南长沙.一模)如图，ABC的三个顶点都在以BD为直径的半圆上，AB=AC,连接DA并延长 至点E,交BC于点F,且AE=AF,连接BE. E (1)求证：BE是该半圆的切线： (2)若BD=12,∠AFB=60°，求CF的长. 【答案】()见解析 (2)2V5 【分析】(1)根据圆周角定理得到∠BAD=90°，利用等腰三角形的性质得到∠ABC=LACB,进而得到 ABC ADB,易证明△ABE≌△ABF(SAS),进而得到∠EBA=∠FBA,从而得到∠EBD=90°，进而得到结论： (2)根据直角三角形的性质得到LABF=30°，由(1)知∠ADB=∠ABF=∠EAB=30°，根据含30°角的直角三角 形的性质求出AB、AF长，根据∠ACB=∠CBD证明AC∥BD,进而得到∠CAD=∠BCA,从而得到CF=AF. 【详解】(1)证明：BD是半圆的直径， ∠BAD=90°， AB=AC, :∠ABC=∠ACB, :LACB=∠ADB, ∠ABC=∠ADB, 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 :∠EAB=180°-∠BAD=180°-90°=90°， .∠EAB=∠FAB, 在△ABE和△ABF中， AE=AF ∠EAB=∠FAB AB=AB △ABE≌△ABF(SAS), .∠EBA=LFBA, .∠EBA=∠ADB, :∠ABD+∠ADB=90°， LABD+∠EBA=90°，即∠EBD=90°， EB⊥BD BD是半圆的直径 BE是该半圆的切线； (2)解：在Rt△BAF中，∠AFB=60°， LABF=90°-∠AFB=90°-60°=30°， 由(1)知，∠ADB=∠ABF=∠EAB, .LADB=∠EBA=30°， 在RtaBAD中，∠ADB=30°， 4B=8D=12=6, 年RIABAF中，4P=AB:tam30P=6×3=2 :∠CBD=∠EBD-∠EBA-∠ABF=90°-30°-30°=30°、∠ACB=∠ADB=30°， :∠ACB=∠CBD, .AC∥BD, .LCAD=∠ADB=30°， :∠CAD=∠BCA, ∴.CF=AF=2V5. 变式3.(2026·浙江丽水·一模)如图，已知AB是半圆O的直径，点C,D在半圆上，且AD平分∠BAC, DE⊥AC交AC的延长线于点E, 0 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 C B (1)求证：DE是O0的切线： (2)若ED=4,AB=10,求cos/BAC的值. 【答案】()见详解 @号 【分析】(1)连接OD,结合已知条件DE⊥AC,证明OD∥AE即可得证； (2)要求cos∠BAC,尝试把∠BAC放到直角三角形中，连接BC,显然∠ACB=90°，进而可知OD⊥BC,由垂 径定理及ED=4可得BC的长，问题得解. 【详解】(1)证明：如图，连接0D. :0A=0D, ∠1=∠AD0. :AD平分∠BAC, ∠1=∠2， L2=∠AD0. OD∥AE. :DE⊥AC, .DE⊥OD ÷∠ED0=90°， 又：0D是00的半径， .DE是OO的切线； E C◇ B (2)解：连接BC交OD于F, :AB是O0的直径， .∠ACB=90°， 10 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 .ODI AE, ∠0FB=90°， :BC=2CF,四边形ECFD为矩形， :CF=ED=4, .BC=8. 在Rt△ACB中，AB=10,由勾股定理，得 AC=VAB2-BC2=V102-82=6. 63 ∴.Cos∠BAC= 105 E D 变式4.(25-26九年级下·江苏盐城期中)如图，CA是⊙0的切线，点A为切点，点F为⊙0上一点，射线CF, AO交于点B,连接AF,点E在AF上，过点E作ED⊥AF,交CA于点D,作EG⊥CF,垂足为点G,AE=GF AD=EF. B F G C A (1)求证：CF是O0的切线； ②若4C=6,sn8=子，求00的￥径 【答案】()见解析 26 5 【分析】本题考查切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关性质定 理是解题的关键。 (I)连接OF,易证得RtADEAS≌Rt△EGF(HL),进而得到∠GFE=LEAD,根据切线的性质得到∠DAO=90°，进 而得到∠CF0=90°，从而得出结论； (2)根据simB=名求出CB的长，利用勾股定理求出BA的长，进而得到∠BF0=90°，利用sinB=OF=,OF 3 OBAB-H0求 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 解⊙0的半径， 【详解】(1)证明：连接0F, B ·ED⊥AF,EG⊥CF, .∠DEA=∠EGF=90°， 在Rt DEA和RtAEGF中， AE=GF AD=EF .RtADEAS≌Rt△EGF(HL, :∠GFE=LEAD, :0F=0A, :ZOFA=ZOAF :CA是⊙O的切线，点A为切点， ∠DA0=90°， LDAE+∠FA0=90°， ∠GFE+∠0FA=90°，即∠CF0=90°， :OF是⊙0的半径， .CF是O0的切线； (2)解：：∠BAC=90°，AC=6, ∴sinB=4C=62 BC=BC=3' .CB=9, .BA=VBC2-AC2=V92-62=35, :LCF0=90°， ∠BF0=180°-LCF0=90°， 在Rt△BF0中，SinB=OF=OF OF 2 OBAB-A03√5-OF3' 0F=5 2 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 即00的半径为v5 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 考点二 以特殊四边形为背景的解直角三角形问题 例1.(2026·辽宁沈阳一模)如图，在ABC中，∠B=2LACB,点D在BC上，AD=AB.过点A,C分别作BC ,DA的平行线相交于点E. (1)求证：四边形ADCE是菱形； (2)若BD=6,tanBCE= 3,求CD的长 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】(I)根据条件先证明四边形ADCE是平行四边形，再利用等角对等边证明DA=DC即可； (2)过点A作AF⊥BC于点F,利用三线合一和锐角三角函数比求得AF=4,进而利用勾股定理可求AD的长度， 即可求解。 【详解】(1)证明：：AD∥CE,AE∥DC, ∴四边形ADCE是平行四边形， :AB=AD, .∠B=∠ADB, ∠B=2LACB,∠ADB=2∠ACB, ∴∠DAC=∠ADB-∠ACB=∠ACB, :.DA=DC, 四边形ADCE是菱形； (2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F, :AB=AD,AF⊥BC,且BD=6, .BF=FD=-BD=3, 2 AD∥EC,∠ADF=∠ECB, ∴.tan∠ADF=tan∠ECB 4 3 ∠AFD=90°， 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 .AF 4 DF 3 AF=4, 在Rt△AFD中，由勾股定理得AD=√AF2+FD2=V42+32=5, DA=DC, CD=5. 例2.(2026浙江绍兴.一模)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边CD于 于点F,连接BF交线段AE于点P,恰有AB=AP,连接EF. E (1)判断AE与EF的位置关系，并说明理由. 1 2)若an∠BFE=3'AB=4,求PE的长. 【答案】(I)AE⊥EF,理由见解析 (2)1 【分析】(1)根据等边对等角及对顶角相等得到LABP=∠APB=∠EPF,根据等边对等角得到∠EBF=∠BFE,可 知∠EPF+∠BFE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEF=90°，即可得到AE与EF的位置关系； ②)我格三角函数得到晤专设PE=:,则E=印3，在R达4BE中，根据匀股定连列方程定解甲可。 【详解】(1)解：AE⊥EF.理由如下： AB=AP, ∴.∠ABP=∠APB=∠EPF, BE EF, ∠EBF=∠BFE, 又∠ABP+∠EBF=90°， ∠EPF+∠BFE=90°， ∠AEF=180°-∠EPF-∠BFE=180°-90°=90°， ·AE⊥EF; (2)解：~LAEF=90°，tan∠BFE= 3 PE 1 EF3' 设PE=X,则BE=EF=3x, 15 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 在Rt△ABE中，由AB2+BE2=AE2得42+(3x)=(x+4)2, 解得x=1,x2=0（舍去)， .PE =x=1. 例3.(2026广东深圳一模)定义：在平行四边形ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角线，点P是平行四边 形ABCD边上一点，分别连接PA、PB,若满足LAPB+∠ACB=180°，则称点P为平行四边形ABCD的“共轭连接 点”. B P D C C 图1 图2 图3 (I)如图1，在平行四边形ABCD中，当共轭连接点P在BC上时，若AC⊥DC,∠D=30°，AC=3,则BP= ②如图2，在平行四边形4BCD中，当共抚连接点P在BC上时，若AC1DC,anD=,AC-5,求BP的长； (3)如图3，已知在矩形ABCD中，矩形的两邻边的之比为3：1，点P是矩形ABCD的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点P;(要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说 明)（提示：圆的内接四边形对角互补） DP ②请直接写出 CP 【答案】(1)3 (2)3 3)①见解析：②，或2. 【分析】(1)先解出Rt△ACD,再证△ACP为等边三角形即可求解； (2)同(1)解出R△ACD,再过A作AH1BC交BC于H,可证得∠4CP=LCAD,求得cos∠CAD=5,即 cos∠ACP=CH-V5 解出CH即可求解； AC 5 (3)①延长CB,使得BE=BC,再作AE的垂直平分线，以AE为直径作圆即可；②设DP=x,再分别在 16 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 RtAADP,RtACEP,RtAAEP中，利用勾股定理，构建方程求解 【详解】(1)解：：AC⊥DC,∠D=30°，AC=3, :AD=2AC=6, 在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC, :∠D+∠BCD=180°，BC=6, :AC⊥DC,∠D=30°， ∴.∠BCD=180°-30°=150°，∠ACD=90°， ∴.∠ACB=∠BCD-∠ACD=60°， :∠APB=∠CAP+LACB, :∠APB+LACB=∠CAP+∠ACB+∠ACB=180°， 又∠CAP+∠ACB+∠APC=180°， :.∠ACB=LAPC=60°，则△ACP为等边三角形， :AC=CP=3, :BP=BC-CP=3; (2)解：tanD=4C=1 CD-2' CD=2AC=25, :AC⊥DC, .∠ACD=90°，AD=VAC2+CD2=5, 由(1)∠D+∠BCD=180°，∠ACP=∠APC, ∠D+∠ACP=90°，AC=AP, 又∠D+∠CAD=90°， :ZACP=ZCAD 过A作AH⊥BC交BC于H, A B P AC=AP, H D C 图2 H为CP中点，CH=PH, 在R1△ACD中，cos∠CAD=4C-5 AD 5 17 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 cos∠ACp=CH-V5 AC 5 .CH=4C.c0sZACP=5x5=1 :CP =2CH=2,BP=BC-CP=3; (3)解：①如图P,P即为所求， E A D P P C 延长CB,使得BE=BC, 在ABC和△ABE中， AB=AB ∠ABC=∠ABE=90°， BC=BE △ABC≌AABE(SAS), LACB=∠AEB, 又△ABE为直角三角形， 则以AE为直径作OO,与CD交于点P,P, 又圆的内接四边形对角互补， ∠APB+∠AEB=180°，∠AP,B+∠AEB=180°， 即，∠APB+∠ACB=180°，∠AP,B+∠ACB=180°， 故P,P即为所求： ②如图，不妨设BC=a,则AB=3a,BE=BC=a, :AE =AB2+BE2=10a, 当P在P处时，连接ER, 18 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 D P 设DP=x,则CP=3a-x, :AE为直径， ∴∠APE=90°， AP2=AD2+DP2=a2+x2,EP2=EC2+CP2=(a+a)+(3a-x)', a2+x2+(a+a2+3-x2=(1oa2, 即x2-3ax+2a2=0,解得x1=a或x2=2a（舍去)， DP1 此时CR2' DP=2, 同理可得C 综上， 器2 变式1.(2025·广东深圳一模)【定义】如果平行四边形的一边中点和对边两端点连线的夹角恰好等于该平行四边 形的一个内角，那么这个平行四边形叫做“中等平行四边形. E D E B 图1 图2 (1)边长为2的正方形 “中等平行四边形”（选填“是”或“不是”）； 如图1，在矩形ABCD中，E为边CD中点，∠AEB=∠C=90°，则矩形ABCD是中等平行四边形.若AB=2,则 AD=_ AE= 【应用】 (2)在中等平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=2,求AD的长. (3)如图2，若菱形ABCD是中等平行四边形，锐角a是它的一个内角，则Cos= (参考公式：sin2a+cos2a=l,tana=sinc cosa 0 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 【跨案】不是，迈：（②）26±25：3)子 2 【分析】(1)如图，结合正方形ABCD的性质，证明△BAE≌△CDE,可得∠ECB=∠EBC>45°，∠BEC<90°， 可得边长为2的正方形不是“中等平行四边形”；同理可得△DAE≌△CBE,可得AE=BE,证明 LDAE=45°=∠CBE,再进一步求解即可； (2)分四种情况讨论：当E为CD的中点，∠DAB=45°=∠AEB,如图，过E作EH⊥BC于H,如图，当E为 CD的中点，∠AEB=∠D=180°-∠DAB=135°， 作EH⊥AB于H,取AB的中点M,连接EM当E为BC中点，∠AED=∠DAB=45°，过E作EH⊥CD,如图， 当E为BE的中点，LAED=LABC=I35°时，过A作AH⊥CB于H,再结合相似三角形与勾股定理求解即可； (3)如图，过E作EH⊥CD于H,由菱形ABCD,AE=DE,∠BEC=∠D=a,设BC=AD=CD=2m, AE=DE=m,可得CE=√2m,设DH=x,再利用勾股定理求解x即可. 【详解】解：(1)如图，正方形ABCD, ∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠D=90°，∠ACB=45°， ~E为AD的中点， ∴AE=DE, .△BAE≌△CDE, BE CE ∠ECB=∠EBC>45°， ∠BEC<90°， 边长为2的正方形不是“中等平行四边形”； 矩形ABCD中，E为边CD中点， AD=BC,LD=∠C=90°=∠DAB=∠ABC,DE=CE, △DAE≌△CBE, .AE=BE, ∠AEB=∠C=90°，AB=2, ∠EAB=LEBA=45°，AE=BE=V2, ∠DAE=45°=∠CBE, 20 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 .AD=DE=1=BC=CE; (2)当E为CD的中点，LDAB=45°=∠AEB, 平行四边形ABCD, AB∥CD,∠DAB=∠C=45°，AB=CD=2,AD=BC, LCEB=∠ABE, ACEB△EBA, BE CE AB BE ~E为CD的中点， ..CE=DE=1, 六BE2=2,而BE>0, ·BE=√2， 如图，过E作EH⊥BC于H, D E H A B △EHC为等腰直角三角形，CH=EH=2 ∴BH=VBE2-EH-V6 六AD=BC= 6+2, 2 如图，当E为CD的中点，∠AEB=∠D=180°-∠DAB=I35°， 作EH⊥AB于H,取AB的中点M,连接EM, :.AM =BM =1, D M H B AB∥CD, ∴.∠DEA=∠EAB, ADE∽BEA, 21 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 AE DE BA EA' 同理可得：AE=√2， E为CD的中点， ·AM∥DE,AM=DE, 四边形AMED是平行四边形； ·AD∥EM,AD=EM, ∠EMB=∠DAB=45°， 设EH=x,则MH=x, xr2+(x+12=(N2), 解得：=1+5（(x=5舍去) 2 2 AD-EM=VEH=6- 当E为BC中点，∠AED=∠DAB=45°，过E作EH⊥CD, D H E B 同理可得：DE2=ADCE=2CE2,设HE=x, 同理可得：CE=√2x, ∴DE=√2CE=2x, DH=DE-EH2=3x, DC=AB=2, V3x+x=2, 解得：x=√5-1， ·AD=BC=2W2x=2V6-2√2； 如图，当E为BE的中点，LAED=∠ABC=135°时，过A作AH⊥CB于H, 22 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 D 同理可得：AE?=AD·BE=2BE2, 设BE=x,则AE=√2x, 同理可得：AH=BH=√2， V2+x+2=(2x, 解得：=√2+√6(x=-√6舍去)， ·AD=BC=2x=2√2+2V6, 综上：AD为： 6±2或26±22： 2 (3)如图，过E作EH⊥CD于H, ~菱形ABCD,AE=DE,∠BEC=∠D=, E H C BC=AD CD =2m,AE=DE=m, 同理可得：CE2=BC·DE=2DE2, ∴CE=√2m,设DH=x, V2m-(2m-x)2=m2-x2, 解得：X=3m, 4 DH 3 '.cosa DE4 变式2.(2025·云南昆明一模)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，M、N分别是线段BE、 CE的中点. 23 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 E M (I)求证：四边形MENF是菱形； (Q若m∠4BE=子，菱形MENF的面积为24，求菱形MENF的周长。 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题考查了三角形中位线定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知 识，掌握相关知识点是解题关键 (I)根据三角形中位线定理，证明出四边形MENF是平行四边形，再根据矩形的性质，证明△ABE≌△DCE(SAS), 从而推出FM=FN,即可证明结论； (2)连接EF、MN,根据角的正切值设AE=3x,AB=4x,得到BE=5x,证明四边形ABFE是平行四边形，得 到EF=AB=4x,利用三角形中位线定理，得到MN=一BC=3x,结合菱形MENF的面积，求出x=2,即可求解. 【详解】(I)证明：F、M、N分别是BC、BE、CF的中点， FM∥CE,FM=CE,FN∥BE,FN=BE, 1 ∴四边形MENF是平行四边形， ~四边形ABCD是矩形， LA=∠D=90°，AB=CD, E是AD中点， .AE=DE, 在△ABE和△DCE中， AB=DC ∠A=∠D, AE=DE ·aABE≌△DCE(SAS, .BE CE, :.FM =FN 四边形MENF是菱形； 24 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 (2)解：如图，连接EF、MN, ~四边形ABCD是矩形， BC=AD,AE∥BF,∠A=90°， 在Rt△ABE中，∠A=90°， tan ZABE=AE 3 AB4' ∴设AE=3x,AB=4x, “BE=VAB2+AE2=V3x)2+(4x)2=5x, E、F分别是AD、BC中点， ·AD=2AE=6x,BC=2BF, :.AE =BF, ∴四边形ABFE是平行四边形， .EF AB=4x, M、N分别是BE、CE的中点， MN-C-3x S装形MEF= =EF.MN=4x-3x=24, 2 解得：x=2(负值已舍去) BE=5x=10, .FN-BE5. 菱形MENF的周长为4FN=20. D M 变式3.(2425九年级上·浙江杭州期末)如图，菱形ABCD的边长是2，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时 针旋转得到菱形ABCD,设旋转角度∠DAD'=(O°<a<60),BC与CD交于点E,连接CB. 25 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 D D E B' (I)求∠BED'的度数（用含a的代数式表示）. (②)若BC⊥C'D',求tan∠BCB'的值. CE V3sin (3)求证： BE 【答案】(1)60°+a ②)25 3 (3)见解析 【分析】(1)∠D=∠D'=120°，∠BAD'=60°-a,在四边形ABED'中，根据四边形的内角和得出结果； (2)延长C'E,交CD的延长线于点F,延长CB,交AB'与点G,设AD和EF交于点O,B'C和CD交于H, ∠BAG=30°，∠DAC=30°，从而得出点D在AC上，解直角三角形ABD和直角三角形ACG,可得出AG和CG的 长，进一步得出结果： (3)作AG⊥C'D,交CD的延长线点G,作AH⊥CB,交CB的延长线于点H,连接AC,AC',AE的延长线交 CC'于点F,设BD'交AE于点W,可依次证明△AGD'≌△AHB,RtAAEH≌Rt△AEG,△D'AE≌△BAE,从而得出 2D4E=∠B4E-B40-w-a=30-,进而得出<C4-2C4-30-030-a)-,解直 角三角形ACF和直角三角形ACW,求得CF和BW,进一步得出结论. 【详解】(1)解：四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC,∠B=∠D, ∠D=180°-∠DAB=180°-60°=120°， ~菱形ABCD绕点A顺时针旋转得到菱形ABCD, ∠D'=120°， 在四边形ABED'中，∠B=∠D'=120°，∠BAD'=60°-a, ∠BED=360°-120°×2-(60°-a)=60°+a; (2)解：如图1， 26 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 F D O D' H GB 图1 延长CE,交CD的延长线于点F,延长CB,交AB'与点G,设AD和EF交于点O,B'C和CD交于H, ∠CED'=90°， ~四边形ABCD和四边形ABCD是菱形， .∠BCD=∠DAB=60°，∠ADC=∠AD'C'=120°， ∠F=30°，∠ADF=∠AD'0=60°， ∠AOD'=∠DOF, .∠DAD'=∠F=30°， LBAG=30°， ∠DAC=30°， 点D在AC上， C'D'∥AB',BC⊥CD', AG⊥CG, AG=AB.cos∠BAG=2cos30°=V3,CG=AC·sin∠CAB', ∴GB'=AB-AG=2-V5, ×AC=V5AB=2V5, ∴CG=25sin60°=3， ∴tan∠BCB'= GB'2-3 (3)证明：如图2， 27 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 G D W C B B H 图2 作AG⊥C'D,交CD的延长线点G,作AH⊥CB,交CB的延长线于点H,连接AC,AC',AE的延长线交CC'于 点F,设BD'交AE于点W, .∠G=∠H=90°，AC=AC', ∠AD'G=∠ABH=60°，AD'=AB, ·△AGD'≌△4HB(AAS), .AG=AH,D'G=BH, AE=AE, ·RtAAEH≌RtAAEG HL), ∴EH=EG, :.EH -BH =EG-D'G, :.EB=ED', ∴aD'AE≌△BAE(SSS), ÷∠DAE=∠BAE=∠BAD=60-)=30°-a, ∠BAC=∠D'AC'=30°，∠BAD'=60°-a, .∠DAC=∠BAE=(60°-)-30°=30°-0， 2c4-2c-o-小-3o-a-a AF⊥CC',AF⊥BD',CC'=2CF,BD'=2BW, BD'∥CC', CE CC'2CF BE BD'2BW ~CF=4C.sin∠CAF=2V3.sin)a,Bm=4B.sin∠BAE=2sin30°- 1 2 28 以圆为背景的解直角三角形问题、以特殊四边形为背景的解直角三角形问题专项训练 a CE 3sin2 BE sm30- 29