专题05 图形的变换章末50道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 图形的变换章末50道压轴题型专训（7大题型） 题型一 轴对称中的光线反射问题 题型二 根据平移性质求周长与面积问题 题型三 根据旋转的性质求解综合应用 题型四 旋转中的角度问题 题型五 轴对称折叠问题 题型六 轴对称中作图问题 题型七 中心对称的性质综合应用 【经典例题一 轴对中心对称的性质综合应用反射问题】 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 2．（24-25七年级下·江苏镇江·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 3．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质及两点之间线段最短，解题的关键是利用轴对称将折线路程转化为直线段路程． 作点关于河边的对称点，连接与河边所在直线l交于点；利用轴对称得，结合两点之间线段最短，知为最短路程． 【详解】解：作点关于河边所在直线l的对称点， 连接，与河边所在直线l交于点， 点与关于河边对称， ， ， 由两点之间线段最短，得为最短路径， 故点是使路程最短的饮马点． 4．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 5．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、光线的反射问题等知识点，掌握平行线的判定与性质以及分类讨论思想成为解题的关键. （1）根据光的反射定律以及平行线的性质即可解答； （2）根据光的反射定律和平行线的判定和性质求解即可； （3）分点D在点C下方和上方两种情况，分别根据光的反射定律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：（1）由光的反射定律可知， ∴， 又∵， ∴， ∴∠2=180°-2∠PCB=180°-100°=80°， 故答案为：． （2）时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到，理由如下： 根据光的反射定律及等角的余角相等，可得，， 如图，过点O作， ∵， ， ，，， ，，， ，， ，， ． （3）如图1所示，当点D在点C下方时， 由题意可知， ，， ，，， ； 如图2所示，当点D在点C上方时， 由题意可知， ，， ． 综上，的度数为或． 6．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 【经典例题二 根据平移性质求周长与面积问题】 7．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，由平移可得，，结合周长为，即可求解． 【详解】解：周长为， ， 由平移得，， ， 即四边形的周长为． 8．（25-26七年级下·吉林·月考）将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 【答案】(1)70 (2)14 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）由平移的性质可得，，再由三角形周长计算公式可推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ∴； （2）解：三角形沿方向平移得到三角形，， ，， 三角形的周长为10， ，即， 四边形的周长 ． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查长方形的面积公式，整式的混合运算，关键在于平移的性质推出b图中道路的宽和长． （1）如图b，根据平移的性质，东西方向的道路的长为，宽为，则面积为，南北方向道路的面积为，院子的面积为，则空白部分的面积为，然后计算即可； （2）根据（1）所推出的结论，把代入（1）所求出的表达式，即可推出结果． 【详解】（1）∵院落为东西长，南北宽为的长方形， ∴， ∵道路的宽为， ∴东西方向的道路的长为，宽为， ∴面积为， ∴南北方向道路的面积为， ∴空白部分的面积 ． （2）∵空白部分的面积为， ∴当时，空白部分的面积 =． 10．（2025七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 11．（24-25七年级下·河北唐山·期末）动手操作： （1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是___________； ②四边形的面积是___________； （2）如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是___________ 拓展延伸：（3）如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是___________． 【答案】（1）①；②（2）③见解析，④（3）平方米 【分析】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可； （2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①根据平移性质，线段平移的距离是； ②根据图形，四边形的面积为：； 故答案为：①；②； （2）解：③如图所示，即为所求作； ④由图形知， ∴多边形的面积为： ， 故答案为：； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为b米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 12．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【答案】(1)32（平方厘米） (2)22 (3)16 【分析】（1）由、，得；结合点的运动，将的面积转化为以为底、为高的三角形面积计算；利用与等底等高面积相等，推得与面积相等． （2）将两个涂色小长方形的线段平移至大长方形的边；发现大长方形周长恰好等于两个涂色小长方形周长之和，直接求和即可． （3）由对称性得另一梯形与已知梯形面积相等；计算两个梯形总面积，用大正方形面积减去该总面积，得到涂色正方形面积． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴． ∵是以为底，为高，厘米，厘米， ∴（平方厘米）， ∴图2中涂色的面积图1中涂色的面积（平方厘米）． （2）解：通过平移线段可知，原长方形的周长等于两个涂色小长方形的周长之和． 已知两个涂色长方形周长分别为14厘米和厘米， （厘米）； （3）解：当点到点时，如图， 根据平移对称性，两个梯形的总面积为 平方厘米， 涂色正方形的面积平方厘米． 示意图如下： 【经典例题三 根据旋转的性质求解综合应用】 13．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知中，，将沿着射线方向平移得到，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且． (1)如图①，如果，，那么平移的距离等于______；（请直接写出答案） (2)如图②，将绕着点逆时针旋转得到，连接，如果，，求的面积； (3)如图③，在（2）题的条件下，分别以，为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，且满足，如果平移的距离等于，求出的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)的面积为 【分析】本题主要考查图形的变换，理解图形的平移，图形旋转的性质，掌握梯形，三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）根据图形平移，线段的关系即可求解； （2）根据图形的旋转，图形之间线段的关系，结合梯形，三角形面积的计算方法即可求解； （3）根据平移可得，结合可得：，解出、的值，代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：； （2）解：根据题意，如图所示， ∴，，， 根据题意，， ∴四边形是直角梯形， ∴，， ∴ ， ∴的面积为； （3）解：∵平移的距离等于， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ∴由（2）可知， 故答案为：的面积为． 14．（24-25七年级上·上海·期末）如图（1），已知中，，BC＝a，AC＝b，将绕点A逆时针旋转90°得到． (1)联结，请直接写出是 三角形，并求出的面积．（用含字母a、b的代数式表示） (2)将向左平移，使点与点A重合，点落在AC边上，标记为，A点平移后的对应点标记为，请在图（2）中画出平移后的图形，联结、．如果AB＝3，求四边形的面积． 【答案】(1)等腰直角； (2)图见解析； 【分析】（1）利用旋转的性质可直接得知， 为等腰直角三角形；利用割补法求解三角形面积：，可通过计算出后面三个图形面积化简得到答案； （2）画出图形后可知，分别计算出后面两个三角形的面积得到四边形的面积． 【详解】（1）等腰直角三角形； 延长BC、交于D点，由旋转得BC＝＝a，AC＝＝b，＝＝； （2）按要求画出图形；由题意可得：， ∴ ＝ ＝＝． 【点睛】本题考查了旋转的性质、割补法求解图形面积，其中熟练掌握割补法求解图形面积的技巧是解题关键． 15．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知正方形ABCD，点M是线段CB延长线上一点，联结AM，AB＝a，BM＝b． (1)将线段AM沿着射线AD方向平移，使得点A与点D重合． 用代数式表示线段AM扫过平面部分的面积 ．（直接写出答案） (2)将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，联结MN． 用代数式表示三角形CMN的面积 ．（直接写出答案） (3)将三角形ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外）．请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据三角形的面积计算即可； （3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】（1）解：线段AM扫过的平面部分的面积为； 故答案为： （2）解：将△ABM绕着点A逆时针旋转90°，如图所示， 则，， ∴△CMN的面积为＝＝， 故答案为： （3）①如图1：旋转中心：AB边的中点O；顺时针180°； ②如图2：旋转中心：点B；顺时针旋转90°； ③如图3：旋转中心：正方形对角线交点O；顺时针旋转90°； 【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 17．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，为直线上一点，将一副直角三角板按如图所示放置（其中，），将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过3秒； ①此时，__________． ②此时是否平分？请说明理由： (2)若在三角板转动的同时，三角板也绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3．那么经过多长时间直线平分？请说明理由． 【答案】(1)①；②平分，理由见解析 (2)经过直线平分，理由见解析 【分析】（1）①根据，即可解答； ②求得即可进行判断； （2）分两种情况，即运动到的平分线的位置或运动到的平分线的延长线的位置，分别求解即可． 【详解】（1）①解：根据题意可得； ②解：平分，理由如下： ， ， ， ， ， 平分； （2）解：经过直线平分，理由见解析， 设经过直线平分， 当运动到的平分线的位置时，如图， 由题意可得，， ， 平分， ， 解得； 当运动到的平分线的位置时，如图， 由题意可得，， ， 平分， ， 解得； 三角板绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周， ， 故不符合题意，舍去， 综上，经过直线平分． 【点睛】本题需要分类讨论，即运动到的平分线的位置或运动到的平分线的延长线的位置． 18．（25-26七年级上·上海·月考）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，请在答题纸中的图2上画出示意图，并直接写出的度数； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为，面积为，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】本题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式； （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为， ∵，， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴； （3）解：由旋转可知：， ∵，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴． 【经典例题四 旋转中的角度问题】 19．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）如图，在中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 【答案】(1)点 (2) 【分析】本题考查了旋转的相关知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据图示即可确定旋转中心，求出即可求出旋转的度数； （2）根据即可求出的度数，根据可求的长； 【详解】（1）解：旋转中心是点． ∵， ∴， ∴旋转的度数是． 故答案为：点 （2）解：∵旋转得到， ∴， ∴ ∵C为的中点， ∴ ∴． 20．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)与的长有什么关系？与呢？ (3)与的度数大小有什么关系？ 【答案】(1)旋转中心是点O，旋转角是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了旋转．熟练掌握旋转的定义和性质是解决问题的关键．旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角． （1）根据旋转角的定义和旋转中心的定义即可求解； （2）根据旋转的定义和线段中点的定义即可求解； （3）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得旋转中心是点O，旋转角是； （2）解：由旋转知：，， ∵E，F分别是，的中点 ∴，， ∴； （3）解：由旋转知：， ∴， ∴． 21．（24-25七年级下·甘肃庆阳·月考）如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 【答案】(1) (2)当时，平分； (3)或 【分析】（1）先求出，，再由平角的定义即可得解； （2）由旋转的性质可得，再由角的数量关系即可求解； （3）分为旋转角小于和大于两种情况，根据平行线的性质和角的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：三角板中，， ，， ； （2）解：以点O为旋转中心旋转到的位置， ， ，平分， ， ， ， ， 当时，平分； （3）解：如图，当旋转角小于时， ， ； 如图，当旋转角大于时， ， ， 旋转角为， 综上所述，旋转角为或． 22．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）将一副三角板如图①放置，点B、A、E在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE，点A为垂足，∠BCA＝30°，∠AED＝45°．    （1）如图①，∠ADE的度数为         ，∠ABC的度数为         ； （2）若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）． ①如图②，当旋转角α等于45°时，试问DE∥BA吗？请说明理由； ②如图③，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角α的度数． 【答案】（1）45°，60°；（2）①平行，理由见解析；②60° 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）①当旋转角α等于45°时，根据垂直的定义得到∠BAC＝90°，求得∠BAD＝∠BAC﹣∠α＝45°，又∠ADE＝45°根据平行线的判定定理即可得到结论； ②根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∠ADE的度数为45°，∠ABC的度数为60°， 故答案为：45°，60°； （2）①当旋转角α等于45°时， ∴∠BAC＝90°， 又∠α＝45°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠α＝45°， 又∠ADE＝45° ∴∠BAD＝∠ADE， ∴DE∥BA； ②当AD⊥BC于点F时， ∴∠AFC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠α＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确识别图形是解题的关键． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意，由三角形外角定理即可求解； （2）①当时，分两种情况，第一种当旋转角度在之间时，根据三角形外角定理得，再根据即可求解；第二种情况当旋转角度在时，此时再旋转； ②分三种情况讨论：第一种当时，a为或a为，第二种当时，a为或a为，，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：①如图，   ， ， 由（1）知，，， ，， ， 如图，与延长线交于点，    由第一种情况知，这种情况是在第一种情况的基础上再旋转， 三角板绕点A以每秒的速度按顺时针方向旋转， ， ； 解：②如图，当时，   ， ， ， ， a为或a为， （秒），（秒）． 如图，当时，   ， ， a为或a为， （秒），（秒）， ． 如图，当时， 此时a为 ∴， 综上所述， 【点睛】本题考查角的运动和角的运算及平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法及性质和角度的运算是解题的关键． 24．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如、的角等．七年级（1）班数学学习小组又进行了如下实践操作： 【操作发现1】“探索组”用一副三角尺进行拼角．所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线．如图①，把和的角拼在一起，如图②，把和的角拼在一起．则图①中的的度数为_______，图②中的的度数为_____； 【操作发现2】“智慧组”把图①中的三角尺绕点顺时针旋转到图③的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为． 【操作发现3】“挑战组”把图②中的三角尺绕点顺时针旋转到图④的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中的度数； 【归纳概括】①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是______（用含，的代数式表示）； ②当有公共顶点的两个角和其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是______（用含，的代数式表示）． 【答案】[操作发现1]：，；[操作发现3]：；[归纳概括]：①；② 【分析】本题考查角度的计算，关键是由角平分线的定义表示出有关的角． [操作发现1]由角的平分线的定义表示出和，即可求解． [操作发现3]由角的平分线的定义表示出有关的角，即可求解． [归纳概括]由角的平分线的定义结合前面的结论，即可求解． 【详解】解：[操作发现1] 图①：，分别平分，， ，， ， ， 图②：，分别平分，， ，， ， ， 故答案为：，； [操作发现3] 平分， ， 平分， ， ； [归纳概括] ①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是， 故答案为：， ②当有公共顶点的两个角和有（其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是， 故答案为：． 【经典例题五 轴对称折叠问题】 25．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，四边形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点． (1)请用尺规作图法作出折痕，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，试说明，，三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，折叠的性质． （1）利用尺规作图作出的平分线即可； （2）利用折叠的性质求得，即可证明、M、F三点共线． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）证明：∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴、M、F三点共线． 26．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 27．（25-26七年级下·江苏常州·单元测试）按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 【答案】(1)垂直．理由见解析 (2)与互余 (3)与互为邻补角，与也互为邻补角 【分析】本题主要考查余角和补角及角的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等；相加得的角互为余角；相加得的角互为补角． （1）由图中第三个图形可知，折叠后，再根据三点共线可求得结论； （2）根据（1）可知，两角之和为，两角互余； （3）由三点共线，以及图中的第四个图形中的角的关系可得出结论． 【详解】（1）解：垂直．理由如下： 由折叠可知，． 又， ， ． （2）解：由（1）知，， 故与互余． （3）解：与互为邻补角，与也互为邻补角． 28．（25-26七年级下·江苏常州·单元测试）（1）如图，已知．若，求的度数． （2）有一张四边形纸片，其中．把纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点处，是折痕．求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质与判定，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质与判定是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得，，计算后得； （2）为折叠线，得，从而得到． 【详解】解：（1）， ． ， ， ， ， （2）证明：由折叠的性质，得． ， ， ． 29．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）综合与实践． 【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕上一点，此时与重合，所以，再将纸片铺平，可知射线是的平分线． 【问题情境】将一张长方形纸片折叠，为折痕，点落在点处，平分． 【综合应用】 (1)如图②，若与重合，求的度数； (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，请直接写出的度数（用含的代数式） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了翻折变换及其应用问题，与角平分线有关的计算．灵活运用翻折变换的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可； （2）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可； （3）根据折叠的性质可得，用的代数式分别表示出和，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②），小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将长方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④）；再展平纸片（如图⑤），求图⑤中的大小． 【答案】（1）同意，见解析；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）第一次折叠，落在边上，则折痕平分，；第二次折叠，A、D重合，则；易证得，得，再根据第二次折叠所得到的，可证得四边形的四边相等，利用等腰三角形的判定方法即可得到为等腰三角形． （2）根据折叠的性质得到四边形是正方形，；，而，得，则为等腰三角形，得到． 【详解】解：（1）同意； 理由如下：连接、，如图， 由第一次折叠可知：为的平分线， ， 由第二次折叠可知：，，， ， ， ∵ ∴≌， ， 是等腰三角形； （2）由折叠知，四边形是正方形，， ． 又由折叠知，， 又， ． 【经典例题六 轴对称中作图问题】 31．（24-25八年级上·四川广安·期末）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 32．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，某小区要在道路，之间的区域内修建一座凉亭，按照设计要求，凉亭到区域内的两个娱乐区，的距离相等，且到两条道路，的距离也相等，请在图中标出凉亭的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是利用尺规作角的平分线，作线段的垂直平分线，理解题意，再确定作图目的是解题的关键．由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以凉亭在线段的垂直平分线上，再利用尺规作线段的垂直平分线，由角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，所以凉亭在两条公路夹角的角平分线上，再利用尺规作公路夹角的角平分线，则这两条线的交点即为点，从而可得答案． 【详解】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为，则点就是凉亭的位置． 33．（25-26七年级下·江苏南通·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)10 【分析】（1）根据题意，点A平移到点D位置，平移规律是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可得到平移图形； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据线段平移，网格求图形面积的方法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， （2）解：如图所示，即为所求图形； （3）解：从到，线段扫过的面积为． 34．（24-25八年级上·吉林·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且为锐角三角形； (2)在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的性质、锐角三角形的定义以及网格中的作图能力，解题的关键是熟练运用轴对称图形 “对称轴两侧对应点到对称轴距离相等” 的性质，结合格点特征确定符合条件的顶点位置． （1）在图①中画一个 ，使其是轴对称图形且为锐角三角形． （2）在图2中画一个四边形，使其是轴对称图形． 【详解】（1）解：如图①所示，即为所求（答案不唯一）． （2）如图②所示，四边形即为所求（答案不唯一）． 35．（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据平行线的判定，垂线的定义画出图形即可； （2）利用尺规作直线于点H即可． 【详解】解：（1）如图，直线，直线，直线即为所求，线段的长是点B到直线的距离． 故答案为：； （2）如图，直线即为所求： 36．（2025·江苏淮安·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图 (1)如图1，中，D为边上一点，将点A沿经过点D的直线翻折，E在上，使得A的对应点A'恰好落在边上，作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，D为线段中点，点P在线段上，沿直线翻折后得到的，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查翻折变换，理解题意掌握作图技巧是解题的关键． （1）以点为圆心，为半径画圆，即可找到折痕； （2）根据题目要求以为圆弧化圆即可得到答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径画圆，交于点， 再以点为圆心，为半径画圆，过点D与两个圆弧的交点作射线，与交于点，即可画出图形； （2）解：以为圆心，长为半径画弧，与的交点即为，作，作的平分线交于点即为所求． 37．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)见解析 (2)正确； (3)见解析 【分析】题目主要考查轴对称图形的性质，周长最短问题，线段垂直平分线的性质等，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）连接，利用网格即可确定m； （2）根据轴对称图形的性质及两点之间线段最短即可判断； （3）根据题意作线段AC的垂直平分线交m于点O，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线m即为所求； （2）如图所示，淇淇的作法正确； （3）如图所示：点O即为所求． 38．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的（与，与，与分别为对称点），并写出，，的坐标； (2)点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）的对称点为，直接写出的坐标． 【答案】(1)作图见解析，，，； (2)． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的轴对称变换，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征以及关于垂直于轴的直线对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数），求出对称点坐标，再画出图形． （2）根据关于直线对称的点的坐标特征（纵坐标不变，横坐标到直线的距离相等），计算对称点坐标． 【详解】（1）解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 ∴关于轴对称的点； 关于轴对称的点； 关于轴对称的点． 画出如图所示． （2）解：设的坐标为， ∵点与关于直线对称， ∴， 解得， ∴． 39．（25-26八年级上·广东潮州·期中）作图 (1)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． ①作，使其与关于轴对称． ②在轴上画出点，使的值最小． (2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔与两个城镇的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作角平分线和线段的垂直平分线，轴对称作图，角平分线的判定，线段的垂直平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）①根据轴对称的性质求解即可； ②作点A关于y轴的对称点，首先根据轴对称的性质得到，进而得到，推出当点，P，C三点共线时，有最小值，连接与y轴的交点即为所求点P； （2）作的角平分线，连接，作线段的垂直平分线交的角平分线于点，点即为所求． 【详解】（1）解：①如图，即为所求作的三角形； ②如图，点P即为所求作的点． 连接，根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小，即最小； （2）解：如图，点P即为所求作的点． 40．（24-25八年级上·江苏·月考）作图题： (1)画出图（1）关于直线对称的，再画出关于直线对称的． (2)如图（2），两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，熟练应用线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）利用关于直线对称点的坐标性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质分别得出即可． 【详解】（1）如图所示：即为所求． （2）如图所示：点即为所求． 【经典例题七 中心对称的性质综合应用】 41．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 42．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 43．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 44．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】（1）连接，，其交点就是对称中心； （2）依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；    （2）解：和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 【点睛】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 45．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．    (1)观察图①②中所画的“”形图形，然后各补画一个小正方形，使图①中所得到的图形是轴对称图形，图②中所得到的图形是中心对称图形； (2)补画后，图①②中所得到的图形是不是正方体的展开图？ 【答案】(1)作图见解析 (2)图①左不是正方体的展开图，图①右是正方体的展开图，图②是正方体的展开图． 【分析】（1）根据轴对称及中心对称图形的定义作图即可得到答案； （2）由正方体的平面展开图验证即可判断． 【详解】（1）解：如图所示（所画轴对称图形不唯一）： 图①是轴对称图形，图②是中心对称图形； （2）解：由（1）中图形可知，图①左不是正方体的展开图，图①右是正方体的展开图，图②是正方体的展开图． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的定义、正方体的平面展开图等知识，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解决问题的关键． 46．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长； （3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形． 【详解】（1）如图，点O为所作： （2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4， ∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴OA=OD，OC=OF， ∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 47．（24-25八年级下·江西宜春·月考）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 48．（2026九年级·吉林·专题练习）图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图，应用与设计作图．掌握平行四边形、等腰三角形、筝形的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的轴对称性质，结合面积画图即可； （2）可画一个平行四边形即可； （3）利用勾股定理及等腰梯形或筝形的性质画图即可． 【详解】（1）如答图①，即为所求．（答案不唯一） （2）如答图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）如答图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 49．（24-25七年级下·北京海淀·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，点D的坐标为． (1)与关于点D中心对称，其中点A与点对应，点B与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； (2)若点是内部任意一点，请直接写出这个点关于点D中心对称的对应点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查作图-旋转变换： （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）设，利用中点坐标公式求解． 【详解】（1）如图，即为所求，点； （2）设， 又， 则有，， ∴， ∴． 50．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的变换章末50道压轴题型专训（7大题型） 题型一 轴对称中的光线反射问题 题型二 根据平移性质求周长与面积问题 题型三 根据旋转的性质求解综合应用 题型四 旋转中的角度问题 题型五 轴对称折叠问题 题型六 轴对称中作图问题 题型七 中心对称的性质综合应用 【经典例题一 轴对中心对称的性质综合应用反射问题】 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·课后作业）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 3．（25-26七年级下·江苏泰州·课后作业）如图，古诗描述了一位将军在观望烽火之后，从山脚A处出发，到河边饮马，再回到宿营地B处的活动过程．那么怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 4．（24-25七年级下·江苏南通·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 5．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）学科融合：物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图1）．在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线的两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 问题解决： （1）如图2，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，已知入射光线与平面镜的夹角，那么入射光线经过两次反射后，两反射光线形成的夹角， ； （2）如图3，当两个平面镜，的夹角是多少度时，可以使任何射到平面镜上的入射光线，经过平面镜，两次反射后，得到．请说明理由； 尝试探究： （3）人们发现了一种曲面的反射光罩，使汽车灯泡在点O处发出的光线反射后都能平行射出，在如图4所示的截面内，已知入射光线的反射光线为，．若一入射光线（点D是入射光线与反射光罩的交点）经反射光罩后沿射出，且，请求出的度数． 6．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【经典例题二 根据平移性质求周长与面积问题】 7．（25-26七年级下·江苏常州·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 8．（25-26七年级下·吉林·月考）将三角形沿边向右平移得到三角形，如图． (1)若，则______度； (2)若三角形的周长为10，，求四边形的周长． 9．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）小红的爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落为东西长，南北宽为的长方形，为了行走方便，要修筑三条道路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向道路垂直于东西方向道路（如图a），余下的部分要种上西红柿，设道路的宽为，爸爸打算让小红算一下，用于种菜的面积是多少？小红经过分析后，考虑可以直接求出用于种菜部分的面积，若从平移的角度看，只需把道路均平移到边上去（如图b）不难发现图b中的空白的面积． (1)请你帮小红求出空白部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求种菜的面积． 10．（2025七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 11．（24-25七年级下·河北唐山·期末）动手操作： （1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接． ①线段平移的距离是___________； ②四边形的面积是___________； （2）如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到． ③画出平移后的； ④连接，多边形的面积是___________ 拓展延伸：（3）如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是___________． 12．（2026八年级下·广东深圳·专题练习）数学学习中，我们常常对一些非常规问题束手无策，因为习惯了常规地想问题，不会变通，如果用运动的眼光来观察，你可能会有不一样的发现． (1)如图1，在中；，垂直于，厘米，厘米．求涂色的面积．把点沿着向上运动，当运动到点时，形成（如图2），图2中和图1中等底（）等高（），面积相等，图2中涂色的面积图1中涂色的面积______． (2)如图3，一个长方形被分成四个小长方形，其中两个涂色长方形的周长分别是14厘米和8厘米，求原来长方形的周长．把线段向右平移至，向左平移至，向上平移至，向下平移至．原来长方形的周长就等于两个涂色长方形周长的总和，从而巧妙解题，长方形的周长是______厘米． (3)如图4，大正方形的边长是14厘米，梯形的面积是90平方厘米，涂色正方形的面积是______平方厘米．（在图4的右侧画出示意图．） 【经典例题三 根据旋转的性质求解综合应用】 13．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知中，，将沿着射线方向平移得到，其中点A、点B、点C的对应点分别是点D、点E、点F，且． (1)如图①，如果，，那么平移的距离等于______；（请直接写出答案） (2)如图②，将绕着点逆时针旋转得到，连接，如果，，求的面积； (3)如图③，在（2）题的条件下，分别以，为边向外作正方形，正方形的面积分别记为，，且满足，如果平移的距离等于，求出的面积． 14．（24-25七年级上·上海·期末）如图（1），已知中，，BC＝a，AC＝b，将绕点A逆时针旋转90°得到． (1)联结，请直接写出是 三角形，并求出的面积．（用含字母a、b的代数式表示） (2)将向左平移，使点与点A重合，点落在AC边上，标记为，A点平移后的对应点标记为，请在图（2）中画出平移后的图形，联结、．如果AB＝3，求四边形的面积． 15．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知正方形ABCD，点M是线段CB延长线上一点，联结AM，AB＝a，BM＝b． (1)将线段AM沿着射线AD方向平移，使得点A与点D重合． 用代数式表示线段AM扫过平面部分的面积 ．（直接写出答案） (2)将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，联结MN． 用代数式表示三角形CMN的面积 ．（直接写出答案） (3)将三角形ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外）．请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角． 16．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 17．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，为直线上一点，将一副直角三角板按如图所示放置（其中，），将三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转一周． (1)如图2，经过3秒； ①此时，__________． ②此时是否平分？请说明理由： (2)若在三角板转动的同时，三角板也绕点每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3．那么经过多长时间直线平分？请说明理由． 18．（25-26七年级上·上海·月考）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，请在答题纸中的图2上画出示意图，并直接写出的度数； (3)在长方形中，，在（1）（2）的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接、、、，面积为，面积为，请求出此时长方形的面积． 【经典例题四 旋转中的角度问题】 19．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）如图，在中，，按逆时针方向旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中点． (1)指出旋转中心，并求出旋转的度数； (2)求出的度数和的长． 20．（24-25七年级下·江苏常州·课后作业）如下图，将绕点O顺时针旋转得到，E，F分别是，的中点． (1)在这个旋转过程中，旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2)与的长有什么关系？与呢？ (3)与的度数大小有什么关系？ 21．（24-25七年级下·甘肃庆阳·月考）如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． (1)的度数； (2)如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； (3)如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 22．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）将一副三角板如图①放置，点B、A、E在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE，点A为垂足，∠BCA＝30°，∠AED＝45°．    （1）如图①，∠ADE的度数为         ，∠ABC的度数为         ； （2）若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）． ①如图②，当旋转角α等于45°时，试问DE∥BA吗？请说明理由； ②如图③，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角α的度数． 23．（24-25七年级下·江苏常州·期末）将一副直角三角板和如图（1）放置，此时四点在同一条直线上，点A在边上，其中，，．    (1)求的度数； (2)将图（1）中的三角板绕点A以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为t秒． ①当旋转至图（2）时，此时，求a的值； ②若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，直接写出t的值． 24．（2025七年级下·江苏常州·专题练习）综合与实践： 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特殊度数的角，如、的角等．七年级（1）班数学学习小组又进行了如下实践操作： 【操作发现1】“探索组”用一副三角尺进行拼角．所拼的两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作出的平分线和的平分线．如图①，把和的角拼在一起，如图②，把和的角拼在一起．则图①中的的度数为_______，图②中的的度数为_____； 【操作发现2】“智慧组”把图①中的三角尺绕点顺时针旋转到图③的位置，使，，三点在同一条直线上，并求出了的度数为． 【操作发现3】“挑战组”把图②中的三角尺绕点顺时针旋转到图④的位置，使，，三点在同一条直线上．请你仿照“智慧组”的做法，求出图④中的度数； 【归纳概括】①当有公共顶点的两个角和有一条边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是______（用含，的代数式表示）； ②当有公共顶点的两个角和其中有一条边重合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是______（用含，的代数式表示）． 【经典例题五 轴对称折叠问题】 25．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，四边形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点． (1)请用尺规作图法作出折痕，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，试说明，，三点共线． 26．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 27．（25-26七年级下·江苏常州·单元测试）按图所示的方法折纸，然后回答下列问题： (1)与垂直吗？为什么？ (2)与有何关系？ (3)与，与分别有何关系？ 28．（25-26七年级下·江苏常州·单元测试）（1）如图，已知．若，求的度数． （2）有一张四边形纸片，其中．把纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上的点处，是折痕．求证：． 29．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）综合与实践． 【课本回顾】如图①是七年级上册课本第175页的探究，将纸片折叠使与重合，是折痕上一点，此时与重合，所以，再将纸片铺平，可知射线是的平分线． 【问题情境】将一张长方形纸片折叠，为折痕，点落在点处，平分． 【综合应用】 (1)如图②，若与重合，求的度数； (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，请直接写出的度数（用含的代数式） 30．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）（1）观察与发现：小明将三角形纸片沿过点A的直线折叠，使得落在边上，折痕为，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为，展平纸片后得到（如图②），小明认为是等腰三角形，你同意吗？请说明理由． （2）实践与运用：将长方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图④）；再展平纸片（如图⑤），求图⑤中的大小． 【经典例题六 轴对称中作图问题】 31．（24-25八年级上·四川广安·期末）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 32．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，某小区要在道路，之间的区域内修建一座凉亭，按照设计要求，凉亭到区域内的两个娱乐区，的距离相等，且到两条道路，的距离也相等，请在图中标出凉亭的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 33．（25-26七年级下·江苏南通·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 34．（24-25八年级上·吉林·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且为锐角三角形； (2)在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形． 35．（25-26七年级上·江苏南京·期末）（1）如图1，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．用无刻度直尺完成下列作图：①过点C画的平行线；②过点A画的垂线，垂足为G；③过点A画的垂线，交于点H；则线段________的长度是点B到直线的距离． （2）如图2，已知，垂足为点A，内部有一条射线，用无刻度的直尺和圆规作图：作出射线，使得．（保留作图痕迹） 36．（2025·江苏淮安·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图 (1)如图1，中，D为边上一点，将点A沿经过点D的直线翻折，E在上，使得A的对应点A'恰好落在边上，作出折痕；（不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，D为线段中点，点P在线段上，沿直线翻折后得到的，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹） 37．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，和的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点（小正方形的顶点）上，且和关于直线成轴对称． (1)用直尺作出对称轴； (2)要在直线上找到一点，使的周长最小，淇淇的作法是直接连接，与直线的交点为点，淇淇的作法_____________；（填“正确”或“不正确”） (3)用尺规在直线上找一点，使．（保留作图痕迹，不要求写作法） 38．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中画出关于轴对称的（与，与，与分别为对称点），并写出，，的坐标； (2)点关于直线（直线上各点的横坐标都为1）的对称点为，直接写出的坐标． 39．（25-26八年级上·广东潮州·期中）作图 (1)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，点的坐标为． ①作，使其与关于轴对称． ②在轴上画出点，使的值最小． (2)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔与两个城镇的距离相等，到两条高速公路和的距离也相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 40．（24-25八年级上·江苏·月考）作图题： (1)画出图（1）关于直线对称的，再画出关于直线对称的． (2)如图（2），两条公路和相交于点，在的内部有工厂和，现要修建一个货站，使货站到两条公路、的距离相等，且到两工厂、的距离相等，用尺规作出货站的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论） 【经典例题七 中心对称的性质综合应用】 41．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    42．（25-26七年级下·安徽淮南·期中）【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 43．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 44．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，和关于点成中心对称．    (1)找出它们的对称中心； (2)若，求的周长； 45．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1．    (1)观察图①②中所画的“”形图形，然后各补画一个小正方形，使图①中所得到的图形是轴对称图形，图②中所得到的图形是中心对称图形； (2)补画后，图①②中所得到的图形是不是正方体的展开图？ 46．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 47．（24-25八年级下·江西宜春·月考）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 48．（2026九年级·吉林·专题练习）图①②③均为正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并且所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中画一个，使其是轴对称图形，且面积为1.5； (2)在图②中画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； (3)在图③中画一个四边形，使其是轴对称图形但不是中心对称图形，且四条边长均为无理数． 49．（24-25七年级下·北京海淀·月考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，，点D的坐标为． (1)与关于点D中心对称，其中点A与点对应，点B与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； (2)若点是内部任意一点，请直接写出这个点关于点D中心对称的对应点的坐标． 50．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $