2026年中考数学二轮复习《解直角三角形的应用》常考热点题型分类考前冲刺训练

**基本信息** 以四大应用场景为载体，通过20道阶梯式例题系统整合解直角三角形在坡度、仰角俯角、方位角及生活实际中的应用，突出数学建模与逻辑推理。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坡度坡比问题|5题|结合工程（坡道/车库）、坡比定义|通过作高构造直角三角形，利用坡比=垂直高度/水平距离建立关系| |仰角俯角问题|5题|涉及测量（无人机/筒车）、俯角转化|将仰俯角转化为直角三角形内角，用三角函数列方程求解| |方位角问题|5题|方向与距离（海域/路线）|根据方位角确定角度，结合正弦/余弦定理求边长| |其他问题|5题|生活应用（课桌椅/水龙头）|抽象几何模型，综合运用矩形性质与三角函数|

2026年春九年级数学中考二轮复习《解直角三角形的应用》 常考热点题型分类考前冲刺训练（附答案） 一、坡度坡比问题 1．如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点A齐平，其主视图如图2所示． (1)在图2中，与桌面l的位置关系为______； (2)延长与l交于点F，求证： (3)判断图1中矩形的面积与图2中的面积的大小，并求斜坡的坡度（即的值）．（直棱柱体积底面积×高） 2．在道路和桥梁设计中，坡道的坡度通常用汽车爬坡坡度来表示，行业通用以百分比表达，其定义为：如图1，坡道垂直高度与其水平投影长度的比值，即坡度（）． (1)一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为，则这个坡道的垂直高度为_____． (2)图2是学校附近一座立交桥匝道，学校数学社团测量该匝道坡道的坡度，画出如图3的示意图，是该匝道的坡道，是坡道的垂直高度，是它的水平投影长度，，，三点在同一水平面且在同一条直线上，同学们在处竖直向上放飞无人机，无人机在处测得坡顶的俯角为，坡底的俯角为，其中米，米，求出坡道的坡度．（参考数据：） 3．某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 4．某景区建有观光索道，如图，是其中一段索道，支架垂直于水平地面，为了实时监控索道运行状况，在斜坡上安装了一个监控探头，已知斜坡的坡比，从测得点的俯角为，点正下方的地面基准点为，即于点，从测得点的俯角为．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留小数点后一位） (2)检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为，两人准备协同操作悬挂安全警示牌．他们随身携带高精度激光测距仪，可实时监测彼此的直线距离．根据作业规范，当测距仪显示两人之间的直线距离恰好为时，视为进入“关键作业区”，此时甲、乙需协同操作悬挂警示牌，求此时检修员乙走过的路程？（结果保留小数点后一位） 5．综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： (1)平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    (2)上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 二、仰角俯角问题 6．无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为． (1)求无人机的高度（结果保留根号）； (2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 7．筒车（图1）又称“天车”“水车”，是古代水力灌溉工具．最早的记载见于唐代，宋以后逐渐推广．如图2为其工作模型，筒车近似为圆，点为圆心，筒车支柱与垂直，且与交于点，点到水底的距离米．筒车与水面接触点为两点，在点测得处的俯角为，测得处的俯角为． (1)的度数为_____； (2)求两点间的距离； (3)求筒车最高点到水底的距离．（参考数据： ） 8．随着传统能源的日益紧缺，太阳能的应用将会越来越广泛．如图1，是一款太阳能路灯实物图；如图2，是某校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长度的实践活动示意图，其中测倾仪的高度为米，点、、在水平地面的同一直线上，在测点处安置测倾仪，测得电池板顶端点C的仰角，在与点相距米的测点处安置测倾仪，测得灯罩顶端点的仰角，点为灯臂与路灯立柱的连接点（点、与在一条直线上），，测得米．（参考数据：，，结果精确到） (1)求电池板顶端点C离地面的高度； (2)求灯臂的长度． 9．综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 (1)求支撑杆上的长度． (2)求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 10．综合与实践 辽宁某化工厂附近的空气质量监测站，建有一座垂直于地面的采样监测塔，塔底B位于水平地面上．为监测不同高度处的废气排放浓度，科研人员利用地面固定气象站获取的气流数据，分析监测塔上方C区域的气团运动情况． 如图所示，在气流稳定区C处进行原位采样分析时，测得采样口A处的俯角，测得塔底B处（地面空气基准点）的俯角．根据现场风廓线仪监测，空气沿水平方向由C点顺风移动84米后到达D点，此时在D处测得采样口A处的俯角（气团运动至D处时与A处样本浓度趋于一致）．已知图中各点共面．（结果精确到1米，参考数据：，，，，，） (1)计算监测塔高度：为确保废气处理设备的有效运行，需计算该监测塔相对于地面的垂直高度，请完成计算（结果精确到1米）； (2)实验方案优化：在后续监测方案优化中，若引入高精度激光测高仪，可直接获取C点到地面的垂直距离．请分析原数据采集方案中，至多可以删减的数据为________． 三、方位角问题 11．如图所示，我国某海域海岸观测点位于观测点正东方向60海里处．某天观测点在其北偏东方向发现一可疑船只，同时观测点测得可疑船只在其北偏西方向，并沿着方向逐渐向处靠近． (1)如图1，求观测点到可疑船只的距离．（结果保留根号） (2)如图2，一段时间后，观测点测得可疑船只已位于其北偏东方向的处，观测点测得船只仍在其北偏西方向，求此时的距离．（结果保留一位小数．参考数据：,） 12．小明居住在安居工程小区，小区的左侧是乡村振兴大厦，右侧有一座人行桥，经过测量得到以下数据：如图，人行桥长120米，乡村振兴大厦点在点的正西方，点在点南偏西方向，点在点北偏西方向．（结果精确到整数，参考数据：，，，，，） (1)求桥东头与振兴大厦的水平距离的长； (2)已知测量点，，在同一水平面上，且点距离地面2米，在处测得振兴大厦顶端的仰角为；在处测得振兴大厦顶端的仰角为，求振兴大厦的高度． 13．为了满足市民需求，某市在一公园开辟了两条跑步路线：①，②，如图，点C位于点A正东方向2000米处，点D在点A的东北方向，点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向，点C在点D的东南方向．（参考数据：，） (1)求B，C两点之间的距离（结果保留根号）； (2)若甲沿路线①跑步锻炼身体，平均速度为80米分钟，乙沿路线②跑步锻炼身体，平均速度为95米分钟，（经过A，C两点时不停留），谁先到达B点？请通过计算说明理由．（结果精确到1分钟） 14．智能仓储中心使用两台搬运机器人协同完成物料搬运与检测任务，作业区域平面布局如图所示，检测工位、、、、在同一水平面内．点在点的正西方向28米处，点在点的正南方向，点在点的正东方向，点在点的正北方向14米处，点在点的西北方向．一号机器人初始位于点的南偏东方向的点处，二号机器人初始位于点处．（参考数据：，，） (1)求检测工位与之间的距离（结果保留根号）． (2)某一时刻，一号机器人行驶至与距离36米点处，二号机器人到达点处．随后两台机器人同时出发前往点；一号机器人沿路线匀速直线行驶，二号机器人沿路线匀速直线行驶．已知二号机器人的行驶速度是一号机器人的2倍．当两台机器人在行进途中相距18米时，求此时二号机器人与点之间的距离（结果保留小数点后一位）． 15．如图，某运动公园有跑道和自行车道，C在A的正东方向上；B在A的北偏东的方向上600米处，在C的北偏西的方向上；D在A的南偏东的方向上，在C的南偏西的方向上． (1)求的长度： (2)小明和小刚两位好朋友在该运动公园锻炼，他们有能相互通话的无线儿童对讲机，对讲机正常通话的最大距离是米．小明从A处沿方向以4米/秒匀速跑向C；同时小刚也从A处出发，骑自行车沿骑行，段的速度为米/秒，段的速度为6米/秒．小明与小刚在运动过程中，因两人距离的原因，对讲机从可相互通话→无法通话→恢复通话．从出发开始计时，经过多长时间他们刚好恢复正常通话． 四、其他问题 16．《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（GB/T46016—2025）国家标准在2026年2月1日正式实施．某学校使用了一批如图1所示的可躺式课桌椅．该椅子在某种躺睡模式时的侧面（材料厚度忽略不计）如图2所示，椅子的椅面与地面平行，，椅面与椅背的夹角，椅面与搁腿板的夹角，，，某学生测得，，，求点C到地面的距离的长．（结果精确到．参考数据：） 17．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图1是小鸣同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图1抽象成右侧示意图2，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且上于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 18．如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 19．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知： 于点于点于点，若分米，． (1)求的长； (2)“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 20．【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 参考答案 1．（1）解：∵水面是水平的， ∴； （2）解：延长，交直线于点H，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴； （3）根据题意得：棱长为，， ∴， ∴矩形的面积为：， 设， ∵水的体积不变， 水平放置时水的体积为：， ∴放在斜坡上时，水的体积可以看作是正方体体积减去三棱柱的体积， 正方体体积， 三棱柱体积为： ， ∴， 解得，即， ∴的面积为： ∴图1中矩形的面积与图2中的面积相等； 由（2）得， 在中，， 即． 2．(1)这个坡道的垂直高度为米 (2)坡道的坡度为 【分析】（1）根据坡度的定义，即可求解； （2）过点作于点，则四边形是矩形，进而求得，，再根据坡度的定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵一个坡道的水平投影长度为，这个坡道的坡度为， ∴， 解得：米； 答：这个坡道的垂直高度为米． （2）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，，米， ∴米， 依题意，，则是等腰直角三角形， ∴ 米， ∴米， ∴坡道的坡度为， 答：坡道的坡度为． 3．(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 4．(1) (2) 【分析】（1）由斜坡的坡比，得到，则，过作于，即可得到，再根据，解得，最后根据求解即可； （2）先证明是等边三角形，得到，，设进入“关键作业区”时，甲在处，乙在处，则，过作于，由速度关系设，则，即可求出，，接着根据中，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵斜坡的坡比， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 设进入“关键作业区”时，甲在处，乙在处，则，过作于 ∵检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴检修员乙走过的路程． 5．(1) (2)①；②不能；理由见解析 【分析】（1）延长交直线于点K．证明，根据相似三角形的性质进行解答即可． （2）①延长ME交AH于点K．求出，． 根据进行解答即可； ②过F作交AH于点G．求出，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，延长交直线于点K． 根据题意，得． ． ，即． 解得． 车头盲区的面积约为． （2）解：①如图，延长交于点K． 在中，． ． ， ． ． ②司机不能看见孩子，理由如下： 如图2，过F作交于点G． ， 解得米米． 所以，孩子在司机视线盲区，司机不能看见孩子． 6．(1) (2) 【分析】（1）先求出的长，再解直角三角形求出的长即可； （2）求出的长，进而求出的长；过点作于点，则四边形为矩形，可得，，解直角三角形求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得， 在中，，， ∴， 答：无人机的高度为； （2）解：根据题意得：， ∴， 如图，过点作于点，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ． 答：的长度约为． 7．(1) (2)米 (3)筒车最高点到水底的距离为米 【分析】（1）先推导出，得到，，再根据三角形的内角和求解即可； （2）设，推导出，，根据得到，求出，再根据垂径定理求解即可； （3）连接，得到，，根据勾股定理，得到，即，求出，则，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ∴，， ∴； （2）解：设， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 即两点间的距离是米． （3）解：如图，连接， 由题意，得，， ， ， ， ． 筒车最高点到水底的距离为米． 8．(1)米 (2)米 【分析】（1）延长交于点，则四边形，为矩形，得到米，，求出，得到米，米，即可得解； （2）由矩形的性质可得米，解直角三角形可得米，求出米，得到米，证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：延长交于点，则四边形，为矩形， ∴米，， ∵， ∴， ∴米，米， ∴． 答：电池板顶端点离地面的高度为米． （2）解：∵四边形为矩形， ∴米， 在中，∵， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴米， 答：灯臂长为米． 9．(1)米 (2)米 【分析】（1）根据，即可求解； （2）先根据求出，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米， 米； （2） ， ， ，米， 米， 米，米， 米， 米． 10．(1)150米 (2)84米和 【分析】（1）延长交于点G，则，在中由得到．设米，则米，根据列出方程，求出x的值，得到米，米，再根据在中，，求出米，从而根据求解即可； （2）已知点C到的距离，结合（1）可知，利用数据，，求得的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为米和． 【详解】（1）解：延长交于点G，则， ∵在中，， ． 设米，则米， ∵在中，， ，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 米，米． ∵在中，， ， （米）， （米）， 答：该监测塔相对于地面的垂直高度约为150米； （2）解∶已知点C到的距离，结合（1）可知，利用数据，，求得的长度即可，所以原数据采集方案中至多可以删减的数据为米和． 求解如下∶设高精度激光测高仪直接获取C点到地面的垂直距离为a米，则米， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）． 11．(1)海里 (2)海里 【分析】（1）过点作，根据等腰三角形的性质和三角函数进行求解即可； （2）过点作，利用三角函数求解即可； 【详解】（1）过点作， 由题意可得：， 是等腰三角形， ， 点是的中点， （海里）， （海里）， （海里）； （2）过点作， 由题意可得：， 设，则， 在中，， ， 在，， ， ， ， ， ， ， ， ， （海里）． 12．(1)桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； (2)振兴大厦的高度是47米． 【分析】（1）作，解直角三角形求出米，米，米，即可求解； （2）设振兴大厦顶端为点，依题意知米，解直角三角形求出米，即可求解． 【详解】（1）解：作， ，米， 在中，，， 米，米， ， 在中，， 米， （米）， ∴桥东头与振兴大厦的水平距离的长是279米； （2）解：设振兴大厦顶端为点， 依题意知米， ， 在中，， 米， 点距离地面2米，（米）， 振兴大厦的高度是47米． 13．(1)B，C两点之间的距离为米 (2)甲先到达B点，理由见解析 【分析】（1）过点作于，在中，由米、，可得米；结合方位角推得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）过点作于点，甲的路程为米，用时约43分钟；乙的路程为，由为等腰直角三角形得米，结合米，计算得乙用时约44分钟，故甲先到达点． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，， （米）， 在中，∵点B在点A的南偏东方向，点C在点B北偏西方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， （米）． 答：，两点之间的距离为米． （2）解：甲先到达点，理由如下： 由（1）知，甲跑步的路程为米， 甲到达点所用时间为（分钟）， 如图，过点作于点． 由图可得，，， 为等腰直角三角形， ∵， （米）， （米）， 米，（米）， 米． 乙跑步的路程为米， 乙到达点所用时间为（分钟）． ， 甲先到达点． 【点睛】本题核心是方位角转化为角度关系，构造直角三角形求解边长，关键是利用等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质，将实际问题转化为解直角三角形问题，再通过路程与速度计算时间比较． 14．(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得米，米，，，则，解直角三角形得出米，作于，则四边形为矩形，从而可得米，求出米，由题意可得，最后解直角三角形即可得出结果； （2）由题意可得米，，，求出米，由题意可得米，则米，令当二号机器人到达点，一号机器人到达点时，两台机器人在行进途中相距18米，则米，设米，则米，米，作于点，则，从而可得米，米，米，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图： ， 由题意可得：米，米，，， ∴， ∴米， 作于，则， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴米， ∵点在点的西北方向， ∴， ∴米； （2）解：如图： ， 由题意可得：米，，， ∴， ∴米， ∵一号机器人行驶至与距离36米点处， ∴米， ∴米， 设当二号机器人到达点，一号机器人到达点时，两台机器人在行进途中相距18米，则米， ∵二号机器人的行驶速度是一号机器人的2倍， ∴设米，则米， ∴米， 作于点，则， ∴， ∴米，米， ∴米， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或， 当时，米，符合题意； 当时，米，不符合题意； 综上所述，两台机器人在行进途中相距18米时，此时二号机器人与点之间的距离为米． 15．(1)米： (2)200秒 【分析】（1）由题意可得，，求出，，根据勾股定理即可求出答案； （2）根据题意求出恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中，利用勾股定理和解直角三角形求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴是等腰三角形，， 过点作于点，则， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的长度为米： （2）解：小刚从到D的时间为（秒）， 小明从到B的时间为（秒）， 此时两人的距离为米，大于米，处于无法通话的状态， 故恢复通话时刻发生在两人从返回C的过程中， 设经过秒，他们刚好恢复通话， 此时小明在上，距离C点为米，小刚在上，距离C点为 米，设分别为小明和小刚到达的地点，过点作于点，则 ，， ， ∴， 当时，解得， 即．从出发开始计时，经过秒他们刚好恢复正常通话． 16．点C到地面的距离的长为 【分析】如图所示，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，根据含30度角的直角三角形得到的值，由矩形的性质得到的值，再解直角三角形得到的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形，则，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴点C到地面的距离的长为． 17．(1) (2) 【分析】（1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）如图，延长，交于点，由正弦函数求得，得四边形是矩形，求得，，再解直角三角形求出，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ∴， ； （2）解：如图，延长，交于点， ， ， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ，， ， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 18．(1)A点上升的高度 (2)的长为 【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论． 【详解】（1）解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 19．(1)的长约为5.4分米 (2)点上升的高度为4.5分米 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解； （2）作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ， ， ，分米， 在中，（分米）， 答：的长约为5.4分米； （2）解：作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， 分米， 在中，（分米）． 在中，（分米） 答：点上升的高度为4.5分米． 20．(1)①1；②0.9米 (2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 学科网（北京）股份有限公司 $