专题06 二元一次方程组章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

**基本信息** 聚焦二元一次方程组9大压轴题型，以54道典例构建"解法-变式-应用"三阶训练体系，强化参数处理、模型构建与综合应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |参数与解法|12题|参数代入法/换元法/整体代换|从基础解到含参问题，渗透方程同解原理| |错解与构造|12题|错解信息提取/定义转化法|通过逆向思维强化方程解的本质理解| |三元与应用|30题|三元消元/方案优化/行程模型/利润公式/几何关系|从三元拓展到实际应用，构建"问题情境-数学建模-求解验证"完整链条|

专题06 二元一次方程组章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 三元一次方程组的压轴题型 题型六 二元一次方程组的应用之方案问题 题型七 二元一次方程组的应用之行程问题 题型八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题 【经典例题一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）甲、乙两人同时解关于，的方程组（其中和代表确定数），甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你求出的值 【答案】 【分析】把甲的解代入方程②求出的值，把乙的解代入①求出的值，确定出方程组，求出正确的解即可． 【详解】解：将代入②，得，解得， 将代入①得，解得， 所以． 【点睛】此题考查了二已知元一次方程组的解求参数，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，正确理解题意再计算是解答本题的关键． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）关于，的二元一次方程组，，是常数），，． (1)当时，求c的值； (2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将，值代入方程，得到关于，，的方程求解． （2）先表示方程的解，再确定． 【详解】（1）解：代入方程得：， ，， ，， ． ； （2）证明：由题意，得， 整理得，①， 、均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 把代入①得，， ， 此时，，，，方程的正整数解是． 仅当时，该方程有正整数解． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． 3．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵； （2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b． 【详解】（1）解：整理方程得，， 因此矩阵形式为：； （2）根据矩阵形式得到方程组为： ， 将代入上述方程得，， 解得：． 【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 【答案】(1) (2)a，b的值分别是和1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解题意，根据新定义解答问题是此题的关键． （1）将原方程组变形为，然后根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值． 【详解】（1）解：将方程组变形为， 所以，将写成矩阵形式为：， 故答案为：； （2）解：矩阵所对应的关于x，y的二元一次方程组为， ∵此方程组的解为 ∴将代入方程组得： 由①得； 由②得； 所以a，b的值分别是和1 5．（24-25七年级下·河北沧州·期中）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，它不符合（1）中的规律 【分析】（1）根据已知的方程组，观察方程未知数系数，常数与解的关系，确定第４个方程组； （2）通过观察，知第n个方程组为解为，将解代入方程组验证； （3）将解代入方程求得参数值，故可知本方程组不符合规律． 【详解】（1）解： （2） 把代入得，所以成立． （3）将代入，解得， 即方程组为，所以它不符合（1）中的规律． 【点睛】本题考查规律探索，观察方程组，探索出方程未知数系数，常数与解的关系是解题的关键 ． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)结论正确，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． （1）观察表格，找到规律，即可填空； （2）根据规律求解即可； （3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5， 所以，填写表格如下： x … 5 11 17 … y … 1 … （2）解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和； 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由如下， 5和3的最大公约数为1，能被1整除， ∵1能整除任意正整数k， ∴必有整数解， 假设是方程的一个解， ∴， 对于任意整数，令，， 代入方程左边得，， ∴是方程的解， 由于整数有无数个， ∴方程有无数组整数解， 综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 7．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 令，代入原方程组求出、的值，进而建立二元一次方程组再求出，的值． 【详解】解：方程组，变形为 假设， 原方程组变形为， 解得， ∴，解方程组得， 故方程组的解为． 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）解二元一次方程组 解：由①，得 把③代入②，得…… …… 所以原方程组的解是 青解答以下问题： (1)补充完成方程组的解_________． (2)请你用不同于小聪的方法来解该二元一次方程组． 【答案】(1) (2)过程见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组， （1）由①得，再代入②得到关于的一元一次方程，求解后得到的值，再将的值代入求出的值即可； （2）由①得，然后整体代入②得到关于的一元一次方程，求解后得到的值，再将的值代入求出的值即可； 解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法：代入消元法与加减消元法．也考查了整体代入的思想． 【详解】（1）解：由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 将代入③，得：， ∴原方程组的解是， 故答案为：； （2）由①得：③， 把③代入②，得：， 解得：， 将代入③，得：， 解得：， ∴原方程组的解是． 9．（25-26八年级上·全国·寒假作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程： 解：①－②，即③ ③，得④ ②－④，得． 把，代入③，得．解得． 所以原方程组的解为： (1)请仿照上面的方法解方程组：； (2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组：利用代入法或加减消元法把二元一次方程转化为一元一次方程求解，理解题干的方法是解题的关键． （1）仿照题干的方法求解即可； （2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可． 【详解】（1）解：， 由①②，得，即③， ③，得④， ②④得， 把代入③，得 ， ∴， 原方程组的解是． （2）解：根据题干和（1）的结果， 猜测方程组的解是． 验证：将代入方程， 左边， 所以左边=右边． 将代入方程， 同理可得左边=右边， ∴此方程组的解是． 11．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 12．（25-26八年级上·山西大同·月考）阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【答案】(1)，9 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、一元一次方程，正确理解克莱姆法则是解题关键． （1）根据二阶行列式的法则即可得，再建立一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据克莱姆法则分别求出，，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：， ∵的值为3， ∴， 解得， 故答案为：，9． （2）解：， 系数行列式， ，， 则方程组的解为，， 即方程组的解为． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 13．（24-25七年级下·吉林延边·月考）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程的正确的解． 【答案】 【分析】把代入①中求得a值，把代入②中求得b值，后求值计算即可．本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】根据题意，； 把代入的①中，得， 解得； 把代入②中，得， 解得， 故原方程组为， 得， 解得， 把代入②中，得， 解得 故方程组的解为． 14．（24-25七年级下·四川广安·月考）两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求关于x方程的解． 【答案】 【分析】本题考查方程组错解复原问题，根据方程组的解满足的那个方程，求出的值，进而解一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，得：满足方程， ∴， ∴， 满足方程， ∴， ∴， ∴转化为：， ∴． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）马康与王龙两人共同解方程组 由于马康看错了方程①中的a，得到方程组的解为，王龙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算 的值． 【答案】0 【分析】本题考查解二元一次方程组的错看问题，有理数乘方的运算，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键．由题意可知方程组的解为满足，方程组的解为满足，进而求出、的值，再滴入代数式求值即可． 【详解】解：将方程组的解为代入，得：， 解得：， 将方程组的解为代入，得：， 解得：， ． 16．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． （1）把代入①，能求出，把代入②，能求出； （2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （3）加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：（1）把代入①，得， 解得：； 把代入②，得， 解得， 所以甲把看成了1，乙把看成了3； （2）解：把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； ∴，； （3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为. (1)求出原方程组的正确解． (2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？ 【答案】(1) (2)甲把看成的数是，乙把看成的数是20222 【分析】（1）根据题意，把代入，求出b的值，把代入，求出a的值，进而，求出原方程组的解； （2）根据题意，把代入，求出a的值，把代入，求出b的值，即可.． 【详解】（1）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为， ∴把代入，得：， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，而得解为， ∴把代入，得：， 解得：， ∴原方程组是： ，得：， 解得：， 把代入①，得：， 解得：， ∴原方程组的正确解是： ； （2）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为， ∴把代入，得：， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，而得解为， ∴把代入，得：， 解得：， 答：甲把看成的数是，乙把看成的数是． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，掌握解的意义和解二元一次方程组的步骤，是解题的关键． 18．（2025·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）；任务三：过程见解析． 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 19．（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1） 由题意可得 ：，再将代入即可求解； （2）由题意可得 ：，求出方程组的解即可； （3）由题意可得 ：，求解方程组即可． 【详解】（1） 当时，， （2） ， ， 解得：， ∴a和b的值分别为，； （3） ， ， ， 化简得：， 解得：， ∴a和b的值分别为，． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 20．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在表格中任意取两组数据代入方程，用加减消元法求出、的值即可； （2）将，代入方程组可得，由加减消元法求出，再由，求出，即可求． 【详解】解：（1）将，和，代入方程， 得：， 由①得③， 将③代入②得，， 将代入③得，， ∴a，b的值为； （2）将，代入方程组， 得．   两方程相减，得． ∴． 把代入，得． ∴． ∴． 于是，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解的应用，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． 21．（24-25七年级下·四川资阳·月考）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； (2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______ (3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据和解方程的定义写出关于x的一元一次方程，即可； （3）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值． 【详解】（1）解：3x＝m， 解得：， ∵方程3x＝m是“和解方程”， ∴， 解得：； （2）解：方程是“和解方程”，理由： 方程， 解得：， ∵， ∴方程是“和解方程”； 故答案为：（答案不唯一） （3）解：关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n， ∴，且， 解得：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程组，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于m的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于m、n的二元二次方程组． 22．（24-25七年级下·四川泸州·期末）阅读学习∶ 已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值． 行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶ 甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值． 乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值． 解决问题∶ (1)选择其中一名同学的思路，解答此题． (2)已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值． 【答案】(1)k=8 (2)k=-1 【分析】（1）选乙同学的方法进行整体代入计算即可，选丙同学则组建新的方程组求出m和n的值，再代入求k值即可； （2）结合第（1）问的方法进行整体代入求解即可． 【详解】（1）解：选择乙同学的解法： ， ①+②，得 17m+17n=11k-3， ∵m＋n = 5， ∴17m+17n=85， 即11k-3=85， 解得k=8． 选择丙同学： 由题意，得 ， 解得， 将代入，得 9×35+8×（-30）=11k-13， 解得k=8． （2）解：， ①+②，得 3x+3y=6k+6， ∵关于x、y的方程组的解互为相反数， ∴x+y=0， ∴6k+6=0， 解得k=-1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的含参问题，解决问题的关键是消元，正确地计算能力是解决问题的关键． 23．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 24．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．） (1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？ ，，，．请写出判断过程． (2)已知方程， ①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解： ②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值． 【答案】(1)A，B，D三点共线，见解析 (2)①；②， 【分析】（1）根据共线的条件判断即可； （2）①法一：任取a的2个值代入，得到2个关于x、y的方程，联立求解即可； 法二：去括号，合并关于a的同类项，令a的系数等于零求解即可； ②将3个点的坐标分别代入，然后解方程组即可． 【详解】（1）对于，；   对于，；      对于，；     对于，． ∴A，B，D三点共线； （2）①法一：因为a为任意实数，不妨取和， 当时得， 当时得， 联立，   解得．      所以固定的解为． 法二：得， 即． 因为对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解， 所以，   解得．    所以固定的解为．         ②由①得，因为，与点M三点共线，所以，得，     解得． 所以，． 【点睛】本题考查了知识拓展-三点共线，解二元一次方程组，正确理解三点共线的条件是解答本题的关键． 【经典例题五 三元一次方程组的压轴题型】 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 【答案】473 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z， 由题意，得， 解得， 答：原来的三位数为473． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 【答案】中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解 设中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为枚，枚，枚， 根据题意，得 解得 所以中国体育健儿获得的金牌，银牌，铜牌分别为40枚，27枚，24枚． 27．（24-25七年级下·福建泉州·期中）陈老师在上课时遇到下面问题： 已知x，y满足方程组，求的值． 小明说：把方程组解出来，再求的值． 小军说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以5，解得． 请你参考小明或小军同学的思路，解决下面的问题： (1)已知关于x，y的方程组的解满足； (2)已知关于x，y的方程组的解满足； (3)某步行街分别摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2950朵红花，3800朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 【答案】(1)7 (2) (3)1350 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次不等式、解三元一次方程组，理解题中求解过程是解答的关键． （1）将两个方程两边分别相加，从而求出a的值即可； （2）将两个方程两边分别相减，得到关于m的一元一次不等式并求解即可； （3）根据题意列三元一次方程组，将两个方程两边分别相加，从而求出的值即可． 【详解】（1）将两个方程两边分别相加，得， ∵， ∴， 解得； （2）解：将两个方程两边分别相减，得， 解得， ∵， ∴，则， 解得：； （3）解：根据题意，得， 将两个方程两边分别相加，得， 经整理，得， 解得， ∴黄花一共用了1350朵． 28．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，4 (2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元 (3)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识， （1）由得，则，再由得，则； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，4； （2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元， 由题意得：， 得：， ∴， 即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元； （3）解：∵， ∴， 得：， ∴， ∴， ∴． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入． 乙同学：先，可得，再可得． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． (1)已知方程组，则的值为_________； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； (3)盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 【答案】(1)7 (2)见解析 (3)155元 【分析】本题考查了三元一次方程组和二元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值． （1）根据题意用即可得出答案； （2）根据题意得，再即可得出答案； （3）设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元，根据题意列出方程组，根据整体代换的思想可求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 得：； （2）解：方程组中，得， 得：， 则， 即无论a取何值，的值始终不变； （3）解：设一个蓝牙耳机成本为x元，一个无线充电宝成本为y元，一个迷你音箱成本为z元， 依题意得：， 得：， 得：， 得：， 答：C盲盒成本为155元． 【经典例题六 二元一次方程组的应用之方案问题】 31．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【答案】(1)每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设满载时1辆A型货车一次可以运x吨柑橘，1辆B型货车一次可以运y吨柑橘，根据“用1辆A型车和1辆B型车一次可运柑橘5t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）设租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，根据柑橘24吨，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得： ， 解得：， 答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得： ， ∴ 均为正整数， ， 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； ∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元． 32．（25-26七年级上·湖南永州·期末）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车厢数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 第二批 (1)试问每节火车车厢和每辆汽车平均各装物资多少吨？ (2)现有物资280吨，若需要安排相同数量的火车车厢和汽车，则如何安排恰好将这批物资全部运走？ 【答案】(1)每节火车车厢平均装50吨，每辆汽车平均装6吨 (2)安排火车车厢5节和汽车5辆恰好将这批物资全部运走 【分析】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的应用． （1）通过设未知数，结合两批物资的运输数据列出二元一次方程组，求解得到每节火车车厢与每辆汽车的平均装载量． （2）利用第一问的结果，设相同数量的火车车厢和汽车为未知数，根据总物资量列一元一次方程求解运输工具的数量． 【详解】（1）解：设每节火车车厢平均装物资吨，每辆汽车平均装物资吨，根据题意得， 解得： 答：每节火车车厢平均装物资50（吨），每辆汽车平均装物资6（吨）. （2）解：设安排火车车厢和汽车的数量均为（为正整数）. 根据题意得， 合并同类项得， 解得． 答：安排火车车厢5（节）和汽车5（辆）恰好将这批物资全部运走． 33．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）某水果商为电商平台运输砂糖橘，有两种货车用于配送．如果用1辆车和2辆车载满一次可运吨；用2辆车和1辆车载满一次可运吨． (1)1辆车和1辆车都载满一次可分别运输多少吨砂糖橘？ (2)现需要运输吨砂糖橘，计划同时租用车和车若干辆（两种货车都要租），一次运完，且每辆车都载满砂糖橘．若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及所需租金． 【答案】(1)1辆车载满一次可运输4吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输6吨砂糖橘 (2)该水果商有2种租车方案：方案1：租用5辆型车，2辆型车，所需租车费用为元；方案2：租用2辆型车，4辆型车，所需租车费用为元；最省钱的方案是租用2辆型车，4辆型车，所需租金为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与方案选择问题，解题关键是通过列方程组求解货车载重量，再结合条件列出所有租车方案并计算成本． （1）设货车载重量为未知数，根据两种载重情况列二元一次方程组求解； （2）根据总运输量列二元一次方程，结合 “两种货车都租” 确定正整数解得到租车方案，再计算各方案租金选最省钱的． 【详解】（1）设1辆车载满一次可运输吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输吨砂糖橘， 根据题意得解得 答：1辆车载满一次可运输4吨砂糖橘，1辆车载满一次可运输6吨砂糖橘． （2）设需租用型车辆，型车辆，依题意得：，整理得：． 因为均为正整数，所以或 该水果商有2种租车方案： 方案1：租用5辆型车，2辆型车，所需租车费用为（元）； 方案2：租用2辆型车，4辆型车，所需租车费用为（元）． 因为， 所以最省钱的方案是租用2辆型车，4辆型车，所需租金为元． 34．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）为发展校园篮球运动，某城区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多40元，若购买5套队服与10个篮球需花费1400元，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折． (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若城区联合购买100套队服和a（）个篮球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】(1)每套队服120元，每个篮球80元 (2)甲：元；乙：元 (3)在乙商场购买比较合算 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，列代数式以及代数式求值等知识， （1）设每套队服的价格是y元，每个篮球的价格是x元；根据题意列二元一次方程组并计算求解即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）把代入代数式，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每套队服的价格是y元，每个篮球的价格是x元； 根据题意，， 解得， 答：每套队服的价格是120元，每个篮球的价格是80元． （2）解：到甲商场购买装备所花的费用：， 到乙商场购买装备所花的费用：， 答：到甲商场购买装备所花的费用为元，到乙商场购买装备所花的费用为元． （3）解：当时， （元）， （元）， ∵， ∴在乙商场购买比较合算． 35．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元；（2）应该租用7辆60座客车才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与一元一次方程的应用，解题的关键是根据租金关系和人数相等关系列出方程（组），再通过计算不同方案的总费用进行比较决策． （1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再分别计算租用两种客车的总费用，比较后确定合算方案． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：，解得： 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元． （2）解：由题意得： 解得： 所以七年级共人， 若全部租用45座客车，需要9辆车，则总费用为：元． 若全部租用60座客车，需要：辆车，则总费用为：元. ， 所以，应该租用7辆60座客车才合算． 36．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）项目式学习： 【项目主题】 选择最省钱的租车方案． 【项目背景】 某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动． 【数据收集】 ①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元． ②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元 2 3 3100 1 2 1900 【问题解决】 利用以上数据解决下列问题： (1)A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？ (2)本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案． 【答案】(1)500元，700元 (2)方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆；方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆；方案二更省钱 【分析】（1）设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆． 根据交通费用支出预算不超过7400元，以及每个师生都有座位列出关于m的不等式组，求出m的范围，再结合m为正整数，求出m 的值，即可得由几种方案，再求出每种方案所需费用，即可找出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元， 根据题意，得， 解得． 答：A，B两种客车每辆的租金分别是500元，700元． （2）解：设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆． 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的取值为5或6． 共有两种符合条件的租车方案： 方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆，费用为（元）； 方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆，费用为（元）， ， 方案二更省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，认真审题，找准等量关系和不等量关系是解题的关键． 【经典例题七 二元一次方程组的应用之行程问题】 37．（24-25七年级下·江苏南通·期中）列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 【答案】(1)这些消毒液应该分装大瓶装瓶， 小瓶装瓶 (2)飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； （1）设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据“大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液”可得关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可； （2）设飞机无风时的平均速度为，风速为，根据“顺风和逆风航行的距离相等的数量关系建立方程组”即可求出答案． 【详解】（1）解：设这些消毒液应该分装大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，根据题意得： 解得： 答： 这些消毒液应该分装大瓶装30000瓶， 小瓶装50000瓶． （2）解：设飞机无风时的平均速度为，风速为，由题意，得 解得 答：飞机无风时的平均速度为，风速为． 38．（2025七年级下·江苏·专题练习）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． (1)你能求出甲、乙两人的速度吗？ (2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 【答案】(1)甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒 (2)丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒 【分析】（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可； （2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒； 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒； （2）解：设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒， 根据题意得，， 解得：， 答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键． 39．（2025七年级上·全国·专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈. 求： (1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ (2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ (3)哥哥的速度是小明的多少倍？ (4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案） 【答案】(1)（米）； (2)小明的速度为3米秒； (3)哥哥速度是小明速度的2倍； (4) 【分析】（1）根据总长度＝（哥哥的速度＋小明的速度）×时间，求解即可； （2）根据条件列出等量关系：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道的周长，列方程求解即可； （3）等量关系为：他们沿相反方向出发：哥哥所跑路程＋小所跑路程＝环形跑道周长；同向时：哥哥所跑路程－小明所跑路程＝环形跑道周长，据此列出方程组求解； （4）由（3）中求出的哥哥的速度与小明的速度的比为1:2，可知在时间相同时，他们所行的路程也为2:1．如果设小明跑了x，那么哥哥跑了2x圈，根据哥哥比小明多跑了20圈列式解答即可． 【详解】（1）解：（米； （2）设小明的速度为米秒， 由题意得，， 解得：， 答：小明的速度为3米秒； （3）设哥哥的速度是米秒，小明的速度是米秒.环形跑道的周长为米. 由题意得，， 整理得，， 即. 答：哥哥速度是小明速度的2倍； （4）设小明跑了圈，那么哥哥跑了圈. 根据题意，得， 解得，. 故经过了25分钟小明跑了20圈 【点睛】本题考查了一元一次方程及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 40．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨． (1)求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费） 【答案】(1)这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米 (2)该食品厂买进原料吨，卖出食品吨 (3)卖出的食品每吨售价是元 【分析】（1）设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨，根据两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设这家食品厂到地的距离是公里，到地的距离是公里， 根据题意，得：， 解得：， 答：这家食品厂到地的距离是千米，到地的距离是千米． （2）解：设该食品厂买进原料吨，卖出食品吨， 由题意得：， 解得：， 答：该食品厂买进原料吨，卖出食品吨． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元， 由题意得：， 解得：， 答：卖出的食品每吨售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程组或方程． 41．（24-25七年级下·福建泉州·月考）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】(1)相差19分钟 (2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可； （2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟” 列方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟， 根据题意，得， 解得， ∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间， ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； （2）解：由知小张乘车时间短， 根据题意，，解得， 答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟． 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【分析】（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可； （2）根据“等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解． 【详解】解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得： 2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7）， ∴0.5（x-y）=5， ∴x-y=10， ∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟； （2）由（1）及题意得： ，解得 ∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键． 【经典例题八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】 43．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【答案】篮球的单价为60元，足球的单价为50元 【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，任取两个条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选①②； 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选①③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选②③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 44．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 45．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 【答案】(1)A的标价60元，B的标价80元 (2)7折 【分析】（1）设A商品的标价是元，B商品的标价是元，利用总价单价数量，结合前两次购买的数量及总费用，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设商场是打折出售这两种商品的，利用总价单价数量，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A商品的标价是元，B商品的标价是元， 依题意得：， 解得：， 答：A商品的标价是60元，B商品的标价是80元； （2）解：设商场是打折出售这两种商品的， 依题意得：， 解得：， 答：商场是打7折出售这两种商品的． 46．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购群1更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购群1和团购群2的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购群1的费用为：， 团购群2的费用为：， ∵， ∴团购群1购买更合算． 47．（2025七年级上·重庆·专题练习）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的A、B两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件A商品的售价为800元，利润为300元；每件B商品的进价为800元，利润率为： (1)若该商店第一次用68000元购进了A、B两种商品，其中B商品的件数比A商品件数的2倍少20件，求购进A、B两种商品各多少件； (2)在（1）的条件下，该商店第二次又购进A、B两种商品进行销售，与第一次相比，购进A商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进B商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1100元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的22件B商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润29180元，求m的值． 【答案】(1)商品件，商品件； (2) 【分 析】                                                                                                                                                     本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价,设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （2）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （2）解：由（1）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 48．（24-25七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． 任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则，得到，根据，且m， n均为正整数得到符合要求的解即可； 任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ，根据总花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可． 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 【经典例题九 二元一次方程组的应用之几何问题】 49．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 【答案】每个小长方形的面积． 【分析】本题考查了列二元一次方程组的运用．根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形长为，宽为， ， 解得， 每个小长方形的面积． 50．（2025·广东·二模）【综合与实践】 主题：制作一个有盖长方体形纸盒． 素材：一张矩形纸板． 操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒． 计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积． 【答案】 【分析】本题考查矩形的周长公式、比例关系以及长方体的相关知识．解题关键在于利用矩形的周长和边长比例求出矩形的边长，再通过分析图形中矩形边长与长方体棱长的关系，确定长方体的长、宽、高，最后运用长方体体积公式计算体积．先根据矩形的周长和边长比例关系求出矩形纸板的长和宽，再结合折成的长方体底面是正方形这一条件，确定长方体的长、宽、高，最后根据长方体体积公式计算体积． 【详解】解：∵矩形纸板的周长为， ∴． 又∵与的长度比为，设，， ∴，即， 解得． ∴，． 设折成的长方体底面正方形的边长为． 观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长加上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长加上长方体的两条高． 即（为长方体的高） ∴，即， 解得． 把代入，可得， 解得． ∴长方体的长、宽均为、高为． ∴． 51．（2025·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键． 设小正方形的边长为，根据题意可得，求得，即每个栏目宽为，即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 由图知， 即， ∴每个栏目的宽为． 则 故中缝的宽度为． 52．（24-25七年级下·山西长治·期中）综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】任务一：3，5；任务二：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． （1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可； （2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张； 故答案为：3，5； 任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板， 根据题意，得：， 解得， 能做纸盒的数量为：， 答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒． 53．（24-25七年级下·浙江·期中）小叶用如图的长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小叶用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．求该茶叶包装盒底面正方形的边长和“接口”的宽度分别是多少？ （2）小叶爸爸的茶叶专卖店以每盒150元购进一批茶叶，按进价增加20%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小叶的包装后，马上售完了余下的茶叶，但成本增加了每盒5元，售价仍不变．已知在整个买卖过程中共盈利1500元，求这批茶叶共进了多少盒？ 【答案】（1）底面正方形的边长8cm，“接口”的宽度2cm；（2）56或55盒 【分析】（1）由一个“接口”宽加上4个盒底边长等于34和两个“接口”宽加上4.5个盒底边长等于40，列方程组可解； （2）设第一个月销售了盒茶叶，第二个月销售了盒茶叶，分别表示出第一个月和第二个月的利润，二者相加等于1500，再根据和均为正整数及整除的性质可解． 【详解】解：（1）设“接口”宽度为，盒底边长为， 由题意得：， 解得． ∴底面正方形的边长8cm，“接口”的宽度2cm； （2）设第一个月销售了盒茶叶，第二个月销售了盒茶叶，由题意得： ， 化简得：． 、为正整数，由上式知为5的倍数，且， 或， 或55盒． 答：这批茶叶共进了56或55盒． 【点睛】本题属于二元一次方程的应用题，结合图形分析出等量关系式解决本题的关键，同时本题还考查了不定方程的基本解法，难度略大． 54．（24-25八年级上·广东佛山·月考）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 【答案】(1)60 (2)20 (3)63 【分析】本题主要题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识点，分析题意、找到合适的等量关系列出方程组和方程是解题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式求解即可； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，然后根据题意列代数式求值即可； （3）设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为；再用两种方式表示出长、宽，然后根据长列出一元一次方程求得x的值，进而求得长方形的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴． ∴每个小长方形的面积为60． （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 则，解得， ∴． ∴小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是． 故答案为：20． （3）解：设1、2、3号正方形的边长为x，则4号正方形的边长为，5号正方形的边长为，6号正方形的边长为， ∴该长方形的长为或，宽为 ∴，解得：， ∴该长方形的长为9，宽为7， ∴这个长方形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二元一次方程组章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 已知二元一次方程组的解求参数 题型二 二元一次方程组的特殊解法 题型三 二元一次方程组的错解复原问题 题型四 构造二元一次方程组求解 题型五 三元一次方程组的压轴题型 题型六 二元一次方程组的应用之方案问题 题型七 二元一次方程组的应用之行程问题 题型八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 题型九 二元一次方程组的应用之几何问题 【经典例题一 已知二元一次方程组的解求参数】 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）甲、乙两人同时解关于，的方程组（其中和代表确定数），甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你求出的值 2．（2025八年级上·全国·专题练习）关于，的二元一次方程组，，是常数），，． (1)当时，求c的值； (2)若a是正整数，求证：仅当时，该方程有正整数解． 3．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为：； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 4．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式为： ； (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值． 5．（24-25七年级下·河北沧州·期中）按一定规律排列方程组和它的解的对应关系如下： ．…… ．…… (1)依据方程组和它的解的变化规律，将第4个方程组和它的解直接填入横线处． (2)猜想第n个方程组和它的解并验证． (3)若方程组的解是，求m的值，并判断该方程组是否符合（1）中的规律． 6．（2025·安徽马鞍山·三模）某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下： x … 5 11 （_______） … y … 1 （_______） … (1)观察表格，根据规律请在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由． 【经典例题二 二元一次方程组的特殊解法】 7．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 8．（24-25七年级下·江西赣州·期末）解二元一次方程组 解：由①，得 把③代入②，得…… …… 所以原方程组的解是 青解答以下问题： (1)补充完成方程组的解_________． (2)请你用不同于小聪的方法来解该二元一次方程组． 9．（25-26八年级上·全国·寒假作业）阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程： 解：①－②，即③ ③，得④ ②－④，得． 把，代入③，得．解得． 所以原方程组的解为： (1)请仿照上面的方法解方程组：； (2)请猜想关于x，y的方程组的解，并利用方程组的解加以验证． 11．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 12．（25-26八年级上·山西大同·月考）阅读与理解． 阅读下面的素材，完成给定的任务． 素材一：二阶行列式是由矩阵的元素按照特定规则计算出的一个数值，其运算规则是．例如：． 素材二：克莱姆法则是一种用行列式求解方程组的方法，适用于方程的个数等于未知数个数且系数行列式不为零的情况．例如：对于二元一次方程组，如果系数行列式，记，，则该方程组的解为，． 任务： (1)仿照素材一，用含的代数式表示：________，若的值为3，则的值为________． (2)用“克莱姆法则”求解二元一次方程组． 【经典例题三 二元一次方程组的错解复原问题】 13．（24-25七年级下·吉林延边·月考）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得的解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程的正确的解． 14．（24-25七年级下·四川广安·月考）两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求关于x方程的解． 15．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）马康与王龙两人共同解方程组 由于马康看错了方程①中的a，得到方程组的解为，王龙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，试计算 的值． 16．（24-25七年级下·河南安阳·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为. (1)求出原方程组的正确解． (2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？ 18．（2025·广西柳州·二模）下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【经典例题四 构造二元一次方程组求解】 19．（24-25七年级下·江苏南通·期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（a，b为常数）． 例如，当时，． (1)当时， 　　； (2)若，求a和b的值； (3)如果组成数对的两个数x，y满足二元一次方程时，总有，求a、b的值 20．（24-25七年级下·四川南充·期末）如表中每一对x，y的值满足方程ax＋by＝2． x … 2 3 4 … y … ﹣2 ﹣4 ﹣6 … （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解满足方程3x﹣2y＝﹣10，求m的值． 21．（24-25七年级下·四川资阳·月考）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b+a，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； (2)请自行写出一个除上述你方程外的“和解方程”：______ (3)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 22．（24-25七年级下·四川泸州·期末）阅读学习∶ 已知实数m，n满足m＋n = 5且，求k的值． 行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶ 甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组，再求k的值． 乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值 丙同学∶组合法，先解方程组，再求k的值． 解决问题∶ (1)选择其中一名同学的思路，解答此题． (2)已知关于x、y的方程组的解互为相反数，求k的值． 23．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 24．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点，，的横坐标x值与纵坐标y值的有序实数对，都是方程的解，则称，，三点共线．（如：点的横坐标与纵坐标的有序实数对为是方程的解．） (1)已知方程，判断A、B、C、D四个点中哪三个点共线？ ，，，．请写出判断过程． (2)已知方程， ①对于任意实数a的值该方程总有一个固定的解，请求出固定的解： ②以①的解中x值为点M的横坐标，y值为点M的纵坐标，若点，与点M三点共线，求a与t的值． 【经典例题五 三元一次方程组的压轴题型】 25．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的．如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数． 26．（24-25七年级下·全国·课后作业）在2024年巴黎奥运会上，中国体育健儿共获得奖牌91枚，令国人振奋，世界瞩目．下面是两名同学的对话： 小明：“太厉害了，我们获得的金牌就比铜牌的2倍少8枚！” 小华：“是呀，我们的银牌也不少啊，比铜牌多3枚！” 根据以上对话，请你求出中国体育健儿分别获得多少枚金牌、银牌、铜牌． 27．（24-25七年级下·福建泉州·期中）陈老师在上课时遇到下面问题： 已知x，y满足方程组，求的值． 小明说：把方程组解出来，再求的值． 小军说：把两个方程直接相加得，方程两边同时除以5，解得． 请你参考小明或小军同学的思路，解决下面的问题： (1)已知关于x，y的方程组的解满足； (2)已知关于x，y的方程组的解满足； (3)某步行街分别摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景x，y，z盆，甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2950朵红花，3800朵紫花，求黄花一共用了多少朵． 28．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）阅读以下内容：已知实数x，y满足，求的值．两位同学分别采用了以下两种不同的解题方法： 甲同学：先解关于x，y的方程组解得，的值，再代入． 乙同学：先，可得，再可得． 李老师对两位同学的解法进行了点评，甲同学的解法是常规思路，其运算量比较大，乙同学利用两个方程未知数的系数之间的关系，通过变形，求得该整式的值，这种解题思想就是数学中常见的“整体思想”．两种解法中，选择你欣赏的解法解答下面问题． (1)已知方程组，则的值为_________； (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； (3)盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱若干，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个无线充电宝，1个迷你音箱；B盒中3个蓝牙耳机，5个无线充电宝，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个无线充电宝，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机，无线充电宝，迷你音箱的成本之和），求C盒的成本． 【经典例题六 二元一次方程组的应用之方案问题】 31．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 32．（25-26七年级上·湖南永州·期末）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车厢数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 第二批 (1)试问每节火车车厢和每辆汽车平均各装物资多少吨？ (2)现有物资280吨，若需要安排相同数量的火车车厢和汽车，则如何安排恰好将这批物资全部运走？ 33．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）某水果商为电商平台运输砂糖橘，有两种货车用于配送．如果用1辆车和2辆车载满一次可运吨；用2辆车和1辆车载满一次可运吨． (1)1辆车和1辆车都载满一次可分别运输多少吨砂糖橘？ (2)现需要运输吨砂糖橘，计划同时租用车和车若干辆（两种货车都要租），一次运完，且每辆车都载满砂糖橘．若车每辆需租金元/次，车每辆需租金元/次，请帮水果商设计租车方案，并选出最省钱的方案及所需租金． 34．（25-26七年级上·宁夏固原·月考）为发展校园篮球运动，某城区决定联合购买一批篮球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多40元，若购买5套队服与10个篮球需花费1400元，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买篮球打八折． (1)求每套队服和每个篮球的价格是多少？ (2)若城区联合购买100套队服和a（）个篮球，请用含的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； (3)在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 35．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 36．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）项目式学习： 【项目主题】 选择最省钱的租车方案． 【项目背景】 某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动． 【数据收集】 ①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元． ②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元 2 3 3100 1 2 1900 【问题解决】 利用以上数据解决下列问题： (1)A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？ (2)本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案． 【经典例题七 二元一次方程组的应用之行程问题】 37．（24-25七年级下·江苏南通·期中）列方程组解应用题 (1)根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量(按瓶计算)比为．某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ (2)A 地至 B地的航线长，一架飞机从A 地顺风飞往B 地需，它逆风飞行同样的航线需、求飞机无风时的平均速度与风速． 38．（2025七年级下·江苏·专题练习）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙． (1)你能求出甲、乙两人的速度吗？ (2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？ 39．（2025七年级上·全国·专题练习）小明与哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25秒相遇一次.现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25分钟哥哥追上小明，并且比小明多跑20圈. 求： (1)若哥哥的速度为8米秒，小明的速度为4米秒，环形跑道的长度为多少米？ (2)若哥哥的速度为6米秒，则小明的速度为多少？ (3)哥哥的速度是小明的多少倍？ (4)哥哥追上小明时，小明跑了 　　圈（直接写出答案） 40．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，，两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地距离的倍，现该食品厂从地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗卖到地，两次运输第一次：地食品厂，第二次：食品厂地共支出公路运费元，铁路运费元．已知公路运费为元千米吨，铁路运费为元千米吨． (1)求该食品厂到地，地的距离分别是多少千米？ (2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润总售价总成本总运费） 41．（24-25七年级下·福建泉州·月考）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 42．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 注：代驾费由里程费，时长费，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元． 小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同． （1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟； （2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【经典例题八 二元一次方程组的应用之销售、利润问题】 43．（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 44．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 45．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小李在某商场购买，两种商品若干次（每次，都买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，，两种商品同时打折，三次购买，商品和费用如表所示： 购买商品的数量（件） 购买商品的数量（件） 购买总费用（元） 第一次 6 5 760 第二次 3 7 740 第三次 9 8 826 (1)求，两种商品的标价各多少元？ (2)若小李第三次购买时，，两种商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品？ 46．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 47．（2025七年级上·重庆·专题练习）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的A、B两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件A商品的售价为800元，利润为300元；每件B商品的进价为800元，利润率为： (1)若该商店第一次用68000元购进了A、B两种商品，其中B商品的件数比A商品件数的2倍少20件，求购进A、B两种商品各多少件； (2)在（1）的条件下，该商店第二次又购进A、B两种商品进行销售，与第一次相比，购进A商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进B商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为1100元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的22件B商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润29180元，求m的值. 48．（24-25七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 【经典例题九 二元一次方程组的应用之几何问题】 49．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形（图①）．小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红拼成如图②所示的正方形，中间还留下了一个“洞”，这个“洞”恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积． 50．（2025·广东·二模）【综合与实践】 主题：制作一个有盖长方体形纸盒． 素材：一张矩形纸板． 操作：如图，先将矩形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板折成有盖长方体形纸盒． 计算∶若矩形纸板的周长为，与的长度比为，且折成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积． 51．（2025·北京西城·模拟预测）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸分割成大小相等的左、中、右三个小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出个小正方形方格，中间有十字间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为．已知卡纸的长，宽，求每个栏目之间的中缝间距． 52．（24-25七年级下·山西长治·期中）综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 53．（24-25七年级下·浙江·期中）小叶用如图的长方形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形的“接口”用来折叠后粘贴或封盖． （1）若小叶用长，宽的长方形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．求该茶叶包装盒底面正方形的边长和“接口”的宽度分别是多少？ （2）小叶爸爸的茶叶专卖店以每盒150元购进一批茶叶，按进价增加20%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小叶的包装后，马上售完了余下的茶叶，但成本增加了每盒5元，售价仍不变．已知在整个买卖过程中共盈利1500元，求这批茶叶共进了多少盒？ 54．（24-25八年级上·广东佛山·月考）现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． (1)请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是______cm； (3)拓展学习：如图4，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $