广东惠州市第一中学2025-2026学年高二下学期期中阶段考试数学试题

**基本信息** 2027届高二下学期期中数学试卷，以导数、概率、解析几何等为核心，融入云南民族村人员安排（第7题）、n维立方体（第14题）等情境，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数运算、条件概率、双曲线离心率|基础巩固，如第5题条件概率考查数学思维| |多选|3/18|分布列、函数极值、椭圆性质|能力提升，如第11题椭圆性质综合逻辑推理| |填空|3/15|双曲线渐近线、二项式系数、n维立方体|创新应用，第14题n维立方体培养空间观念| |解答|5/77|概率应用、数列求和、导数综合|综合探究，第16题体育比赛概率体现应用意识，第19题导数单调性考查理性精神|

2027届高二下学期期中阶段考试试题 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列求导运算正确的是( ) A. (sinx)'=-cosx B. C. D. 和 的等差中项与等比中项分别为( ) A.1 B.±1 C.2± D.1± 3.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( ) A. B. C. 4³ D. 3⁴ 4.与圆 和圆 都相切的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为 ，下雨的概率为 ，既吹东风又下雨的概率为 .则在下雨条件下吹东风的概率为( ) A. B. C. D 6.已知双曲线 顶点到渐近线的距离为，则离心率为( ) A. B. C. 4 D.2 7.云南民族村自建成以来，以生动鲜活的形态，展示了云南各民族的建筑艺术、歌舞服饰、文化风情、宗教信仰和生活习惯。在即将到来的五一假期，预计需要安排6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是( ) A.360 B.450 C.540 D.1020 8.设 则下列关系正确的是( ) A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. c>b>a 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P p₁ p₂ p₂ 下列结论正确的是( ) A.若 则 B.若 则 C.若E 则 D. 的最小值为 10.设函数 则( ) A. x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时, C.当1<x<2时, - 4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)> f(x) 11.已知椭圆 的左焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l₁和l₂，l₁和l₂分别与E交于A、C和B、D,则( ) A. E的离心率为 B. 为定值 C.存在直线l₁，使得 D.若E上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，则E变为圆 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线 的一条渐近线为 则双曲线 C 的焦距为 . 的展开式中 的系数为 (用数字作答). 14.在 n维空间中(n≥2，n∈N)，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 n 维坐标 其中 则5维“立方体”的顶点个数是 ；定义:在 n 维空间中两点 与 的曼哈顿距离为 在 5 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则E(X)= . 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大. (1)求n的值; (2)设 求 的值. 16.(本小题15分) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望. 17.(本小题15分) 设数列 满足 (1)计算猜想 的通项公式并加以证明； (2)求数列 的前n项和 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题17分) 已知圆心在y轴右侧的动圆P与y轴及圆 都相切，记点P的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)已知不重合的两点A，B均在C上. (i)若线段AB的中点在直线 上，且 求直线AB的方程； (ii)若直线AB与x轴正半轴相交，且与圆D相切，求 面积的最小值. 19.(本小题17分) 已知函数 (1)当a=2时，求函数f(x)的最小值； (2)试讨论函数f(x)的单调性； (3)当x>1时，不等式 恒成立，求整数a的最大值. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $