第10章 二元一次方程组单元复习培优讲义（3大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期

该初中数学单元复习讲义围绕二元一次方程组构建知识体系，通过表格清晰对比代入消元法、加减消元法、整体代入法的适用条件与步骤，分层梳理概念辨析、解法应用、实际问题等知识脉络，突出消元思想与等量关系建立的重难点。 讲义亮点在于分层精练设计，基础题型巩固概念（如二元一次方程三要素辨析），培优题型提升推理能力（如同解方程组求参数），压轴题型融合几何与新运算（如长方形中规划小长方形列方程组），培养数学思维与模型意识，助力教师分层教学与学生自主复习。

第10章 二元一次方程组 知识点1：二元一次方程（组）的相关概念 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：（）。 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解。 2.二元一次方程组 定义：由两个共含两个未知数的一次方程组成的方程组。 解：方程组中两个方程的公共解，一般用大括号联立表示。 3.三元一次方程组 定义：含三个未知数，每个方程未知项次数为1，共三个方程的方程组。 解法：消元→转化为二元一次方程组→再消元→一元一次方程。 知识点2：二元一次方程组的解法（核心：消元思想） 方法 适用条件 一般步骤 代入消元法 某一未知数系数为±1或易表示 1.变：用一个未知数表示另一个 2.代：代入另一方程 3.解：求一元一次方程解 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 加减消元法 同一未知数系数相等或互为相反数 1.化：系数化为相等/相反 2.加减：消去一个未知数 3.解：求一元一次方程解 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 整体代入/换元法 方程组含相同整体式子 1.设：把整体设为新元 2.解：解新元方程组 3.回代：求原未知数 知识点3：列二元一次方程组解应用题 1.基本步骤：审题→找两个等量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。 2.常见类型等量关系： 行程：路程=速度×时间；顺流速度=静水速度+水速，逆流速度=静水速度−水速。 利润：利润=售价−进价；总价=单价×数量。 工程：工作总量=工作效率×工作时间。 数字：两位数=10×十位数字+个位数字。 和差倍分：较大量=较小量+相差量；总量=倍数×倍量。 【基础必考题型】 【题型1】二元一次方程（组）的概念辨析 1.核心知识点: 二元一次方程的三要素：两个未知数、次数为1、整式方程 二元一次方程组的定义 2.解题方法技巧: 紧扣定义判断：排除含xy项、未知数次数≠1、非整式的方程 方程组只需满足：共两个未知数、均为一次方程 【例题1】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式的值是__． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的定义，方程组含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为，据此确定和的值，再计算的值． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 第一个方程中的二次项的系数必须为，且第二个方程中的次数必须为， 可得 解得 则． 【变式题1-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的定义，需满足两个未知数，未知数的最高次数为1，且每个方程均为整式方程，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有三个未知数，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； B、属于二元一次方程组，故该选项符合题意； C、次数不是1次，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不属于二元一次方程组，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 【答案】2 【分析】根据关于，的方程是二元一次方程，得到，解答即可． 本题考查了二元一次方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故，， 解得，且， 故， 故答案为：2． 【题型2】二元一次方程（组）的解的判断与代入求值 1.核心知识点: 方程（组）解的定义：代入后左右两边相等 已知解求字母参数 2.解题方法技巧: 代入验证法：将解逐一代入方程（组）检验 代入求值法：把解代入含参数方程，建立一元一次方程求解 【例题2】.（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】将已知解代入原方程即可计算得到m的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴将，代入方程得： ． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 【题型3】代入消元法解二元一次方程组 1.核心知识点: 代入消元法的步骤 用一个未知数表示另一个未知数 2.解题方法技巧: 优先选系数为±1的方程变形 代入后严格去括号、移项、合并同类项，避免符号错误 【例题3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【答案】B 【分析】利用代入消元法和加减消元法的运算规则，判断各选项的做法是否正确即可； 【详解】解：∵方程①已经将表示为含的代数式， ∴将①代入②，可得，消去了，因此A错误，B正确． ∵可得，整理得，无法消去或，因此C，D错误． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 【详解】解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 【变式题3-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）原方程组整理为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得， 去括号，得， 解得， 把代入，得， 方程组的解为； （2）解：，即， ，得， ，得， ，得， 解得， 把代入，得， 解得， 方程组的解为． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用代入消元法求解即可； （2）使用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ， 方程组的解为 ； （2）解： ， 得 ， ，得 解得， 把代入，得 ， 解得， 方程组的解为 ． 【题型4】加减消元法解二元一次方程组 1.核心知识点: 加减消元法的适用条件与步骤 等式性质：方程两边同乘一个数，等式不变 2.解题方法技巧: 系数相等→相减；系数相反→相加 系数不满足时，求最小公倍数化系数相同，每一项都要乘 【例题4】.（25-26七年级下·山东淄博·月考）解方程组，用加减法消去，需要（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的原理即可求解，原理是使要消去的未知数的系数绝对值相等，再通过加减运算消去该未知数． 【详解】解：∵方程组中，的系数分别为和， 要消去，需要使变形后的系数和为， ∴将①两边乘，得，此时的系数为，与②中的系数相加和为， 因此即可消去，符合要求的是选项D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：得， 【变式题4-2】.（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 掌握消元法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·广东江门·月考）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可； （2）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入方程②， 得，解得， 故方程组的解为； （2）解：， 由得13x=39， 解得， 将代入， 得，解得， 故方程组的解为． 【培优高频题型】 【题型5】整体代入/换元法解特殊方程组 1.核心知识点: 整体思想 换元法简化复杂方程组 2.解题方法技巧: 识别重复整体（如），直接整体代入 复杂结构换元后求解，最后务必回代求原未知数 【例题5】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解二元一次方程组，灵活运用换元思想简化复杂方程组是解题的关键．观察到方程组中和重复出现，可令，，将原方程组转化为关于、的二元一次方程组，解出m的值，即可得到的值． 【详解】解：令，， 则原方程组变为， 解得：， ． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，，方程组的解为 (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键． （1）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答； （2）仿照题干的思路，利用换元法进行计算即可解答． （3）利用换元法结合方程组的解的定义得到，再解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：设 ，， ∴原方程组可变为：， 解这个方程组得， 即， 所以， 故答案为：，； （2）解：设， ∴原方程组可化为：， 解得， ∴ 解得； （3）解：由题意得，， 解得：． 【题型6】同解方程组问题（方程组有相同解） 1.核心知识点: 同解：一组解同时满足所有方程组 联立不含参数方程求公共解，再代入求参数 2.解题方法技巧: 先联立无参数方程求出公共解 公共解代入含参数方程，求参数值 【例题6】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得：， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式题6-1】.（2026七年级下·四川泸州·学业考试）已知关于的方程组和有相同的解，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查解方程组，根据两个方程组有相同的解，则公共解满足所有方程，因此先联立不含参数的二元一次方程，求出公共解，再代入含参数的方程得到关于的方程组，求解后计算即可． 【详解】解：关于的两个方程组有相同的解， 联立不含参数的方程得， 两式相加，得， 解得， 将，代入得， 将代入得， 解得，， ， 故答案为：． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组同解问题，解一元一次方程，解方程组得，将代入求解即可． 【详解】解：解方程组得， ， 解得． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将两个方程组重新组合是解题的关键． 首先根据两个方程组的解相同，先联立不含参数的方程求出方程组的解，再将解代入含参数的方程中，进而求出a，b的值，最后计算的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴可得方程组：，解得：， ∴可得方程组：，解得：， ∴． 【题型7】错中求解问题（看错系数求原方程组） 1.核心知识点: 看错系数但计算过程正确 正确解满足所有方程，错解只满足未看错方程 2.解题方法技巧: 错解代入没看错的方程，正确解代入所有方程 联立求原系数，还原正确方程组 【例题7】.（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x，y的方程，先求出x，y的值，再代入含m，n的方程求出m，n，即可计算得到的值； （2）甲看错a得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正确的a，b，再解原方程组即可得到正确解． 【详解】（1）解：∵两个方程组有相同的解， ∴x、y满足方程组，解得， 将，代入， 得，解得， ∴． （2）解：将代入方程②，得：，解得， 将代入方程①，得：，解得， 把，代入原方程组，得到， 解得， ∴原方程组的正确解为． 【题型8】二元一次方程组的整数解/正整数解 1.核心知识点: 方程变形用一个未知数表示另一个 整数、正整数限定条件 2.解题方法技巧: 变形为形式，根据范围列举 结合不等式确定未知数取值范围，筛选解 【例题8】.（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 【答案】 【分析】根据加减消元法，可得，根据a是正整数、y的值是整数，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：， 式，得， ∵a是正整数，y为整数，且， ∴，则，， 解得：． 此时，，符合题意． ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 设由①﹣②得，代入②，可求得，x，y代入方程，计算求解即可． 【详解】解：， ①﹣②得， 代入②，得， 解得， 代入方程， 得， 解得． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 【答案】12 【分析】由方程组的解互为相反数得到，即，代入方程组求解即可求出的值． 【详解】由题意得，把代入方程组得， 整理得， 把②代入①，得， 代入①得， ∴时，原方程组的解互为相反数． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【答案】(1)， (2) (3)或0 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的知识，熟练掌握解二元一次方程组的方法，并根据题意确定的值是解题关键． （1）①根据，为非负数即可求得方程的所有非负整数解； （2）先解方程组，然后将，的值代入方程中即可获得答案； （3）将代入原方程组，利用加减消元法得到，再根据方程组有整数解，且为整数，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，为非负整数， ∴方程的所有非负整数解为 ，； （2）∵根据题意可得， 解得， 将代入中， 解得 ； （3）当时，原方程组可化为， 由，可得 ， 整理可得， ∵方程组有整数解，且为整数， ∴或， 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）； 当时，解得，此时方程组的解为； 当时，解得，此时方程组的解为（舍去）． 综上所述，整数的值为或0． 【题型9】行程、利润、配比等实际应用题 1.核心知识点: 行程、利润、配比的等量关系 列方程组解应用题 2.解题方法技巧: 画示意图或列表梳理数量关系 单位统一，结果检验是否符合实际意义 【例题9】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 【变式题9-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【答案】篮球的单价为60元，足球的单价为50元 【分析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，任取两个条件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，选①②； 根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选①③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元； 选②③：根据题意得：， 解得：． 答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【答案】用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设用木料做桌面，木料做桌腿，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设用木料做桌面，木料做桌腿，由题意，得： 解得． （张）． 答：用木料做桌面，木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成250张方桌． 【题型10】几何图形与二元一次方程组综合 1.核心知识点: 线段、角度、面积、周长公式 利用图形性质列方程组 2.解题方法技巧: 用未知数表示边长、角度，由图形性质列等式 结合平行线、三角形内角和等性质建立方程组 【例题10】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． (1)如图1，若，，求和的值； (2)如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【答案】(1)和的值分别为10和25 (2)①；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、列代数式、整式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据大长方形的相邻两边长分别为、，再结合图形列出关于x、y的方程组求解即可； （2）①由小长方形的周长为，求得，再列式求大长方形的周长，然后整体代入计算即可求解；②依题意得、，去括号整理得，再将整体代入即可求解． 【详解】（1）解：依据题意得，，解得， 答：和的值分别为10和25． （2）解：①由题意得，，所以， 所以大长方形的周长为． ②因为， 所以 ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①所示的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②所示的竖式和横式两种无盖纸盒． 已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与1个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪． (1)两种方式共裁出_______个长方形，_______个正方形．（用含m，n的代数式表示） (2)当时，裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是多少个？ 【答案】(1)； (2)12个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数量关系． （1）根据方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形即可得出结论； （2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为求出，，为正整数，且，得出，，再设做成竖式盒子个，横式盒子个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形张，正方形张． 故答案为：   （2）由题意，得，解得． 因为为正整数，且，所以， 所以两种方式共裁出（个）长方形，（个）正方形． 设做成竖式盒子个，横式盒子个， 根据题意，得解得 所以做成的两种无盖纸盒一共可能是（个）． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】(1)15 (2)20 (3)64 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小长方形的面积； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为，根据图示数据列二元一次方程组，求出a，b的值，即可求解； （3）设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的长为19，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 每个小长方形的面积为：； （2）解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高，单独一个纸杯的高度为， 根据题意，得， 解得， 则13个纸杯整齐叠放在一起的高度为：， 故答案为：20； （3）解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴阴影部分的面积为：． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【答案】方案一：的长度分别为．方案二：的长度分别为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 方案一：设，，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可； 方案二：设，根据甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：方案一：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 方案二：根据题意可列方程组为： ， 解得：， 答：的长度分别为． 【压轴素养题型】 【题型11】三元一次方程组的解法与应用 1.核心知识点: 三元一次方程组消元思路 三个等量关系列三元方程组 2.解题方法技巧: 先消去系数简单的未知数，化为二元方程组 应用题出现三个未知量，找三个独立等量关系 【例题11】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 【变式题11-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 【变式题11-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于、、的方程组，通过解方程组求出发送方的密码. 【详解】解：由题意，得解得 所以发送方发出的密码是 故答案为：. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组. 【变式题11-3】.（24-25七年级上·重庆·月考）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 【答案】（1）原因见解析；（2）甲同学心中所想的数是3 【分析】本题考查了一元一次方程与多元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程（组），并通过化简、消元求解． （1）设点数和花色代号为未知数，根据运算流程列方程，利用“ 的倍数”特征确定未知数取值； （2）设五人所想的数为未知数，根据环形相邻关系列方程组，通过逐步消元求出甲的值． 【详解】解：设抽出纸牌的点数为，且x为整数），花色代号为，分别对应黑桃、梅花、红桃、方块）． 根据运算规则列方程：， 化简方程：，即， 由，得，因为的倍数， 故，则，此时． 因对应梅花，故抽出的纸牌是梅花8． （2）解题步骤： 解：设甲、乙、丙、丁、戊心中所想的数分别为a、b、c、d、e． 根据“每位同学报出左右相邻同学的数的和”列方程组： 由②得，由④得，由①得， 由③得，代入⑤：，即， ∴，即甲同学心中所想的数是3． 【题型12】定义新运算与方程组综合 1.核心知识点: 新运算规则转化为等式 列方程组求参数 2.解题方法技巧: 严格按定义列式，转化为常规方程组 求出参数后，再用定义计算新运算结果 【例题12】.（23-24七年级下·福建厦门·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：30，41，33中，“相异数”为 ； (2)如果“相异数”满足直接写出所有“相异数”的值 ． (3)如果都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)41 (2)12，21 (3)是；理由见解析 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义，可以判断两位数：30，41，33中，哪个数是“相异数”； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：中，“相异数”为， 故答案为：． （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足， ∴， ∴， 即， ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零， ∴当时，，此时b的值为12； 当时，，此时b的值为21． ∴所有“相异数”b的值为12，21， 故答案为：； （3）解：值为常数；理由如下： ∵， ∴， ∵m、n都是“相异数”， 设，则， ∴ ． ∴值为常数9． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 【变式题12-2】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组，则的值为______． 【答案】或 【分析】先根据题意得，求出或，再分别代入，可求出，的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组都是“郡一”方程组， ， 则有， 解得或， 把代入得， ， 为任意无理数， ， 解得， ； 把代入得， ， 为任意无理数， ， 解得， ． 综上所述，的值为或． 【变式题12-3】.（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 易错点 1.概念混淆：含项、未知数次数≠1、分式方程误判为二元一次方程。 2.消元错误：代入时漏乘、符号写错；加减时只加减部分项。 3.解的书写：方程组的解未用大括号联立，只写单个未知数的值。 4.应用题漏检验：未验证解是否符合实际意义（如非负数、整数）。 5.换元后不回代：求出新元值，忘记求原未知数。 重点 1.二元一次方程（组）的概念与解的判断。 2.代入消元法、加减消元法解方程组。 3.列二元一次方程组解各类实际应用题。 4.整体代入、换元等简便解法。 难点 1.含参数方程组的解的讨论与参数求解。 2.复杂实际应用题的等量关系挖掘与方程组建立。 3.多题型综合（新运算、几何、方案设计）的方程组建模。 4.三元一次方程组的消元技巧与应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列二元一次方程组中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加减消元法求出各选项方程组的解，即可得到正确结果． 【详解】解：A、， ，得，解得，不符合，该选项不符合题意； B、， ，得，解得． 把代入①，得 ，解得． ∴原方程组的解为，该选项符合题意； C、， ，得 ，解得 ，不符合要求，该选项不符合题意； D、， ，得 ，不符合要求，该选项不符合题意． 2．《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总人数不变，分别从两种乘车情况中提取等量关系，列出方程组后即可判断正确选项． 【详解】解：设有辆车，有人， 根据题意得：． 3．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 二、填空题 4．把方程改写成用含的式子表示的形式是：____________． 【答案】/ 【分析】要把方程改写成用含的式子表示的形式，需要把含有的项单独放在等号一侧，其余项移到等号另一侧，整理后即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 系数化为得：． 5．若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 【详解】解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 6．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则的值是______（用含k的式子表示）． 【答案】 【分析】把代入可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一个解， ∴， 由得：， ∴， ∴． 三、解答题 7．解方程或方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先将原方程组化为标准形式，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ,得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为， ，得， 解得， 将代入①式，得， 解得， ∴原方程组的解为． 8．如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 【答案】平方米 【分析】设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值，进而可求解． 【详解】解：设小长方形的长为x米，宽为y米， ∴，，， ∴， 解得：， ∴每一个小长方形的面积为平方米， ∴该试验田的面积为平方米． 9．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为 ，高度为 ．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 【答案】(1) (2)获得等级的学生有17人，等级的学生有13人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． （1）根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式即可． （2）设获得等级的学生有人，等级的学生有人．由题意，得，解方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意，第一种放置方式中的宽度为，第二种放置方式中的宽度为，根据宽度的唯一性建立等式得， 故答案为：． （2）解：设获得等级的学生有人，等级的学生有人． 由题意，得 解得 答：获得等级的学生有17人，等级的学生有13人. 10．春节即将来临，某水果经营户用元从水果批发市场购进和两种水果共，再到水果市场去卖，和两种水果的批发价和零售价（单位：元/）如下表所示： 品名 批发价 零售价 (1)他购进，两种水果各多少千克？ (2)若，两种水果全部卖完，他能赚多少钱？ 【答案】(1)他购进种水果，购进种水果 (2)若，两种水果全部卖完，他能赚元 【分析】（1）设购进种水果，购进种水果，根据用元从水果批发市场购进和两种水果共，列二元一次方程组求解； （2）用两种水果全部卖完得到的钱减去购进水果时用的钱，就是赚到的钱． 【详解】（1）解：设购进种水果，购进种水果， 根据题意得， 解得：， 答：他购进种水果，购进种水果； （2）解：（元）， 答：若，两种水果全部卖完，他能赚元． 11．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可； （2）根据题干给定的方法求解即可； （3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可． 【详解】（1）解： 得：，所以③ ③得：④ 得：， 把代入③得：， 解得： 原方程组的解是：； （2）解：， 得：③ ③得：④ 得：，解得： 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解是：； （3）解：猜测：， 当时，第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 12．为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 【答案】(1)第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. (2)需要准备855米电缆. 【分析】（1）设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解； （2）先求解需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组，再进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设第一次调试时，安装的太阳能板有块，小型风力发电机有组，根据题意得， ， 解得：， 答：第一次调试时，安装的太阳能板有120块，小型风力发电机有15组. （2）解：∵每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致， ∴需要安装的太阳能板有360块，小型风力发电机有45组， ∵每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆， ∴要满足这个供电需求，需要准备电缆. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 知识点1：二元一次方程（组）的相关概念 1.二元一次方程 定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：（）。 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解。 2.二元一次方程组 定义：由两个共含两个未知数的一次方程组成的方程组。 解：方程组中两个方程的公共解，一般用大括号联立表示。 3.三元一次方程组 定义：含三个未知数，每个方程未知项次数为1，共三个方程的方程组。 解法：消元→转化为二元一次方程组→再消元→一元一次方程。 知识点2：二元一次方程组的解法（核心：消元思想） 方法 适用条件 一般步骤 代入消元法 某一未知数系数为±1或易表示 1.变：用一个未知数表示另一个 2.代：代入另一方程 3.解：求一元一次方程解 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 加减消元法 同一未知数系数相等或互为相反数 1.化：系数化为相等/相反 2.加减：消去一个未知数 3.解：求一元一次方程解 4.回代：求另一未知数 5.联立写出解 整体代入/换元法 方程组含相同整体式子 1.设：把整体设为新元 2.解：解新元方程组 3.回代：求原未知数 知识点3：列二元一次方程组解应用题 1.基本步骤：审题→找两个等量关系→设未知数→列方程组→解方程组→检验→作答。 2.常见类型等量关系： 行程：路程=速度×时间；顺流速度=静水速度+水速，逆流速度=静水速度−水速。 利润：利润=售价−进价；总价=单价×数量。 工程：工作总量=工作效率×工作时间。 数字：两位数=10×十位数字+个位数字。 和差倍分：较大量=较小量+相差量；总量=倍数×倍量。 【基础必考题型】 【题型1】二元一次方程（组）的概念辨析 1.核心知识点: 二元一次方程的三要素：两个未知数、次数为1、整式方程 二元一次方程组的定义 2.解题方法技巧: 紧扣定义判断：排除含xy项、未知数次数≠1、非整式的方程 方程组只需满足：共两个未知数、均为一次方程 【例题1】.（25-26七年级下·山东聊城·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式的值是__． 【变式题1-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则_______． 【题型2】二元一次方程（组）的解的判断与代入求值 1.核心知识点: 方程（组）解的定义：代入后左右两边相等 已知解求字母参数 2.解题方法技巧: 代入验证法：将解逐一代入方程（组）检验 代入求值法：把解代入含参数方程，建立一元一次方程求解 【例题2】.（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【题型3】代入消元法解二元一次方程组 1.核心知识点: 代入消元法的步骤 用一个未知数表示另一个未知数 2.解题方法技巧: 优先选系数为±1的方程变形 代入后严格去括号、移项、合并同类项，避免符号错误 【例题3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【变式题3-2】.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）解方程组： (1) (2) 【变式题3-3】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）解方程组： (1)； (2)． 【题型4】加减消元法解二元一次方程组 1.核心知识点: 加减消元法的适用条件与步骤 等式性质：方程两边同乘一个数，等式不变 2.解题方法技巧: 系数相等→相减；系数相反→相加 系数不满足时，求最小公倍数化系数相同，每一项都要乘 【例题4】.（25-26七年级下·山东淄博·月考）解方程组，用加减法消去，需要（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）解方程组 ，得（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（2026·浙江金华·一模）解方程组： 【变式题4-3】.（25-26七年级下·广东江门·月考）解方程组： (1) (2) 【培优高频题型】 【题型5】整体代入/换元法解特殊方程组 1.核心知识点: 整体思想 换元法简化复杂方程组 2.解题方法技巧: 识别重复整体（如），直接整体代入 复杂结构换元后求解，最后务必回代求原未知数 【例题5】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【变式题5-2】.（25-26七年级上·广西贵港·期末）【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）阅读探索：解方程组 解：设原方程组可以化为，解得， 即：．【此种解方程组的方法叫换元法．】 (1)运用上述方法解方程组，解：设_____，_____； (2)拓展提高：运用上述方法解方程组 (3)能力运用：已知关于的方程组的解为，求关于的方程组的解． 【题型6】同解方程组问题（方程组有相同解） 1.核心知识点: 同解：一组解同时满足所有方程组 联立不含参数方程求公共解，再代入求参数 2.解题方法技巧: 先联立无参数方程求出公共解 公共解代入含参数方程，求参数值 【例题6】.（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【变式题6-1】.（2026七年级下·四川泸州·学业考试）已知关于的方程组和有相同的解，则______． 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【题型7】错中求解问题（看错系数求原方程组） 1.核心知识点: 看错系数但计算过程正确 正确解满足所有方程，错解只满足未看错方程 2.解题方法技巧: 错解代入没看错的方程，正确解代入所有方程 联立求原系数，还原正确方程组 【例题7】.（25-26七年级下·甘肃武威·月考）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 【题型8】二元一次方程组的整数解/正整数解 1.核心知识点: 方程变形用一个未知数表示另一个 整数、正整数限定条件 2.解题方法技巧: 变形为形式，根据范围列举 结合不等式确定未知数取值范围，筛选解 【例题8】.（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组有整数解，即x，y都是整数，a是正整数，求a的值． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·江苏苏州·月考）当m为何值时，方程组的解互为相反数？ 【变式题8-3】.（24-25七年级下·湖北宜昌·月考）关于x，y的方程组（n是常数）． (1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解； (2)当时，该方程组的解也满足，求m； (3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m． 【题型9】行程、利润、配比等实际应用题 1.核心知识点: 行程、利润、配比的等量关系 列方程组解应用题 2.解题方法技巧: 画示意图或列表梳理数量关系 单位统一，结果检验是否符合实际意义 【例题9】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【变式题9-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·重庆九龙坡·期末）某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【变式题9-3】.（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿200条，现有木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【题型10】几何图形与二元一次方程组综合 1.核心知识点: 线段、角度、面积、周长公式 利用图形性质列方程组 2.解题方法技巧: 用未知数表示边长、角度，由图形性质列等式 结合平行线、三角形内角和等性质建立方程组 【例题10】.（25-26八年级上·河北廊坊·月考）现要在长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别和，小长方形的相邻两边长分别为和． (1)如图1，若，，求和的值； (2)如图2， ①若小长方形的周长为，求大长方形的周长； ②若比大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？ 【变式题10-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①所示的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②所示的竖式和横式两种无盖纸盒． 已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与1个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪． (1)两种方式共裁出_______个长方形，_______个正方形．（用含m，n的代数式表示） (2)当时，裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是多少个？ 【变式题10-2】.（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： (1)请按照小明的思路完成上述问题：求出每个小长方形的面积； (2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起，此时高度是 ； (3)小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【变式题10-3】.（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长、宽的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是?某学习小组设计了两种方案，根据问题中涉及的长度和产量的相等关系，可列出方程组求解． 方案一：按如图1的方式划分土地，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形，求的长度是多少? 方案二：按如图2的方式划分土地，分别在长方形和长方形土地中种植甲、乙两种作物，求的长度是多少? 请你从以上两种方案中任选一种完成解答． 【压轴素养题型】 【题型11】三元一次方程组的解法与应用 1.核心知识点: 三元一次方程组消元思路 三个等量关系列三元方程组 2.解题方法技巧: 先消去系数简单的未知数，化为二元方程组 应用题出现三个未知量，找三个独立等量关系 【例题11】.（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【变式题11-1】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【变式题11-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 【变式题11-3】.（24-25七年级上·重庆·月考）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 【题型12】定义新运算与方程组综合 1.核心知识点: 新运算规则转化为等式 列方程组求参数 2.解题方法技巧: 严格按定义列式，转化为常规方程组 求出参数后，再用定义计算新运算结果 【例题12】.（23-24七年级下·福建厦门·期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数的和为，和与的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：30，41，33中，“相异数”为 ； (2)如果“相异数”满足直接写出所有“相异数”的值 ． (3)如果都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·福建泉州·月考）对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“郡一”方程组．若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“郡一”方程组，则的值为______． 【变式题12-3】.（24-25七年级下·福建福州·期中）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 易错点 1.概念混淆：含项、未知数次数≠1、分式方程误判为二元一次方程。 2.消元错误：代入时漏乘、符号写错；加减时只加减部分项。 3.解的书写：方程组的解未用大括号联立，只写单个未知数的值。 4.应用题漏检验：未验证解是否符合实际意义（如非负数、整数）。 5.换元后不回代：求出新元值，忘记求原未知数。 重点 1.二元一次方程（组）的概念与解的判断。 2.代入消元法、加减消元法解方程组。 3.列二元一次方程组解各类实际应用题。 4.整体代入、换元等简便解法。 难点 1.含参数方程组的解的讨论与参数求解。 2.复杂实际应用题的等量关系挖掘与方程组建立。 3.多题型综合（新运算、几何、方案设计）的方程组建模。 4.三元一次方程组的消元技巧与应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列二元一次方程组中，解为的是（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？设有辆车，有人，下面所列方程（组）正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．把方程改写成用含的式子表示的形式是：____________． 5．若，满足方程组，则的值为______． 6．已知是关于x，y的二元一次方程组的一个解，则的值是______（用含k的式子表示）． 三、解答题 7．解方程或方程组： (1) (2) 8．如图所示，某学校开发一块长方形试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的7块小长方形组成，经测量，试验田的周长为米，请计算该试验田的面积． 9．某班级施行量化等级评价方案，量化评价等级记录在量化手册中． (1)如图，量化评价手册存放时，可以按竖放、平放两种方式放在同一个书架上，并且要求书脊朝外，方便我们查阅，每本量化手册的厚度和高度相同．设厚度为 ，高度为 ．由图，可得方程组请将上述方程组补充完整． (2)某次量化评价获得等级和等级的学生共30人，且等级的学生比等级的学生多4人，求等级和等级的学生人数． 10．春节即将来临，某水果经营户用元从水果批发市场购进和两种水果共，再到水果市场去卖，和两种水果的批发价和零售价（单位：元/）如下表所示： 品名 批发价 零售价 (1)他购进，两种水果各多少千克？ (2)若，两种水果全部卖完，他能赚多少钱？ 11．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 12．为积极响应发展清洁能源号召，某地采用太阳能板和小型风力发电机为公共设施供电．已知每100块太阳能板每天额定发电40度，实际发电效率为；每10组小型风力发电机每天额定发电25度，实际发电效率为．第一次调试时，太阳能板和小型风力发电机混合搭配安装，一天可发电60度；第二次调试时，安装的太阳能板数量是第一次的2倍，小型风力发电机是第一次的3倍，一天可发电150度． (1)第一次调试时，安装的太阳能板有多少块？小型风力发电机有多少组？ (2)现需扩大公共设施供电范围，需要让每天的发电总量达到第一次调试的3倍，且太阳能板和小型风力发电机的数量比例和第一次调试时保持一致．若每块太阳能板需要电缆，每组小型风力发电机需要电缆，要满足这个供电需求，需要准备多少米电缆？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $