专题03 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训（2个知识点+14大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

本讲义聚焦二元一次方程组解决实际问题这一核心知识点，前承方程组解法，系统梳理和差倍分、工程、行程等常见应用类型，明确审题、设元、列方程组等解题步骤，构建从理论到实践的完整学习支架。 该资料以14大题型分层设计为亮点，涵盖几何图形、古代问题等真实情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过例题与即时训练结合，培养运算能力与推理意识，拓展训练和自我检测助力课后巩固，有效提升应用意识与解题能力。

专题03 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 三元一次方程组的应用 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 二元一次方程组的综合应用 知识点一：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏·月考）小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元，设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么、所适合的一个方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据共有8张贺卡可得方程，根据一共花费10元可得方程，据此建立方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的对边相等，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：依题意，得： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 知识点二：二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川德阳·期中）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，则每个果冻的质量为（）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组，理解题图列出方程或方程组是解决本题的关键． 设每块巧克力的质量为，每个果冻的质量为，先列出方程组，再求出的值． 【详解】解：设每块巧克力的质量为，每个果冻的质量为， 由题意，得． 解这个方程组，得． 所以每个果冻． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】对换法进行列举，即可进行解题． 【详解】解：换法有：2张5元；1张5元，5张1元；10张1元． 共三种换法， 故选：C． 【点睛】本题主要是对换法进行列举，注意做到不重不漏． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有个人，共分两银子，根据题意列出方程组即可，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． 【详解】解：设有个人，共分两银子， 根据题意得：， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·山西·月考）某工厂去年的总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元，已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求去年计划的总产值和总支出各是多少万元？解：设去年计划的总产值、总支出分别是x万元、y万元，根据题意，可列方程组___________． 【答案】 【分析】设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元．根据“去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元”列方程组． 【详解】解：设去年计划的总产值是x万元，总支出y万元．根据题意，得 ， 故答案为：． 【点睛】考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程． 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】(1)辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实际应用是解题的关键． （1）根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． （2）解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话： 小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元． 奶奶：你肯定搞错了． 小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了． 奶奶：这就对了． 根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤． 【答案】小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.设小亮买了牛肉x斤，鸡蛋y斤,根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可. 【详解】设小亮买了牛肉斤，鸡蛋斤， 由题意得:, 解得:, 答:小亮买了牛肉2斤,鸡蛋4斤. 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5；1 (2) (3)答对了道题 (4)不可能，见解析 【分析】（1）设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得：，进行计算即可得； （2）若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得：； （3）根据（2）中的所得y与x的关系式，将代入计算即可得； （4）令，即，进行计算即可得． 【详解】（1）解：设答对一题得分，答错一题扣分，根据题意得： ， 解得：， 即答对一题得分，答错一题得分， 故答案为：；； （2）解：若答对道题，得分为分，则答错道题，依题意得： ； （3）解：依题意得： ， 解得：， 即他答对了道题； （4）不可能，理由如下： 解：依题意，得： ， 解得：， 不为整数， 参赛者马小虎不可能得0分． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找出等量关系列出方程． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【例2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________． 【答案】 【分析】先根据例子和图（2）列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由图1可得，第一列为x的系数、第二列为y的系数，第三列和第四列为方程右边的常数，且前两列一竖表示1，第三列一横表示10，第四列一竖表示1，一横表示5 则根据图2可得：． 故填． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，审清题意、明确图1各符号的含义成为解答本题的关键． 1．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 【答案】一个长方形纸片的长是3，宽是1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据点的坐标及长方形边长关系列出方程组求解长和宽． 设长方形的长为、宽为，根据点B的坐标和图形中边长关系，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设长方形纸片的长是，宽是， 根据题意，得解得 答：一个长方形纸片的长是3，宽是1． 2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【经典例题三 方案问题】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 【答案】A 【分析】先根据竹竿总长度列出等式，再结合两种规格均有的要求，得到a、b均为正整数，据此列举出a的所有可能值，统计个数即可． 【详解】解：设长的竹段有根，根据题意得： ， ∴， ∵两种规格均要有， ∴，均为正整数， ∴，，，， ∴a的值可能有种． 【例2】（2025·北京大兴·一模）某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为______，______． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 【答案】 60 30 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由两次门票费用，列出方程组，可求解． 【详解】解：∵1170不能整除16， ∴两个部门的人数， 又1560不能整除16， ∴每个部门的人数不可能同时在之间， 由于，所以，当，则有： 解得， 故答案为：60，30． 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 【答案】(1)每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨 (2)最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设满载时1辆A型货车一次可以运x吨柑橘，1辆B型货车一次可以运y吨柑橘，根据“用1辆A型车和1辆B型车一次可运柑橘5t；用4辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘18t”列出二元一次方程组，解方程即可得解； （2）设租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，根据柑橘24吨，结合（1）的结论，列出二元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得： ， 解得：， 答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨． （2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得： ， ∴ 均为正整数， ， 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； 当时，总费用：（元）； ∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元． 2．（25-26八年级上·全国·期末）列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买个篮球、个足球共花费元 ②买个篮球比购买个足球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 (1)请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案． 【答案】(1)篮球单价为元，足球单价为元 (2)方案为：购买个篮球，个足球 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，以及实际问题中的整数解分析．根据题目问题和给出条件设出未知数并解方程，并根据题意找到整数解，是解题的关键． （1）从三个条件中选两个，通过设未知数 (篮球单价元，足球单价元) ，把条件转化为二元一次方程组，再解方程组得到单价． （2）根据花费总价得出关于篮球和足球个数的二元一次方程，结合“每种球类至少个”的实际要求，找出方程的正整数解，得到购买方案． 【详解】（1）解：设篮球单价为元，足球单价为元， 根据①、②可列方程：， 解得：， ∴篮球单价为元，足球单价为元； （2）解：设购买个篮球，个足球， 由题意可得：， 即：， ∵，均为正整数， ∴， 答：方案为：购买个篮球，个足球． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元；（2）应该租用7辆60座客车才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与一元一次方程的应用，解题的关键是根据租金关系和人数相等关系列出方程（组），再通过计算不同方案的总费用进行比较决策． （1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再分别计算租用两种客车的总费用，比较后确定合算方案． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：，解得： 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元． （2）解：由题意得： 解得： 所以七年级共人， 若全部租用45座客车，需要9辆车，则总费用为：元． 若全部租用60座客车，需要：辆车，则总费用为：元. ， 所以，应该租用7辆60座客车才合算． 【经典例题四 行程问题】 【例1】（24-25八年级上·广西河池·期中）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从甲地走到乙地需要分钟，从乙地走到甲地需要分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，根据时间=路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组即可． 【详解】解：设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为， 根据题意得，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地______千米． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完，根据题意得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解，理清题中的数量关系，正确列出方程组是解题的关键. 【详解】解：设甲行驶到地时返回，到达地燃料用完，乙行驶到地再返回地时燃料用完， 如图，设，， 根据题意得，， 解得， ∴最远为千米， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度． 【答案】甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，等量关系式：甲4小时形式的路程乙4小时形式的路程千米，甲6小时后所余路程乙6小时后所余路程，据此列方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时，由题意得： ， 解得：， 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【答案】(1)水流速度是每小时5千米； (2)救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； (3)救生圈于上午12时掉入水中． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为，可进行求解； （2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为，然后根据行船问题可进行求解； （3）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 3．（24-25七年级下·福建泉州·月考）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【答案】(1)相差19分钟 (2)小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟 【分析】本题考查二元一次方程（组）的实际应用，理解题意，正确列出方程（组）是解答的关键． （1）设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟，根据“两人付给滴滴快车的乘车费相同”列方程求解即可； （2）根据题意小张乘车时间短，然后根据“他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟” 列方程组求解即可． 【详解】（1）解：设小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为x分钟和y分钟， 根据题意，得， 解得， ∵两人实际乘坐滴滴快车的时间即为这两辆滴滴快车的实际行车时间， ∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟； （2）解：由知小张乘车时间短， 根据题意，，解得， 答：小王与小张实际乘坐滴滴快车的时间分别为30分钟和11分钟． 【经典例题五 工程问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆北碚·月考）甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲工程队每天比乙工程队多施工3米，可得方程，根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得，选择符合题意的选项即可． 【详解】解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据根据甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程，可得， 可列方程组， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，明确题意，列出相应的方程组是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·重庆·月考）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【答案】17 【分析】先设A地需要植树棵，B地需要植树棵，根据题意可建立方程，化简可得，再设乙应在A地植树小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程，求 即可得出答案． 【详解】设A地需要植树棵，B地需要植树棵，由题可得： ， ， 设乙应在A地植树小时后立即转到B地，由题可得： ， 化简得：， 解得：． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出等量关系式进行求解． 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【答案】甲班需8天，乙班需12天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲每小时完成x，乙每小时完成y；根据题意列出二元一次方程组，求出两班单独完成的工作效率，即可求出单独完成的时间． 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【答案】(1)是 (2)② (3)一箱零件数是28个，该工人每小时能生产的零件数是8个 【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，正确理解所列方程的意义是解题的关键． （1）根据所列方程分别得到小明和小亮所列方程中x的意义即可得到答案； （2）根据小亮所列方程的意义求解即可； （3）利用解二元一次方程组的方法求解即可． 【详解】（1）解：由小明所列方程的意义可知，小明方程中x表示的是这一箱零件的个数， 而由小亮所列方程的意义可知，小亮方程中的x表示的是这一箱零件的个数， ∴以上两个方程（组）中x意义相同， 故答案为：是； （2）解：根据小亮所列方程的意义可知小亮的方程所用等量关系为4个小时生产的零件数相等， 故答案为：②； （3）解：设一箱零件数是个，该工人每小时能生产的零件数是个， 根据题意得，， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是28个、8个． 【经典例题六 数字问题】 【例1】（24-25八年级上·重庆南岸·月考）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为y,由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 则解得 这首歌的歌词的字数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在3×3的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则的值为________． 【答案】0 【分析】根据“各行各列及对角线上的三个数之和都相等”可列出相应的一元一次方程式组，解出x和y的值，进而求出m的值． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ， 各行各列及对角线上的三个数之和为：4×1﹣3+2＝3， 2+y+m＝3， 即2+1+m＝3， 解得m＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，读懂题意，找出等量关系，并据此列出方程组是解题的关键． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数． 【答案】这个三位数为439． 【分析】设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y,根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，列方程组求解． 【详解】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y， 由题意得，， 解得：， 则这个三位数为439． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5 (2)第一次他们拼成的两位数为45 (3)第二次拼成的两位数是54 【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． （3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是， 所以第二次拼成的两位数是54． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）学校将20××年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346．张山同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5×5的正方形风格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0． 我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij，（其中，i、j＝1，2，3，4，5），规定Ai＝16ai1＋8ai2＋4ai3＋2ai4＋ai5． （1）若A1表示入学年份，A2表示所在年级，A3表示所在班级，A4表示编号的十位数字，A5表示编号的个位数字． ①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号； ②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案； （2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示入学年份加8，A2表示所在年级的数减6再加上所在班级的数，A3表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，将编号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A4表示、个位数字用A5表示．例如：2018年9年级5班的39号同学，其加密后的身份识别图案中，A1＝18＋8＝26，A2＝9－6＋5＝8，A3＝9×2－3－5＝10，93＋2＝95，所以A4＝9，A5＝5，所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3所示．图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号． 【答案】（1）①20070618；②见解析；（2）16080413 【分析】（1）根据题意，分别求出A1，A2，A3，A4，A5，即可得到答案； （2）根据题意，分别求出A1，A2，A3，A4，A5，即可得到答案； （3）由图4知，A1＝16＋8＝24，由加密规则得24－8＝16，A2＝4＋2＝6，A3＝8＋1＝9，由此得到李思在8年级4班，再求出A4，A5，即可得到答案． 【详解】解：（1）①在图1中， A1＝16×1＋8×0＋4×1＋2×0＋0＝20， A2＝16×0＋8×0＋4×1＋2×1＋1＝7， A3＝16×0＋8×0＋4×1＋2×1＋0＝6， A4＝1， A5＝16×0＋8×1＋4×0＋2×0＋0＝8， 故答案为：20070618； ②如图所示． 2018年入学的9年级5班的39号，其中： A1＝18＝16＋0＋0＋2＋0， A2＝09＝8＋1 A3＝05＝4＋1， A4＝3， A5＝9＝8＋1． （2）设李思同学在x年级y班． 由图4知，A1＝16＋8＝24，由加密规则得24－8＝16， 因此，李思是2016年入学的． A2＝4＋2＝6， A3＝8＋1＝9． 由加密规则，得：， 解得x＝8，y＝4，所以，李思在8年级4班． A4＝2＋1＝3， A5＝2＋1＝3，33－2＝31， 根据加密规则，原编号的末两位数为13． 综上，李思同学的编号是16080413． 【点睛】本题主要考查了实数与图形，解二元一次方程组，截图的关键在于能够准确读懂题意． 【经典例题七 年龄问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是_____岁． 【答案】18 【分析】设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁，根据“今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲今年的年龄是x岁，乙今年的年龄是y岁， 依题意，得：， 解得：． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 1．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 【答案】老师今年24岁，学生今年12岁． 【分析】设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y，不论怎么样变化年龄差是不会变的，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是x，学生现在的年龄是y， 解得：， 答：老师现在的年龄是24，学生现在的年龄是12． 【点睛】本题二元一次方程组的应用，考查学生的理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 【经典例题八 分配问题】 【例1】（24-25七年级下·四川广安·期末）某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，根据“仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人”，即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件， 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 _______． 【答案】 【分析】根据车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），即可列出二元一次方程组． 【详解】解：设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓， 依题意，得． 故答案是：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键． 1．（2025·山东威海·模拟预测）疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】（1）设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人，根据“租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人”，列方程组求解即可； （2）设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0），根据总人数可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 【答案】(1)；； (2)甲公司有人游览，乙公司有人游览． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键． （1）根据表格信息，利用费用人数票价求解即可； （2）设甲公司有人游览，则乙公司有人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可． 【详解】（1）解：若甲公司有人游览，则共付门票费：（元）， ， 乙公司人数超过人， 则乙公司游览人数为：（人）， 故答案为：；； （2）解：设甲公司有人游览，则乙公司有人游览， 若时， 根据题意，得， 解得，； 若时， 根据题意，得， 解得，， 甲公司不超过人， 此情况不符合题意，舍去； 答：甲公司有人游览，乙公司有人游览． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【答案】(1)， (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑 (3)方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和方程组，是解题的关键： （1）根据题意，直接列出代数式即可； （2）根据一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩，列出方程组进行求解即可； （3）根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：由题意，2台大型采摘设备每小时采摘沃柑亩，3台小型采摘设备每小时采摘沃柑亩； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：，解得：； 答：大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘8亩和4亩沃柑． （3）解：由题意，得：， ∴， ∵均为正整数， ∴，，； 故共有3种租赁方案： 方案一：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案二：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台； 方案三：租用大型采摘设备台，小型采摘设备台． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例1】（24-25七年级下·天津河西·期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进一步计算即可得到答案． 【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元， ∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元， ∴， 解得， ∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元， ∵（元）， ∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元； 故选：C． 【例2】（2025·重庆大渡口·模拟预测）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_____________． 【答案】/ 【分析】设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为，根据题意列出等式得出，即可求解． 【详解】解：设预算购买香樟量为，单价为；红枫量为，单价为， 由题意得：， 整理得：， ， 实际购买香樟的总费用为，实际购买红枫的总费用为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元 (2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个 【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，由题中等量关系列二元一次方程组求解即可； （2）设需要的空瓶个，的空瓶个，列二元一次方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元， 依题意得， 解得， 答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元； （2）解：设需要的空瓶个，的空瓶个， 依题意得， ， 均为非负整数， 则， 解得，即或或， 或或， 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； 当时，总损耗为； ， 分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个． 2．（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【答案】(1)购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 (2)①坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒；②妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用． （1）根据题意列出算式，即可求解． （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元．分，，三种情况分类讨论，分别根据优惠政策，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒的费用为：（元） 超过700元，不超过1200元 ∴（元） 答：购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，优惠后应支付的费用为元 （2）①设购买坚果礼盒盒，糖果礼盒盒，根据题意得： ， 解得， 答：坚果礼盒2盒，糖果礼盒2盒， ②设妈妈购买礼盒总费用（未优惠）为元，支付了元， 由于总费用超过1200元，小李一个人购买可享8折优惠，节省204元， 说明合并后享受8折优惠（9折最多节省元，不足204元）， ， 当时，，解得：， 而，不符合题意； 当时，， 即， 解得：元， 妈妈支付元， 当时，无解； 答：妈妈单独购买礼盒时支付的费用为元 【经典例题十 和差倍分问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【答案】B 【解析】略 【例2】（24-25八年级上·重庆·月考）我校初二年级在半期考试过后进行了半期考试的总结表彰活动．为提高学生学习积极性，初二11班购买了部分学习用具作为奖品．在买之前发现上一次表彰剩余有错题本，三角板，圆规三种奖品，其中圆规的数量为三种奖品总数量的，根据需要表彰的人数再购进错题本，三角板，圆规的数量之比为，则购进后错题本的总数量为购进后三种奖品总数量的，三角板的新购数量与购进后三种奖品总数量之比为，则购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为______． 【答案】 【分析】设上一次表彰剩余总数为x，则剩余圆规数为，然后设再购进的错题本，三角板，圆规数为，根据题意表示出购进后三角板的总数量和购进后圆规的总数量，进而求解即可． 【详解】解：设上一次表彰剩余总数为x，则剩余圆规数为， 设再购进的错题本，三角板，圆规数为， ∴购进后错题本，三角板，圆规总数为， ∴购进后错题本的总数量为，三角板的新购进数量为， ∴， ∴， ∴购进后圆规总数为， ∴购进后三角板的总数为， ∴购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 1．（2026·陕西西安·三模）某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 【答案】1个A部件的质量为，1个B部件的质量为 【分析】设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据“1个A部件和3个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”建立二元一次方程组求解 【详解】解：设1个A部件的质量是，1个B部件的质量是，根据题意得： ， ∴， 答：1个A部件的质量为，1个B部件的质量为． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用代数式表示，一元一次方程的应用，二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于根据题意找出等量关系． （1）利用代数式表示出生产螺母的工人，再根据螺栓与螺母配套的数量关系“螺母数量螺栓”列出方程即可； （2）设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，根据车间工人总数，以及螺栓与螺母配套的数量关系建立二元一次方程组求解，即可解题． 【详解】（1）解：若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为名， 由题意可列出方程； 故答案为：，． （2）解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意得， 解得， 答：分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母． 3．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【答案】参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【分析】本题主要考查根据题意列二元一次方程解应用题的问题，解答本题的关键是根据题意得到题中的等量关系要解答此题． 首先应该理清题意，读懂题干，再根据题中所给信息进行解答即可得出答案．此题属于简单题，解答时需要细心． 【详解】解：由题意，得， 解得． 答：参加球类项目的学生有18人，参加艺术类项目的学生有14人 【经典例题十一 几何问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，用四个完全相同且长、宽分别为，的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．已知，，则下列关系式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 根据拼图得出，，进而求出，，再代入分别计算，，的值即可． 【详解】解：由拼图可知，，， ，， ，，， 因此选项D符合题意． 故选：D． 【例2】（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的边长为，根据图形列出方程组即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 由图形可得，， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在拼图时，小聪发现个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的大长方形；小明发现这个大小一样的长方形还可以拼成如下图中间为边长是小正方形小洞的大正方形．请求出这些大小一样的长方形的长和宽． 【答案】这些长方形的长和宽分别为和． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这些长方形的长和宽分别为和，依题意得，然后解方程组并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设这些长方形的长和宽分别为和， 依题意得， 解得，且符合题意， 答：这些长方形的长和宽分别为和． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，长方形的长为，宽为，将原长方形的长和宽各增加3，得到的新长方形的面积记为；将原长方形的长和宽各减少1，得到的新长方形的面积记为． (1)若，求原长方形的周长； (2)当时，求将原长方形的长和宽各增加7后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和三个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，则________，________． 【答案】(1)9 (2) (3)3，2 【分析】（1）由长方形面积公式，结合原长方形长宽变化代值求解即可得到答案； （2）由，结合（1）中，得到，再得到将原长方形的长和宽各增加 7后得到的新长方形的面积表达式，代值求解即可得到答案； （3）由题意，根据新长方形的边长，分两种情况拼接，如图所示，由正方形边长关系列方程组求解，再由判定即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∵， ∴， 化简，得， ∴原长方形的周长为； （2）解：∵， ∴， 化简得， ∴原长方形的长和宽各增加7后得到的新长方形的面积； （3）解：分两种情况讨论，如图 或 ∴或， 解得或， ∵， ∴， 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查整式的实际应用，涉及列代数式、整式混合运算、代数式化简求值、列方程组解决问题等知识，读懂题意，准确列出代数式、等式及方程组求解是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)3，1 (2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器 (3)共有2种方案可供选择，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论； （2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片， ． 故答案为：3，1； （2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器， 根据题意得：， 解得： 答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器； （3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器， 根据题意得：， ， 又m，n均为正整数， 或， ∴共有2种方案可供选择， 方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器． 【经典例题十二 图表信息题】 【例1】 （24-25六年级上·山东淄博·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．6 【答案】D 【分析】由，得出，设第一列最后一个数是，由，得，再由第一列三个数的和等于第二行三个数的和，可列方程，解方程求出的值即可． 【详解】∵ ∴ 设第一列最后一个数是，则， 解得：， ∵由第一列三个数的和等于第二行三个数的和， ∴， 解得：， ∴图中字母m表示的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，用含有m的代数式表示出表中的某些数是解题的关键． 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1~9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中的值为_______． 7 6 1 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准正确的等量关系，列出二元一次方程组． 利用九宫格的规则列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可得 解得 故答案为：8． 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)一共有3种填法；填写见解析 【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可； （3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得：， 解得：； （3）解：根据题意得：， 即， ∵m，n为正整数， ∴，，， ∴共有3种填法；    【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组． 【经典例题十三 古代问题】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？”其意思是：“今有2人坐一辆车，则有9人需要步行；3人坐一辆车，则有2辆车是空的．问：人与车各多少？”小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．设共有辆车，人，由根据题意“2人坐一辆车，则有9人需要步行；3人坐一辆车，则有2辆车是空的”列方程组解答即可． 【详解】设共有辆车，人，列方程组为， 故答案为：A． 【例2】（2025·湖北黄冈·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？ 答：（1）绳长______尺；（2）木长______尺． 【答案】 11 6.5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设绳子长尺，木长尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设绳子长尺，木长尺， 根据题意得：， 解得， 故答案为：11，6.5． 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 【答案】大和尚有人，小和尚有人 【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键； 根据题中的数量关系等式，找出对应量，列方程组解答即可． 【详解】（方法一） 解：设大和尚有人，小和尚有人， 根据题意得：， 解这个方程组，得． 答：大和尚有人，小和尚有人． （方法二）设大和尚有人， 根据题意得： 解得； ； 答：大和尚有人，小和尚有人； 2．（24-25七年级下·广西贺州·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 【答案】大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系． 设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 根据题意得： 解得： 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【答案】(1)①，；② (2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 (3)①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合、均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合公鸡数量是母鸡数量的3倍，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于、的二元一次方程，结合、均为整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：①要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， 买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）解：设公鸡有只，母鸡有只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． （3）解：根据题意得：， 化简得：， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，舍去． 故除了问题（2）中的解之外，以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 【答案】A 【分析】本题考查列三元一次不定方程解古代数学问题的运用，不定方程组的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键． 设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意得， ， 整理得： ， ，，且都是自然数， ， ，是7的倍数， ，7，14，21， ，18，11，4； 共有4种情况： ①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只； ②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只； ③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只； ④公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只． ∴小鸡的只数可能是78， 故选：A． 【例2】（2025·江苏南京·模拟预测）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是____． 【答案】16 【分析】本题主要考查三元一次方程组，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据化学方程式左右两边的C，H，O原子的个数相等，可列出关于a，b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， b的值为16． 故答案为：16． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 【答案】上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次组方程组是解题的关键．设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗，根据题意列出三元一次方程组求解即可． 【详解】解：设上等谷每束得实x斗，中等谷每束得实y斗，下等谷每束得实z斗， 依题意，得：， 解得， 答：上等谷每束得实斗，中等谷每束得实斗，下等谷每束得实斗． 2．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 【答案】(1)；； (2)3 (3)元 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； （3）设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元，根据题意建立三元一次方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由①②得：， 整理得：， 由①②得：， 整理得：， 则． （3）解：设本英语簿元，本数学簿元，本作文本元， 由题意得：， ∴②①得，， ∴． 将代入①整理得，． ∴． ∴． 答：采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元． 3．（24-25七年级下·山东·期中）【阅读材料】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知有理数x，y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如由可得，由，，可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【迁移运用】 （1）已知二元一次方程组，利用整体思想求和； 【解决问题】 （2）某班级组织活动购买小奖品，买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元，则购买1支铅笔，1块橡皮，1本日记本共需多少元？ 【答案】（1），；（2）购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元 【分析】（1）得，再求出即可；得，再求出即可； （2）设铅笔的单价为a元，橡皮的单价为b元，日记本的单价为c元，根据买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元列出方程组，求出即可得出答案． 【详解】解：（1） 得， ∴ 得， ∴； （2）设铅笔的单价为a元，橡皮的单价为b元，日记本的单价为c元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和三元一次方程组的应用，解题的关键是注意整体思想的应用． 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据新运算的定义、两个已知等式的值可得一个关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据新运算的定义即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解新运算的定义是解题关键． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）定义一种运算※如下：，a和b均为常数，已知：，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用； 根据新定义得出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）对于一个三位数，它各个数位的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的两倍，我们就称这个三位数为“互差数”.定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差与十位数字之和记为.例如：715，因为，所以715是一个“互差数”， (1)判断832与421是否为“互差数”，若是“互差数”，请计算出：若不是，请说明理由． (2)若m是一个“互差数”，且，求满足条件的所有m的值． 【答案】(1)832是“互差数”，K=（8-2）+3=9； 421不是“互差数”； (2)满足条件的所有m的值为925；824；723；521． 【分析】（1）根据“互差数”的定义可求解； （2）设个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c，根据“互差数”的定义列方程及K（m）=6，列方程组，解方程组结可求解b值，即可得c-a=4，再分类求得m值． 【详解】（1）解：∵8-2=3×2， ∴832是“互差数”，K=（8-2）+3=9； ∵4-1≠2×2， ∴421不是“互差数”； （2）设个位数字为a，十位数字为b，百位数字是c， 根据题意得，， 解得b=2， ∴c-a=4， 当c=9时，a=5，此时m的值为925； 当c=8时，a=4，此时m的值为824； 当c=7时，a=3，此时m的值为723； 当c=5时，a=1，此时m的值为521； 当c=6时，a=2，因b=2，“互差数”各个数位的数字互不相等，所以622不是“互差数”； 当c=4时，a=0，因为“互差数”各个数位的数字均不为0，所以420不是“互差数”， 综上可知：满足条件的所有m的值为925；824；723；521． 【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的混合运算，三元一次方程组的应用，理解“互差数”的意义是解题的关键． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）分别①②，①②即可求出； （2）设一张过江船票为元，一张观光船票为元，根据题意列出方程组即可得到答案； （3）根据题意列出三元一次方程组，计算即可． 【详解】（1）解：， ①②：， 解得； ①②：， 解得， 故； （2）解：设一张过江船票为元，一张观光船票为元， 依题意得：， 则购买15张过江船票，7张观光船票即为， ，得：， 解得， 故购买15张过江船票，7张观光船票共需元； （3）解：由题意得：①， ②， ， 可得， 解得． 故 3．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【答案】(1)；5 (2)购买这批防疫物资共需6700元 (3) 【分析】（1）直接把两个方程相加或相减，即可求出答案； （2）根据题意，列出方程组，然后利用整体思想代入计算，即可得到答案； （3）根据题意，利用新定义进行计算，然后利用整体的思想即可求出的值． 【详解】（1）解：， 由得：； 由，得， ∴． （2）解：设的消毒液单价为m元，测温枪的单价为n元，防护服的单价为p元， 依题意，得： ， 由可得， ∴． 答：购买这批防疫物资共需6700元． （3）解：依题意，得： ， 由可得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程的方法，以及利用整体的思想进行解题，解题的关键是熟练掌握利用整体思想进行解题． 【拓展训练二 二元一次方程组的综合应用】 【例1】（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 【例2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，图4中的“？”表示，将求得的值代入计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·重庆·月考）我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】(1)1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； (2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【详解】（1）解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 3．（25-26七年级下·河北·单元复习）年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 2 0 永州队 3 岳阳队 4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1) (2)6 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），每个球队比赛场，故共场，但是每次比赛数2遍，所以总场数为场； （2）设永州队胜场，平场，根据永州队比赛了场，得分分，列方程组求解即可； （3）设岳阳队胜场，平场，根据岳阳队比赛了场，得分分，列方程组求解得不是整数，故可求解题目． 【详解】（1）解：湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， 共比赛：（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了场比赛； （2）解：设永州队胜场，平场，根据题意得： 解得， 答：永州队一共胜了6场； （3）解：设岳阳队胜场，平场，根据题意得： 解得， ∵不是整数， 故不可能． A基础训练 1．（2026·安徽阜阳·一模）已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入消元法，用含a的代数式分别表示b和c，再代入各选项验证，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴将代入，得 整理得，即，故B错误， A、，故A正确 C、，故C错误； D、， ∵的取值不确定， ∴不一定大于0， 无法得出，故D错误． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 3．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，现决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅，且生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，根据1张桌子配4把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的4倍可列方程组． 【详解】解：A、根据题意可列方程组为：．故选项A正确，不符合题意； B、方程组 中第二个方程化简为 ，即 ，与正确比例 矛盾，故选项B错误，符合题意； C、方程 由总天数 代入正确方程得到，故选项C正确，不符合题意； D、方程 由总天数 代入正确方程得到，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 4．（2025·河南许昌·一模）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3，平路每小时走4，下坡每小时走5，那么从甲地到乙地需54，从乙地到甲地需42．甲地到乙地全程是多少？ 若设坡路长，平路长，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系：上坡的时间+平路的时间=；下坡的时间+平路的时间=，即可得到方程组，从而可得正确的选项． 【详解】根据等量关系：上坡的时间+平路的时间=，可得方程：；根据等量关系：下坡的时间+平路的时间=，可得方程：，于是得方程组：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，关键是找到两个等量关系，同时注意单位的统一． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小明在学习之余去买文具，打算购买支单价相同的签字笔和本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买支签字笔和本笔记本， 售货员：好的，那你应付元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付元． 若小明买支签字笔和本笔记本应付的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买支签字笔应付元，本笔记本应付元，根据题意可得和，进而求出的值． 【详解】解：设购买支签字笔应付元，本笔记本应付元， 由题意得：，解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． B 提高训练 6．（24-25七年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 【答案】100 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 【答案】租用4辆大巴，2辆中巴 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题．设租用x辆大巴，y辆中巴，根据“租用车辆恰好坐满”列出方程，结合x，y均为非负整数，且得到方程的解，即可解答． 【详解】解：设租用x辆大巴，y辆中巴，根据题意，得 ， 化简得， ∵x，y均为非负整数，且， ∴， ∴租用4辆大巴，2辆中巴． 故答案为：租用4辆大巴，2辆中巴 8．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 【答案】 【分析】根据题意可列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：由已知得：， 得：， ∴． 即x与a的数量关系为． 9．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】令小长方形的长、宽分别为，，根据题意，得出，，得方程组，解出，即可根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：令小长方形的长、宽分别为，， 根据题意，，， 可得，，， 故可得方程组， 解得， ∴，， 故阴影部分面积为． 10．（24-25七年级下·山东威海·期末）旅行团组织游客到游乐区参观，下表为两种参观方式所需的缆车费用： 参观方式 缆车费用 去程及回程，均搭乘缆车 300元 单程搭乘缆车，单程步行 200元 已知旅行团的所有人都从两种方式中选择了一种，其中去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有_______人． 【答案】16 【分析】设此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人，然后根据等量关系“缆车费用的总花费为4100元”“去程步行人数+回程步行的人数=x”，列出二元一次方程组求解即可解答． 【详解】解：此旅行团有x人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有y人 由题意得： ，解得： 所以总人数为x+y=16． 故答案为16． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系、列出二元一次方程组是解答本题的关键． C 培优训练 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲地到乙地全程是25km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么从甲地到乙地需行6h，从乙地到甲地需行7.2h．求从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少千米？ 【答案】从甲地到乙地时，上坡是6km，平路是4km，下坡是15km 【详解】13.设从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程分别是xkm，y km，zkm．依题意，得   解得 答：从甲地到乙地时，上坡是6km，平路是4km，下坡是15km． 12．（24-25七年级下·重庆万州·期中）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个 (2)7折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可； （2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个， ， 解得， 故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个； （2）解：依题意有： ， 解得：， 故品牌篮球打7折出售． 13．（24-25八年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为，根据图形列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据灰色部分的面积等于图2中大正方形的面积减去周围四个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为， 根据题意，可得， 解得， 所以大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为． 故答案为：，； （2）图2中灰色部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、完全平方公式的应用、正方形面积公式等知识，理解题意，正确解得大正方形纸片（灰色）的边长和小正方形纸片（白色）的边长是解题关键． 15．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 【答案】(1)每本《骆驼祥子》元，每本《傅雷家书》元 (2)团购群1更划算 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并列出方程组是解题的关键． （1）设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，求出的值，即可得到答案； （2）根据题意分别求出团购群1和团购群2的费用，比较之后即可得到答案． 【详解】（1）解：设团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元， 由题可得： 解得： 答：团购群1中每本《骆驼祥子》的单价为元，《傅雷家书》的单价为元． （2）解：由题可得：小明所在班级需要购买《骆驼祥子》和《傅雷家书》各15本，共30本， ∴团购群1的费用为：， 团购群2的费用为：， ∵， ∴团购群1购买更合算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 用二元一次方程组解决问题重难点题型专训 （2个知识点+14大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 三元一次方程组的应用 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 二元一次方程组的综合应用 知识点一：列二元一次方程组解应用题的常见类型 （1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量； （2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例； （3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量； （4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=； （5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； （6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·江苏·月考）小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元，设1元的贺卡为张，2元的贺卡为张，那么、所适合的一个方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 知识点二：二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川德阳·期中）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等，则每个果冻的质量为（）      A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）要把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为1元、5元的人民币，则换法有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山西·月考）某工厂去年的总产值比总支出多500万元，而今年计划的总产值比总支出多950万元，已知今年计划总产值比去年增加15%，而计划总支出比去年减少10%，求去年计划的总产值和总支出各是多少万元？解：设去年计划的总产值、总支出分别是x万元、y万元，根据题意，可列方程组___________． 1．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）周末，小亮帮奶奶去超市买菜，回家后与奶奶有一段对话： 小亮：牛肉和鸡蛋一共6斤，单价分别是元/斤和元/斤，您给了我元，现找回元． 奶奶：你肯定搞错了． 小亮：哦，我把自己口袋里的5元一起当作找回的钱款了． 奶奶：这就对了． 根据上面的信息，请你列方程组求小亮买了牛肉和鸡蛋各多少斤． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）某校组织学生参加数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是部分参赛者的得分统计表： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 于潇 王晓林 李毅 (1)观察、分析表格提供的数据可知：答对题得______分，答错题扣______分； (2)若设答对题数是，得分为，请用含的代数式表示； (3)参赛者李小萌得了分，求他答对了几道题； (4)参赛者马小虎说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【例2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是______________． 1．（25-26八年级上·陕西渭南·月考）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案（不重叠），已知点的坐标为，求一个长方形纸片的长与宽． 2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【经典例题三 方案问题】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）劳动课上，老师给每组同学一根长的竹竿，要求全部用完，且截成长和长两种规格均有的竹段．设某种截法中长的竹段有a根，则a的值可能有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．10种 【例2】（2025·北京大兴·一模）某公园门票价格如下表：某学校组织摄影、美术两个社团的学生游览该公园，两社团的人数分别为和．若两社团分别以各自社团为单位购票，共需1560元；若两社团作为一个团体合在一起购票，共需1170元，那么这两个社团的人数为______，______． 购票人数 80以上 门票价格 20元人 16元人 13元人 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘． (1)满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？ (2)若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？ 2．（25-26八年级上·全国·期末）列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买个篮球、个足球共花费元 ②买个篮球比购买个足球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 (1)请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【经典例题四 行程问题】 【例1】（24-25八年级上·广西河池·期中）从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走，下坡平均每小时走，那么从甲地走到乙地需要分钟，从乙地走到甲地需要分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为，下坡路程为，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江湖州·期末）同型号的甲、乙两辆测试车加满气体燃料后均可行驶千米，即它们各自单独行驶并返回的最远距离是千米．现在它们都从地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车立即掉头返回地，乙车继续行驶，到地后立即掉头返回地．最终两车都到达地，则地最远可距离地______千米． 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）A、B两地相距36千米．甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地．两人同时出发，4小时后相遇；6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 3．（24-25七年级下·福建泉州·月考）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元． 小王与小张各自乘坐滴滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同． (1)求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟； (2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间． 【经典例题五 工程问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆北碚·月考）甲、乙两个工程队负责修建一条长为1000米的公路．甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入两工程队联合施工7天后，还剩80米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·重庆·月考）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 1．（24-25七年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 2．（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程． 问题：某个工人一天工作6个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的20个；由于特殊情况，今天他只工作4个小时，生产零件一整箱和不足一箱的4个，问这一箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？ 小明所列方程：；小亮所列方程：； 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中x意义是否相同？________（填“是”或“否”）； (2)小亮的方程所用等量关系是________（填序号，“①每个小时生产的零件数相等”或“②4个小时生产的零件数相等”）； (3)根据小明所列的方程组完整解答老师提出的问题． 【经典例题六 数字问题】 【例1】（24-25八年级上·重庆南岸·月考）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，在3×3的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则的值为________． 1．（2025八年级上·全国·专题练习）有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，又已知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ (3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！ 3．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）学校将20××年入学的学生按入学年份、年级、班级、班内序号的顺序给每一位学生编号，如2015年入学的8年级3班的46号学生的编号为15080346．张山同学模仿二维码的方式给学生编号设计了一套身份识别系统，在5×5的正方形风格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0． 我们把从上往下数第i行、从左往右数第j列表示的数记为aij，（其中，i、j＝1，2，3，4，5），规定Ai＝16ai1＋8ai2＋4ai3＋2ai4＋ai5． （1）若A1表示入学年份，A2表示所在年级，A3表示所在班级，A4表示编号的十位数字，A5表示编号的个位数字． ①图1是张山同学的身份识别图案，请直接写出张山同学的编号； ②请在图2中画出2018年入学的9年级5班的39号同学的身份识别图案； （2）张山同学又设计了一套信息加密系统，其中A1表示入学年份加8，A2表示所在年级的数减6再加上所在班级的数，A3表示所在年级的数乘2后减3再减所在班级的数，将编号（班内序号）的末两位单列出来，作为一个两位数，个位与十位数字对换后再加2，所得结果的十位数字用A4表示、个位数字用A5表示．例如：2018年9年级5班的39号同学，其加密后的身份识别图案中，A1＝18＋8＝26，A2＝9－6＋5＝8，A3＝9×2－3－5＝10，93＋2＝95，所以A4＝9，A5＝5，所以其加密后的身份识别（26081095）图案如图3所示．图4是李思同学加密后的身份识别图案，请求出李思同学的编号． 【经典例题七 年龄问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）今年甲和乙的年龄和为24，6年后，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，则甲今年的年龄是_____岁． 1．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）一名学生问老师：“您今年多大？”老师说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了。”问：老师、学生今年多大了． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【经典例题八 分配问题】 【例1】（24-25七年级下·四川广安·期末）某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·全国·单元测试）某车间有名工人，每人平均每天可加工螺栓个或螺母个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设应分配x人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组得 _______． 1．（2025·山东威海·模拟预测）疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下： 人数 人 人 人以上 票价 元/人 元/人 元/人 (1)若甲公司有人游览，则共付门票费______元； 若乙公司共付门票费元，则乙公司有______人游览； (2)若甲、乙两家公司共有人游览，其中甲公司不超过人，两家公司先后共付门票费元，求甲、乙两家公司游览的人数． 3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）【问题情景】 南宁的种植大户李大叔，在武鸣区通过土地流转承包了320亩农田种植沃柑．到了沃柑成熟的季节，看着满园金灿灿的果实，李大叔满心欢喜，可在租用沃柑采摘设备的问题上犯了难，请你帮李大叔设计租赁方案． 【调研发现】 市场上有大型和小型两种沃柑采摘设备可供租赁．一台大型采摘设备每小时采摘沃柑的数量是一台小型采摘设备每小时采摘沃柑的数量的2倍，2台大型采摘设备和3台小型采摘设备每小时共采摘沃柑28亩． 【解决问题】 (1)设一台大型采摘设备每小时采摘沃柑x亩，一台小型采摘设备每小时采摘沃柑y亩． 请填空：2台大型采摘设备每小时采摘沃柑______亩；3台小型采摘设备每小时采摘沃柑______亩． (2)大、小两种采摘设备每小时分别可以采摘多少亩沃柑？ (3)由于要保证新鲜成熟的沃柑能够尽快送到市场销售，李大叔要求一天把沃柑正好全部采摘完，两种采摘设备都要租用，并且租来的设备都工作满10小时，现计划租用大型采摘设备m台，小型采摘设备n台，请你帮李大叔设计一下有哪几种租赁方案． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例1】（24-25七年级下·天津河西·期末）打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 【例2】（2025·重庆大渡口·模拟预测）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，红枫购买数量与预算保持不变，结果所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_____________． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元． (1)求甲、乙两种消毒液的单价； (2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量． 2．（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）骏马奔腾，新春吉祥，探亲访友之际，常备缤纷礼盒，满载幸福与甜蜜．某超市主打两款礼盒：坚果礼盒每盒150元，糖果礼盒每盒120元．为吸引顾客，该超市推出以下优惠活动： 购买礼盒金额 优惠政策 不超过700元 不享受优惠 超过700元，不超过1200元 总价享受9折优惠 超过1200元 总价享受8折优惠 (1)若购买2盒坚果礼盒，4盒糖果礼盒，求优惠后应支付的费用． (2)小李爸爸购买了540元的礼盒，其中坚果礼盒的总价比糖果礼盒的总价多60元． ①求小李爸爸每种礼盒的购买数量． ②小李妈妈在下班途中也去该超市购买了一些礼盒，小李看到优惠政策后发现，爸爸妈妈支付的费用之和超过了1200元，因此若是他一个人去买这些礼盒还可以节省204元，求妈妈单独购买礼盒时支付的费用． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例1】（24-25七年级下·全国·假期作业）在一个停车场，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共有108个轮子，则该停车场小轿车和摩托车的辆数分别为（    ） A．21，11 B．22，10 C．23，9 D．24，8 【例2】（24-25八年级上·重庆·月考）我校初二年级在半期考试过后进行了半期考试的总结表彰活动．为提高学生学习积极性，初二11班购买了部分学习用具作为奖品．在买之前发现上一次表彰剩余有错题本，三角板，圆规三种奖品，其中圆规的数量为三种奖品总数量的，根据需要表彰的人数再购进错题本，三角板，圆规的数量之比为，则购进后错题本的总数量为购进后三种奖品总数量的，三角板的新购数量与购进后三种奖品总数量之比为，则购进后三角板的总数量与购进后圆规的总数量之比为______． 1．（2026·陕西西安·三模）某微型货车最大载重量为，现接到装运一批设备的任务，已知1个A部件和3个B部件总质量为．2个A部件和1个B部件的质量相等，求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）某车间有28名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，且每个螺栓要配2个螺母，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使生产出的螺栓与螺母刚好配套？ (1)若设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为 名（用含x的代数式表示），由题意可列出方程 ．（只需列出方程，不用解答） (2)若设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，请完成解答过程． 3．（24-25七年级下·广东珠海·期中）某校积极开展课外兴趣活动．已知七年级一班同学中，参加球类项目的学生与参加艺术类项目的学生共32人，且参加球类项目的学生比参加艺术类项目的学生多4人．求参加球类和艺术类项目的学生各多少人． 解：题中的相等关系有： 参加球类项目的学生人数+_参加艺术类项目的学生_______＝32；_参加球类项目的学生人数_____﹣参加艺术类项目的学生人数＝4．若设参加球类项目的学生有x人，参加艺术类项目的学生有y人，则根据题意，列出方程组并求解． 【经典例题十一 几何问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，用四个完全相同且长、宽分别为，的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．已知，，则下列关系式中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2025·山东青岛·二模）如图是一张长为，宽为的长方形硬纸板，在四个直角处分别剪去边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等的底面是正方形的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为______． 1．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在拼图时，小聪发现个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的大长方形；小明发现这个大小一样的长方形还可以拼成如下图中间为边长是小正方形小洞的大正方形．请求出这些大小一样的长方形的长和宽． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，长方形的长为，宽为，将原长方形的长和宽各增加3，得到的新长方形的面积记为；将原长方形的长和宽各减少1，得到的新长方形的面积记为． (1)若，求原长方形的周长； (2)当时，求将原长方形的长和宽各增加7后得到的新长方形的面积； (3)如果用一个面积为的长方形和三个面积为的长方形恰好能拼成一个没有缝隙没有重叠的正方形，则________，________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 a张 正方形铁片的数量 b张 2张 则_________，_________； (2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？ (3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？ 【经典例题十二 图表信息题】 【例1】 （24-25六年级上·山东淄博·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m表示的数是（　　） A．5 B．7 C．8 D．6 【例2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）九宫格填数作为一种益智游戏，深受数学爱好者的喜爱．在如下所示的每一个方格中填入1~9这9个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数字之和相等，则图中的值为_______． 7 6 1 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 2．（24-25七年级上·安徽安庆·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 3．（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值； (2)如图2所示幻方，求a，b的值； (3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整． 【经典例题十三 古代问题】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？”其意思是：“今有2人坐一辆车，则有9人需要步行；3人坐一辆车，则有2辆车是空的．问：人与车各多少？”小明同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·湖北黄冈·二模）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，则绳长多少尺？木长多少尺？ 答：（1）绳长______尺；（2）木长______尺． 1．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目，大意是：个和尚分个馒头，刚好分完．大和尚人分个馒头，小和尚人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？（用两种不同的方法解决） 2．（24-25七年级下·广西贺州·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．” 译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)【尝试】若设公鸡有x只，母鸡有y只． ①小鸡有________只，买小鸡一共花费________文钱（用含x，y的式子表示）． ②根据题意，列出一个含有x，y的方程________． (2)【探索】若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (3)【拓展】除了问题（2）中的解之外，请写出两组符合“百鸡问题”的解，并简要说明理由． 【经典例题十四 三元一次方程组的应用】 【例1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）我国古代数学家张丘建在《张丘建算经）里，提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题．用100个钱买100只鸡，公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．问公鸡，小鸡各买了多少只？在这个问题中，小鸡的只数可能是（    ） A．78 B．87 C．88 D．89 【例2】（2025·江苏南京·模拟预测）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的．例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“O”原子的个数是，右边“O”原子的个数也是．若辛烷充分燃烧的化学方程式是（a，b，c为常数），则b的值是____． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）在我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有上等谷3束、中等谷2束、下等谷1束，共得实39斗；上等谷2束、中等谷3束、下等谷1束，共得实34斗；上等谷1束、中等谷2束、下等谷3束，共得实26斗．上、中、下三等谷每束各得实几斗？ 2．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出、、的具体数值，但可以解出的值． (1)小川的方法：，整理可得： ； ，整理可得： ；． 小渝的方法：： ；． (2)已知，试求解的值． (3)学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本，已知采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元；采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要元，那么采购本英语簿，本数学簿，本作文本需要多少钱？ 3．（24-25七年级下·山东·期中）【阅读材料】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知有理数x，y满足，，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值． 如由可得，由，，可得． 这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【迁移运用】 （1）已知二元一次方程组，利用整体思想求和； 【解决问题】 （2）某班级组织活动购买小奖品，买16支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需25元；买31支铅笔，5块橡皮，3本日记本共需42元，则购买1支铅笔，1块橡皮，1本日记本共需多少元？ 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）对于有理数，定义新运算：，其中，是常数．已知，，则的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）定义一种运算※如下：，a和b均为常数，已知：，，则______． 1．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）对于一个三位数，它各个数位的数字均不为0且互不相等，如果它满足百位数字减去个位数字的差是十位数字的两倍，我们就称这个三位数为“互差数”.定义一个新运算，我们把一个“互差数”a的百位数字减去个位数字的差与十位数字之和记为.例如：715，因为，所以715是一个“互差数”， (1)判断832与421是否为“互差数”，若是“互差数”，请计算出：若不是，请说明理由． (2)若m是一个“互差数”，且，求满足条件的所有m的值． 2．（24-25七年级下·吉林·期末）【阅读感悟】 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可得，由①＋②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)某旅行团组织游客乘船夜游松花江，要购买一些船票，若买4张过江船票，2张观光船票共需72元；买7张过江船票，3张观光船票共需111元，则购买15张过江船票，7张观光船票共需多少元？ (3)对于实数，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求______． 3．（24-25七年级下·四川乐山·期中）【阅读感悟】： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【解决问题】： (1)已知二元一次方程组，则______，______； (2)“战疫情，我们在行动”．某爱心公益小组计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元．若该爱心公益小组捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，那么购买这批防疫物资共需多少元？ (3)对于两数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，那么_________． 【拓展训练二 二元一次方程组的综合应用】 【例1】（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）数学活动实践课上，小晨将长方形A和长方形B按如图所示的方式摆放，由图中信息可知，图4中的“？”是______． 1．（25-26七年级下·重庆·月考）我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： (1)1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ (2)该物流公司的租车方案有哪几种？ 2．（24-25七年级下·河南新乡·期中）如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 3．（25-26七年级下·河北·单元复习）年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．月日常规赛结束，部分球队的积分如下表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 2 0 永州队 3 岳阳队 4 (1)请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ (2)求永州队一共胜了多少场？ (3)岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为分，你认为可能吗？为什么？ A基础训练 1．（2026·安徽阜阳·一模）已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆潼南·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，现决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅，且生产的桌子和椅子正好配套，设安排x天生产桌子，y天生产椅子，下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南许昌·一模）一道来自课本的习题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3，平路每小时走4，下坡每小时走5，那么从甲地到乙地需54，从乙地到甲地需42．甲地到乙地全程是多少？ 若设坡路长，平路长，根据题意可列方程组（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小明在学习之余去买文具，打算购买支单价相同的签字笔和本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买支签字笔和本笔记本， 售货员：好的，那你应付元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付元． 若小明买支签字笔和本笔记本应付的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 B 提高训练 6．（24-25七年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 7．（24-25七年级下·山东济宁·期末）某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 8．（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）如图，这是工作表的一部分，字母依次表示列，数依次表示行．该表中每一列中的数都比前一列相应的数大，每一行中的数都比前一行相应的数大n．若，x与a的数量关系为：________． 9．（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 10．（24-25七年级下·山东威海·期末）旅行团组织游客到游乐区参观，下表为两种参观方式所需的缆车费用： 参观方式 缆车费用 去程及回程，均搭乘缆车 300元 单程搭乘缆车，单程步行 200元 已知旅行团的所有人都从两种方式中选择了一种，其中去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有_______人． C 培优训练 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）甲地到乙地全程是25km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时行3km，平路每小时行4km，下坡每小时行5km，那么从甲地到乙地需行6h，从乙地到甲地需行7.2h．求从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少千米？ 12．（24-25七年级下·重庆万州·期中）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 13．（24-25八年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 14．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 15．（24-25八年级上·河南平顶山·月考）每年的4月23日是世界读书日，今年读书日的主题是“阅读改变未来．”阅读能够让我们获得知识，扩展视野，还可以激发思考，增加创造力，对个人成长和社会发展有深远影响．八年级（1）班的班长小明通过微信团购群为班级网购图书，他在2个团购群中看到同款图书销售情况如下： 团购群1 客服：各位亲，读书日优惠活动，全场满150元包邮，买10本以上一律八折！ 客人1：3本《骆驼祥子》和2本《傅雷家书》多少钱？客服：亲，您这个没达到150元，需要加上邮费12元，共120元． 客人2：4本《骆驼祥子》和3本《傅雷家书》多少钱？ 客服：亲，您这个可以包邮，共154元． 团购群2 客服：读书日优惠活动开始啦！每满300元减30元，全场包邮！ 客服：1本《骆驼祥子》＋1本《傅雷家书》，一套42元． 根据以上内容，解决下列问题： (1)团购群1中每本《骆驼祥子》和《傅雷家书》各多少元？ (2)小明所在班级一共有15名同学团购《骆驼祥子》和《傅雷家书》这两本书，且这15人均要两本书各一本，选择在哪一个团购群购买更合算？ 学科网（北京）股份有限公司 $