专题10.4 三元一次方程组（3大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版七年级数学下学期培优讲义

本讲义聚焦三元一次方程组核心知识点，系统梳理三元一次方程（组）的概念（含三个未知数、整式方程、次数为1），解方程组的消元思想（三元→二元→一元，代入与加减消元法）及特殊解法（整体法、换元法），衔接二元一次方程组知识，构建从二元到三元的完整学习支架。 资料以分层题型设计（基础必考、培优高频、压轴素养）为特色，融入整体思想（如三式相加求参数和）与实际应用（花盆摆放、饮料包装问题），培养学生运算能力、模型意识与创新意识。例题与变式题结合，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化易错点（消元混乱、回代遗漏），提升解题能力。

专题10.4 三元一次方程组 知识点1：三元一次方程（组）的概念 1.三元一次方程 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：（均不为0）。 2.三元一次方程组 由三个一次方程组成，共含三个相同未知数的整式方程组。 判定三要素：整式方程、共三个未知数、所有项次数为1。 知识点2：解三元一次方程组 1.核心思想：消元，三元→二元→一元。 2.基本方法：代入消元法、加减消元法。 3.标准步骤 消元：选定一个未知数，消去两次，得到二元一次方程组； 求解：解二元一次方程组，得两个未知数的值； 回代：代入求第三个未知数； 联立：用大括号写出解。 知识点3：特殊解法（整体/换元） 整体法：三式相加/相减，先求，再逐个求元。 换元法：遇比例式（如），设比值为简化计算。 【基础必考题型】 【题型1】三元一次方程组的概念辨析 1.核心知识点 三元一次方程组的三个判定条件；区分整式、次数、未知数个数。 2.解题方法技巧 一看是否为整式，二看共几个未知数，三看项次数是否为1； 见到、、直接排除。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·全国·假期作业）若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（24-25七年级上·福建莆田·期末）若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）若是一个关于的三元一次方程，那么_______，_______． 【题型2】常规消元法解三元一次方程组 1.核心知识点 代入/加减消元；固定消元目标，三元转二元。 2.解题方法技巧 优先消系数为±1或成倍数的未知数； 全程只消同一个元，不中途更换； 求出两个未知数后务必回代求第三个。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【变式题2-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【题型3】双方程三元不定方程组求比值 1.核心知识点 三元两个方程为不定方程组，将一个未知数当作常数，用消元法表示另外两个未知数，进而求连比。 2.解题方法技巧 选定一个未知数为常量，用加减/代入消元法求出另外两个未知数关于它的表达式； 代入比例式，约去公共未知数，化为最简整数比。 【例题3】.（24-25七年级下·河南许昌·月考）已知，则______． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知方程组，则 ___________． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为________． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·四川内江·期中）已知是方程组的解，则__________． 【培优高频题型】 【题型4】整体加减求及参数和 1.核心知识点 三元一次方程组整体相加，直接求出或参数和，简化计算。 2.解题方法技巧 三式直接相加，提取公因式； 整体求出，无需单独解每个未知数。 【例题4】.（23-24八年级上·河南周口·月考）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【变式题4-1】.（24-25七年级下·河南驻马店·月考）已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【变式题4-2】.（24-25七年级下·山东烟台·期中）已知方程组，则的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型5】非负数性质构造三元方程组 1.核心知识点 ，转化为三元方程组。 2.解题方法技巧 由非负性列三个方程； 用加减消元快速求解，代回验证。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________，________，________． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为______． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·四川达州·期末）已知x、y、z满足，则的值为______. 【变式题5-3】.（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是______． 【压轴素养题型】 【题型6】三元一次方程组的实际应用 1.核心知识点 三个未知量、两组等量关系，建立方程组模型。 2.解题方法技巧 设三个未知数，找三个独立等量关系； 列方程组求解，检验是否符合实际意义。 【例题6】.（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【变式题6-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【题型7】整体思想求代数式的值 1.核心知识点 三式整体加减，直接求等组合式。 2.解题方法技巧 系数对称时先三式相加，再分别相减； 不求单个未知数，直接算目标式。 【例题7】.（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【变式题7-2】.（24-25七年级上·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【变式题7-3】.（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 易错点 1.概念判断错误：忽略“整式”“共三个未知数”“次数为1”任一条件。 2.消元混乱：中途更换消元对象，导致变回三元，无法求解。 3.回代遗漏：求出两个未知数后，忘记求第三个未知数。 4.符号与漏乘：相消时不变号、去分母漏乘常数项。 5.书写不规范：解不用大括号联立，步骤缺失。 重点 1.三元一次方程组的定义与判定。 2.代入、加减消元解三元方程组。 3.整体法、换元法等简便运算。 4.由解求参数、实际应用题建模。 难点 1.灵活选择消元对象，简化运算。 2.多步消元中的符号与计算准确性。 3.整体思想与换元思想的理解与运用。 4.复杂情境中提取三个等量关系。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 三元一次方程组 知识点1：三元一次方程（组）的概念 1.三元一次方程 含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：（均不为0）。 2.三元一次方程组 由三个一次方程组成，共含三个相同未知数的整式方程组。 判定三要素：整式方程、共三个未知数、所有项次数为1。 知识点2：解三元一次方程组 1.核心思想：消元，三元→二元→一元。 2.基本方法：代入消元法、加减消元法。 3.标准步骤 消元：选定一个未知数，消去两次，得到二元一次方程组； 求解：解二元一次方程组，得两个未知数的值； 回代：代入求第三个未知数； 联立：用大括号写出解。 知识点3：特殊解法（整体/换元） 整体法：三式相加/相减，先求，再逐个求元。 换元法：遇比例式（如），设比值为简化计算。 【基础必考题型】 【题型1】三元一次方程组的概念辨析 1.核心知识点 三元一次方程组的三个判定条件；区分整式、次数、未知数个数。 2.解题方法技巧 一看是否为整式，二看共几个未知数，三看项次数是否为1； 见到、、直接排除。 【例题1】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 【变式题1-1】.（24-25七年级下·全国·假期作业）若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 【详解】解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 【变式题1-2】.（24-25七年级上·福建莆田·期末）若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 【答案】0 【分析】本题考查了三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，熟记三元一次方程的定义是解题关键．根据三元一次方程的定义可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的三元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 【变式题1-3】.（23-24七年级下·全国·课后作业）若是一个关于的三元一次方程，那么_______，_______． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：，0． 【题型2】常规消元法解三元一次方程组 1.核心知识点 代入/加减消元；固定消元目标，三元转二元。 2.解题方法技巧 优先消系数为±1或成倍数的未知数； 全程只消同一个元，不中途更换； 求出两个未知数后务必回代求第三个。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【详解】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 【变式题2-2】.（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 【题型3】双方程三元不定方程组求比值 1.核心知识点 三元两个方程为不定方程组，将一个未知数当作常数，用消元法表示另外两个未知数，进而求连比。 2.解题方法技巧 选定一个未知数为常量，用加减/代入消元法求出另外两个未知数关于它的表达式； 代入比例式，约去公共未知数，化为最简整数比。 【例题3】.（24-25七年级下·河南许昌·月考）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于的方程组，求出的值，再求出比值即可． 【详解】解：解关于的方程组，得：， ∴； 故答案为：． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·四川遂宁·月考）已知方程组，则 ___________． 【答案】 【分析】利用加减消元法表示出，，即可解答； 【详解】解：， 得③， 得，化简得， 把代入①式，得，解得， ∴， 即． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，满足且，则为________． 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，把当作常数，解关于、的方程组，求出、的值，再求出比值即可． 【详解】解：， 由①得，③， 将③代入②，得， 整理得，， 将代入③，， ， ， 故答案为：． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·四川内江·期中）已知是方程组的解，则__________． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组和不定方程，通过消元法将三元方程组转化为二元方程组，最终用c的倍数表示a和b，从而确定三者的比值． 【详解】解：将第一个方程乘以2，得到： ，用此式减去第二个方程： ， 化简得：， 解得：， 将代入第一个方程： ，即：， 化简得：，即， 此时，，因此： ． 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】整体加减求及参数和 1.核心知识点 三元一次方程组整体相加，直接求出或参数和，简化计算。 2.解题方法技巧 三式直接相加，提取公因式； 整体求出，无需单独解每个未知数。 【例题4】.（23-24八年级上·河南周口·月考）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 【变式题4-1】.（24-25七年级下·河南驻马店·月考）已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故选D． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·山东烟台·期中）已知方程组，则的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解三元一次方程该组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴， 故选：A． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，把方程组中的三个方程相加即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， 故选：B． 【题型5】非负数性质构造三元方程组 1.核心知识点 ，转化为三元方程组。 2.解题方法技巧 由非负性列三个方程； 用加减消元快速求解，代回验证。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________，________，________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 【变式题5-1】.（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，代数式求值，非负数的性质：绝对值；偶次方；解决本题的关键是当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 先根据非负数的性质列出方程组，求出x、y、z的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故． 故答案为：． 【变式题5-2】.（23-24八年级上·四川达州·期末）已知x、y、z满足，则的值为______. 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，再解三元一次方程组求得x、y、z的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式题5-3】.（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则，，的值分别是______． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 任何数的绝对值都是非负数，若几个非负数的和为零，则每个非负数分别为零，据此即可求解． 【详解】∵，，，且， ∴，，， ∴，，． 故答案为：，，． 【压轴素养题型】 【题型6】三元一次方程组的实际应用 1.核心知识点 三个未知量、两组等量关系，建立方程组模型。 2.解题方法技巧 设三个未知数，找三个独立等量关系； 列方程组求解，检验是否符合实际意义。 【例题6】.（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 【变式题6-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 【答案】 30 20 15 18 【分析】根据四种水果共买了83千克，用去228元．买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍，列出方程组，然后根据代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】解：设桔子买了x千克，苹果买了y千克，香蕉买了m千克，柿子买了n千克， 根据题意，得， 由③得， 由④得， 把，代入①、②，得， 化简，得， 解得， ∴，， 答：桔子买了30千克，苹果买了20千克，香蕉买了15千克，柿子买了18千克． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·安徽亳州·月考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为，，．双方约定：，，，例如发出，，，则收到，，． (1)当发送方发出一组密码为，，时，则接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码，，时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】(1)接收方收到的密码是，，． (2)发送方发出的密码是，，． 【分析】（1）根据发送方与接收方密码的约定关系，计算出，，即可； （2）根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于，，的方程组，通过解方程组求出发送方发出的密码． 本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 答：接收方收到的密码是，，． （2）由题意得， 解得， 答：发送方发出的密码是，，． 【题型7】整体思想求代数式的值 1.核心知识点 三式整体加减，直接求等组合式。 2.解题方法技巧 系数对称时先三式相加，再分别相减； 不求单个未知数，直接算目标式。 【例题7】.（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·福建泉州·期中）下面是小明同学的一篇学习笔记（部分），请认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例题，解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得，． 把代入①，得． 方程组的解为． (1)类比例题的解法，解方程组； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)实际应用：为促进同学们积极参加体育锻炼、强身健体，七年级1班需要购买篮球、足球、排球若干．若购买2个篮球，4个足球，6个排球，共需388元；若购买2个篮球，5个足球，8个排球，共需479元．则购买篮球、足球、排球各1个需要多少钱？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)103元 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （3）设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元，根据题意列出方程组，解方程组即可得解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得 所以方程组的解为； （2）解：， ①得③， 得：， 则，即无论取何值，的值始终不变； （3）解：设篮球、足球、排球单价分别是元、元、元， 根据题意得：， ①②得： ， 购买篮球、足球、排球各1个需要103元． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·广东深圳·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中的应用极为广泛． 例：当多项式的值为7时，求多项式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，化简的结果是___； (2)已知．求的值； (3)《九章算术》是中国古典数学著作，其中有一个问题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗．上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何．”原文意思为：优质稻子3捆，普通稻子2捆，劣质稻子1捆，能碾39斗米；优质稻子2捆，普通稻子3捆，劣质稻子1捆，能碾34斗米；优质稻子1捆，普通稻子2捆，劣质稻子3捆能碾26斗米．我们假设优质稻子每捆能碾米a斗，普通稻子每捆能碾米b斗，劣质稻子每捆能碾米c斗．请你运用“整体思想”，求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾多少斗米？ 【答案】(1) (2) (3)164斗米 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，以及三元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）由已知等式求出的值，原式变形后整体代入计算即可求出值； （3）根据题意列出三元一次方程组，利用整体代入法求出优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾的米即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：因为， 所以， ； （3）解：根据题意得： ， 由得，， 答：优质稻子13捆，普通稻子9捆，劣质稻子2捆，共能碾164斗米． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·广西南宁·期末）【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组 解：把①代入②得： 把代入①得： 方程组的解为． （2）已知，求的值． 解：得：③ ，得： 【类比迁移】 （1）直接写出方程组的解； （2）若，求的值； 【实际应用】 （3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？ 【答案】（1）方程组的解为；（2）；（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用整体代入法求解即可； （2）①－②得：，然后两边都乘以即可求解； （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可． 【详解】解：（1）， 把②代入①得： ∴ 把代入②得： ∴ ∴方程组的解为． （2）， ①－②得：③ ，得 ． （3）设1个肉粽元，1个豆沙粽元，1个蛋黄粽需要元： 则：， 得：③， ③得： 采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元． 易错点 1.概念判断错误：忽略“整式”“共三个未知数”“次数为1”任一条件。 2.消元混乱：中途更换消元对象，导致变回三元，无法求解。 3.回代遗漏：求出两个未知数后，忘记求第三个未知数。 4.符号与漏乘：相消时不变号、去分母漏乘常数项。 5.书写不规范：解不用大括号联立，步骤缺失。 重点 1.三元一次方程组的定义与判定。 2.代入、加减消元解三元方程组。 3.整体法、换元法等简便运算。 4.由解求参数、实际应用题建模。 难点 1.灵活选择消元对象，简化运算。 2.多步消元中的符号与计算准确性。 3.整体思想与换元思想的理解与运用。 4.复杂情境中提取三个等量关系。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $