解直角三角形的实际应用4种高频考点专项训练-2026年中考数学二轮复习

解直角三角形的实际应用4种高频考点专项训练 解直角三角形的实际应用4种高频考点专项训练 考点目录 仰角与俯角问题 方位角问题 坡度与坡角问题 以解直角三角形为背景的材料阅读类问题 考点一 仰角与俯角问题 例1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 例2．（2026·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度约为 【分析】（1）根据计算即可； （2）过点D作交于点F，在中，设，推出，，在中，结合计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴线段的长为． （2）解：如图，过点D作交于点F， 在中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔的高度约为． 变式1．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 变式2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，山顶上有一凉亭，在处测得凉亭顶端的仰角，在处的前方2千米的处测得凉亭顶端的仰角，计算凉亭顶端到山底的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，，） 【答案】凉亭顶端到山底的高度为米. 【分析】设，先表示，，再建立方程求解即可. 【详解】解：由题意可得：，，，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（千米）， ∴凉亭顶端到山底的高度为米. 考点二 方位角问题 例1．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 【答案】(1) (2)能在上午11:20前到达 【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离． (2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 监测员从处沿正南方向骑行到处， 为正南方向，为东西方向， 从到沿北偏西方向，， ， 在中，， ， 他与湿地监测站之间的最短距离为． （2）解：在中，，， 点位于的南偏西方向， ， ， 骑行速度为， 所需时间， 分钟， 从骑行回需要11.25分钟， 出发，经过11.25分钟后为11:11:15， 能在上午11:20前到达． 例2．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）为加强海上救援能力，某救助队准备在某海域开展海上搜救演练．如图，，在同一平面内，是指挥部，演练开始时，甲救援船位于正东方向的处，乙救援船位于南偏东方向42海里的处，在的北偏西方向．在的南偏西方向的处有一遇险浮标，位于的正西方向．（参考数据：， (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)演练开始后，甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，同时乙救援船从出发沿往处进行搜救，乙救援船速度是甲救援船速度的倍，请问乙救援船离处多少海里时，两救援船第二次相距21海里（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】（1）过点A作于点G，过点B作于点F，过点C作，交的延长线于点E，解直角三角形求解即可； （2）设甲救援船的速度为x海里/小时，则乙救援船的速度为海里/小时，运动时间为小时，此时海里，海里，海里，乙救援船离处海里，两救援船第二次相距21海里时，点Q一定在点H的左侧，过点N作于点P，则，海里，故海里，海里，根据勾股定理，得，求解即可． 【详解】（1）解：过点A作于点G，过点B作于点F，过点C作，交的延长线于点E， 根据题意，得，海里， （海里）， （海里）， ， ， （海里）， （海里）； （2）解：甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，设该方向的直线与交于点H，交于点M，甲救援船运动到点N处，乙救援船运动到点Q处， 根据题意，海里， 根据题意，得（海里）， （海里）， ， ， ， ， ， 是等边三角形， （海里）， 设甲救援船的速度为x海里/小时，则乙救援船的速度为海里/小时，运动时间为小时，此时海里，海里，海里，乙救援船离处海里，两救援船第二次相距21海里时，点Q一定在点H的左侧，如图所示， 过点N作于点P， 则海里，海里， 故海里，海里， 海里， 根据勾股定理，得， ， 整理，得， 解得，， 不满足第二次相距21海里的要求，舍去， 故， 故乙救援船离的距离为： （海里）． 变式1．（25-26九年级下·重庆·期中）缙云山下、嘉陵江畔，风光秀美，人文雅致．小喜、小福的家与学校、公园均坐落于此．已知小福家位于学校的北偏东方向，同时在小喜家的北偏东方向；小喜家位于学校的北偏西方向4公里处；公园位于学校的正东方向．（参考数据；，，） (1)求小福家与小喜家的距离，（结果精确到） (2)小喜和小福约好放学后一同去公园游玩，两人同时出发．小喜从学校直接前往公园．小福先从学校回家放下书包（停留时间不计），再从家里前往公园，最终两人同时到达．已知小喜与小福的速度之比为，求小福家到公园的距离．（结果精确到） 【答案】(1)公里； (2)公里 【分析】（1）过点A作，根据题意得出，，，再由正切函数结合图形求解即可； （2）由（1）得：，过点B作，确定，设，设小喜与小福的速度分别为，利用时间相等及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过点A作，如图所示： 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴， 过点B作，如图所示： ∴， ∴， ∴， 设， ∵小喜与小福的速度之比为， ∴设小喜与小福的速度分别为， ∴，整理得：①； ∵， ∴②， 将①代入②整理得：， 解得：（负值舍去）， ∴小福家到公园的距离为公里． 变式2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向．小明以大约的速度从C打卡点沿C→D方向步行至D打卡点用了，，求打卡点A与B之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】5km 【分析】过点A作于点A，过点C作于点C，交于点F，交于点G，过点D作于点E，然后利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：过点A作于点A，过点C作，交于点F，交于点G，过点D作于点E， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ∴，，，， ∵小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点三 坡度与坡角问题 例1．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据正弦的定义求出； （2）过点作，根据矩形的性质求出，求出，再根据正弦的定义求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作 ， 在中，，， 则． 答：小明一家步行上升的垂直高度约为． （2）解：如图，过点作， 根据题意，可知四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则． 答：缆车的行驶路线的长约为． 例2．（2026·山西忻州·一模）综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)；不可行 (2)方案二可行．理由见解析 【分析】（1）过点作于点，求出，继而求出，即可解答； （2）过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P，推导出，，，，设，则，得到，继而求出，，由，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：，不可行，理由如下： 过点作于点，如图， ，， 轮椅通行坡道的坡度为， ， ， ， 该方案不可行； （2）解：方案二可行．理由如下： 如答图，过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P． ∴四边形和四边形是矩形． ∴，，，． 设，则． ∵轮椅通行坡道的坡度为， ∴． 由题知， ∴， ∴． ∴，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴． ∵， ∴方案二可行． 变式1．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道上方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在点时，无人机在她仰角为45°的斜上方处；当谷爱凌到达点时，无人机恰好飞到她正上方处．已知坡道的坡度为，坡长米，无人机水平飞行距离米，求无人机离地面的高度的长．（，结果保留整数．） 【答案】米 【分析】过点作地面于点，过点作地面于点，交于点，得出四边形、四边形是矩形，由坡道的坡度为，设米，则米，求出，得到米，米，再求出米，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点作地面于点，过点作地面于点，交于点， 四边形、四边形是矩形， ，，米，， 坡道的坡度为， ， 设米，则米， 米， 米， ， 解得， 米，米， 米，米， 米， ， 米， 米， 米． 考点四 以解直角三角形为背景的材料阅读类问题 例1．（2026·江西宜春·一模）2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，可得，再利用平行线的性质解答即可求解； （2）连接，由题意得，即得，再利用勾股定理解答即可求解； （3）过点作交的延长线于，可得，解直角三角形可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ， ， ， ∵， ． （2）解：如图，连接， 由题意得，， ∵机器人两条腿长度一致， ， ， ， ， ， 答：的长为； （3）解：如图，过点作交的延长线于， ， ， ， ， ， 答：点P距离地面的高度约为． 例2．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 【答案】(1)A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理求解即可； （2）过点作于点，利用直角三角形得出，，，则再结合正弦定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 解得：（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中， ． 变式1．（2026·海南·模拟预测）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)小明会被照射到；理由见解析 【分析】（1）①过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，在中，米米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当时，米，进一步求解即可． 【详解】（1）解：①如图，过作于，而， ， ， ， 故答案为：； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； （2）解：小明会被照射到．理由如下： 如图，过点作交于点， 由条件可知， 是等边三角形， ， 米， ． 米， 米， 当时，米， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 变式2．（2026·上海虹口·二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： (1)任务一：求邻居到墙角的距离； (2)任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ 【答案】(1) (2)水盆B应向左平移，且平移 【分析】（1）先求出，，再解直角三角形得出，再根据，求出即可； （2）先证明此时与重合，解直角三角形得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即邻居A到墙角P的距离为； （2）解：当镜子绕点顺时针旋转后，如图所示： 此时， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴此时与重合， ∴此时， ∴， ∴点B向左移动，且移动距离为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解直角三角形的实际应用4种高频考点专项训练 解直角三角形的实际应用4种高频考点专项训练 考点目录 仰角与俯角问题 方位角问题 坡度与坡角问题 以解直角三角形为背景的材料阅读类问题 考点一 仰角与俯角问题 例1．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为，与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 例2．（2026·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 变式1．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 变式2．（2026·安徽芜湖·一模）如图，山顶上有一凉亭，在处测得凉亭顶端的仰角，在处的前方2千米的处测得凉亭顶端的仰角，计算凉亭顶端到山底的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果精确到1米．参考数据：，，，） 考点二 方位角问题 例1．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 例2．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）为加强海上救援能力，某救助队准备在某海域开展海上搜救演练．如图，，在同一平面内，是指挥部，演练开始时，甲救援船位于正东方向的处，乙救援船位于南偏东方向42海里的处，在的北偏西方向．在的南偏西方向的处有一遇险浮标，位于的正西方向．（参考数据：， (1)求的长度（结果保留小数点后一位）； (2)演练开始后，甲救援船从B出发沿南偏西方向匀速行驶，同时乙救援船从出发沿往处进行搜救，乙救援船速度是甲救援船速度的倍，请问乙救援船离处多少海里时，两救援船第二次相距21海里（结果保留小数点后一位）？ 变式1．（25-26九年级下·重庆·期中）缙云山下、嘉陵江畔，风光秀美，人文雅致．小喜、小福的家与学校、公园均坐落于此．已知小福家位于学校的北偏东方向，同时在小喜家的北偏东方向；小喜家位于学校的北偏西方向4公里处；公园位于学校的正东方向．（参考数据；，，） (1)求小福家与小喜家的距离，（结果精确到） (2)小喜和小福约好放学后一同去公园游玩，两人同时出发．小喜从学校直接前往公园．小福先从学校回家放下书包（停留时间不计），再从家里前往公园，最终两人同时到达．已知小喜与小福的速度之比为，求小福家到公园的距离．（结果精确到） 变式2．（25-26九年级下·江苏常州·期中）2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向．小明以大约的速度从C打卡点沿C→D方向步行至D打卡点用了，，求打卡点A与B之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 考点三 坡度与坡角问题 例1．（2026·湖北襄阳·一模）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度在同一平面内．（参考数据：） (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）． 例2．（2026·山西忻州·一模）综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 变式1．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）2026米兰冬奥会，自由式滑雪冠军谷爱凌在赛道上奋勇冲刺．一架无人机在着陆坡坡道上方水平向右飞行跟踪拍摄．当谷爱凌在点时，无人机在她仰角为45°的斜上方处；当谷爱凌到达点时，无人机恰好飞到她正上方处．已知坡道的坡度为，坡长米，无人机水平飞行距离米，求无人机离地面的高度的长．（，结果保留整数．） 考点四 以解直角三角形为背景的材料阅读类问题 例1．（2026·江西宜春·一模）2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．已知，，，求： (1)______； (2)若小腿部长，求的长； (3)点距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，．） 例2．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 变式1．（2026·海南·模拟预测）综合与实践：探究遮阳伞下的影子长度． 素材1：图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点D、E、F始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3：小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． (1)【任务1】某一时刻测得米， ①请直接写出__________； ②请求出此时影子的长度； (2)【任务2】这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？请你说明理由． 变式2．（2026·上海虹口·二模）根据以下素材，完成任务． 素材一 如图1，如果平面镜，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，那么反射角等于入射角，即． 素材二 汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻……”．意思是拿一面大的镜子，高高地悬挂起来，在它的下方放置一个盛满水的盆子，就能（从水盆里）看见周围邻居（的景象），如图2所示． 素材三 图3是素材二中图2的示意图，将水盆记作点，墙角记为点，邻居记作点，镜子（平面镜）记作，于点，入射光线经平面镜反射，得到反射光线，于点，又作为入射光线通过水盆反射得到反射光线，进入观察者的眼中（抽象为点）．已知于点，，，水盆到墙角的距离米． 素材四 参考数据：，，． 问题解决： (1)任务一：求邻居到墙角的距离； (2)任务二：如果入射光线不变，将镜子绕点顺时针旋转，在左侧的观察者仍能通过水盆看到邻居，那么水盆应向左还是右平移？平移多少米？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $