一元二次方程4种高频考点专项训练-2026年中考数学二轮复习

一元二次方程4种高频考点专项训练 一元二次方程4种高频考点专项训练 考点目录 解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的实际应用 考点一 解一元二次方程 例1．（2026·重庆·模拟预测）解下列方程： (1)； (2)． 例2．（2026·广东广州·一模）解方程：． 例3．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 变式2．（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 变式3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：． 考点二 一元二次方程根的判别式 例1．（2026·河南周口·一模）关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南益阳·二模）已知关于的方程无实数根，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．0 C． D．1 例3．（2026·甘肃平凉·一模）对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 变式1．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 变式2．（2026·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 变式3．（2026·上海虹口·二模）请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 例1．（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 例3．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 例4．（2026·黑龙江大庆·一模）一元二次方程：与的所有实数根的和为________ 变式1．（2026·河北邯郸·一模）若是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．11 B．10 C． D．0 变式2．（2026·湖北黄石·一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·安徽阜阳·二模）若，是方程的两个根，则______________． 变式4．（2026·贵州铜仁·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，且满足，则m的值为______． 考点四 一元二次方程的实际应用 例1．（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件． 问题解决 (1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 例2．（2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元． (1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率； (2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？ 例3．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 例4．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 变式1．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 变式2．（2026·内蒙古包头·一模）某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥．年甲、乙两种化肥每件的进价均为元，随着生产技术的优化，到年，甲种化肥每件的进价年平均下降元，乙种化肥每件的进价降至元． (1)经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； (2)年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共件供应农户，总资金不超过元，则至少购进甲种化肥多少件． 变式3．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 变式4．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程4种高频考点专项训练 一元二次方程4种高频考点专项训练 考点目录 解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的实际应用 考点一 解一元二次方程 例1．（2026·重庆·模拟预测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）先移项，再凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 例2．（2026·广东广州·一模）解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， 解得：． 例3．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 解得，． 变式1．（2026·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】， 【分析】用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 变式2．（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 变式3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 因式分解，得， 解得，． 考点二 一元二次方程根的判别式 例1．（2026·河南周口·一模）关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 例2．（2026·湖南益阳·二模）已知关于的方程无实数根，则实数的取值可能是（    ） A．4 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】利用判别式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴实数的取值可能是． 例3．（2026·甘肃平凉·一模）对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】 【分析】根据新的运算法则列出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 变式1．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 变式2．（2026·河北邯郸·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义以及判别式与根的关系，列不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得， ∴，且． 变式3．（2026·上海虹口·二模）请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得， 那么的值可以是：0（答案不唯一，满足即可）． 考点三 一元二次方程根与系数的关系 例1．（2026·安徽淮南·一模）关于的一元二次方程有两实数根，其中一根为，则这两根之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，先将已知根代入方程求出参数的值，再由根与系数的关系计算两根之积即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 解得， 关于的一元二次方程为， ∴两根之积为． 例2．（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程的两根之积为，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的表达式，结合题干给出的条件列方程求解，再验证方程有实根即可得到结果． 【详解】解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，， ∵两根之积为， ∴，解得， ∴原方程为， 解得，，符合题意， ∴． 例3．（2026·江苏泰州·一模）已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ． 例4．（2026·黑龙江大庆·一模）一元二次方程：与的所有实数根的和为________ 【答案】2 【分析】先确定方程的根的情况，再由 二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：因为方程化为一般形式为， 因为此方程， 所以有两个不相等的实数根，两根之和为， 方程化为一般形式为， 因为此方程， 所以无实数根． 所以与的所有实数根的和为2． 变式1．（2026·河北邯郸·一模）若是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．11 B．10 C． D．0 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， 是方程的两个实数根， ， ∴ ． 变式2．（2026·湖北黄石·一模）已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的意义与根与系数的关系，先利用根的定义得到的值，再利用根与系数的关系得到的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：根据题意，是一元二次方程的实数根 是该一元二次方程的两个实数根 对所求代数式变形得： 代入得：原式 变式3．（2026·安徽阜阳·二模）若，是方程的两个根，则______________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系与分式的化简求值，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求分式通分变形后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：，是方程的两个根， 根据根与系数的关系可得，， ． 变式4．（2026·贵州铜仁·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，且满足，则m的值为______． 【答案】6 【分析】根据根与系数的关系可得，，结合已知等式求出和的值，即可计算得到的值． 【详解】解：已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，根据根与系数的关系得 ，． ∵， ∴，即， 解得． 则． 所以． 考点四 一元二次方程的实际应用 例1．（2026·安徽合肥·一模）根据以下素材，探索完成任务． 背景 徽州木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动，表现出浓郁的徽州特色． 素材 某种木雕的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕售价为30元/件时，月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件，设该木雕的售价上涨元/件． 问题解决 (1)该木雕月销售量为________件；（用含的代数式表示） (2)该商店为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕的售价需上涨多少元/件？ 【答案】(1) (2)该木雕的售价上涨10元/件 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列出方程求解，然后根据题意得出结果即可． 【详解】（1）解：月销售量为500件．若在此基础上每件木雕的售价每上涨1元，则该木雕月销售量将减少10件， 该木雕月销售量为件； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该木雕的售价上涨10元/件． 例2．（2026·辽宁大连·一模）2026年某市开展数码产品购新消费补贴活动．补贴范围：个人消费者购买不超过6000元的全新指定品类数码商品，按照商品销售价格的进行一次性立减补贴，最高补贴500元． (1)受购新消费补贴活动影响，指定数码产品供销两旺．某数码经销商一月份的销售额为80万元，三月份的销售额为96.8万元，求该经销商销售额的月平均增长率； (2)一位消费者在购买手机时，获得了500元的补贴，则这部手机的价格最低为多少元（结果保留整数）？ 【答案】(1)该经销商销售额的月平均增长率为 (2)元 【分析】（1）结合一元二次方程的增长率公式进行列方程求解即可． （2）理解题意，设这部手机的价格为x元，再列出不等式，解不等式，结果保留整数，即可作答． 【详解】（1）解：设该经销商销售额的月平均增长率为， 依题意，得 解得（舍去） 答：该经销商销售额的月平均增长率为． （2）解：设这部手机的价格为x元， 依题意得， 解得， ∵结果保留整数， 即结果向上取整至元， ∴这部手机的价格最低为元． 例3．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个 (2)这个增长率为 (3)还需3天就可交货完成此订单 【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可； （2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可； （3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个． （2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得： ， 解得，（舍去）． 答：这个增长率为； （3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则： ， 解得：， 答：还需3天就可交货完成此订单． 例4．（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 变式1．（2026·辽宁·一模）2025年大年初一，电影《哪吒之魔童闹海》火爆上映后，“哪吒”这一经典文化IP便在消费市场上掀起了一股热潮．“哪吒”形象焕发出新的生命力，成为消费市场和文化产业中的热门话题．随着“哪吒”IP的热度攀升，相关周边产品也迅速成为消费市场的宠儿．某文创店将进价为10元/个的哪吒钥匙扣以20元/个的售价出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现，这种钥匙扣每个的售价每上涨2元，其每天的销售量就减少4个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为600元，则这种钥匙扣的售价应定为多少？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为30元/个或25元/个 【分析】通过设钥匙扣的售价应定为x元/个，建立利润与销售量的一元二次方程，求解符合条件的售价． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个， 根据题意，得：， 解得：，， ∴这种钥匙扣的售价应定为 30元/个或25元/个． 变式2．（2026·内蒙古包头·一模）某农资店为满足春耕需求，购进甲、乙两种化肥．年甲、乙两种化肥每件的进价均为元，随着生产技术的优化，到年，甲种化肥每件的进价年平均下降元，乙种化肥每件的进价降至元． (1)经过两年调整，乙种化肥每件的进价平均每年下降百分之多少； (2)年该农资店一次性购进甲、乙两种化肥共件供应农户，总资金不超过元，则至少购进甲种化肥多少件． 【答案】(1)乙种化肥每件的进价平均每年下降 (2)至少购进甲种化肥件 【分析】（1）设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为，根据题意可得，即可求解； （2）设购进甲种化肥件，则购进乙种化肥件，根据题意列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设乙种化肥每件的进价平均每年下降的百分率为， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 答：乙种化肥每件的进价平均每年下降； （2）解：设购进甲种化肥件，则购进乙种化肥件， 年甲种化肥每件的进价为（元）， 根据题意可得， 解得， 答：至少购进甲种化肥件． 变式3．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 变式4．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 【答案】(1) 当日的快充充电单价为元/度 (2) 快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元 【分析】（1）根据快充和慢充单价的关系得到与的表达式，再结合快充和慢充充电总量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先根据题目条件表示出日充电量，再结合日收益的计算公式列一元二次方程，求解后根据的取值范围筛选得到结果． 【详解】（1）解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度， 慢充充电单价为元/度， 根据题意得， 化简得， 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解，且符合题意． 答：当日的快充充电单价为元/度； （2）解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度， 日充电量为， 根据题意得， 整理得 ， 因式分解得， 解得，， 两个解都满足，均符合题意； 答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $