10.3解二元一次方程组同步培优讲义（知识点+11大题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

10.3解二元一次方程组同步培优讲义 （知识点+11大题型+过关检测） 【题型1 代入消元法】 2 【题型2 加减消元法】 3 【题型3 根据方程特点灵活选用方法解方程组】 3 【题型4 二元一次方程组的特殊解法】 4 【题型5 二元一次方程组的错解问题】 5 【题型6 构造二元一次方程组求解】 5 【题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 6 【题型8 方程组相同解的问题】 7 【题型9 新定义问题】 7 【题型10 整体思想、换元思想解方程组】 8 【题型11 整数解问题】 9 1. 理解解二元一次方程组的核心思想——消元思想，掌握将二元转化为一元的转化思路，体会化归思想。 2. 熟练掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤，能规范书写解题过程，准确求解二元一次方程组。 3. 能根据方程组的系数特点，灵活选择合适的消元方法，提升解题效率。 03 知识•梳理 （一）核心思想：消元思想 解二元一次方程组的本质是消元，通过代入或加减运算，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再回代求另一个未知数，最终得到方程组的解。 （二）基本解法：代入消元法 1. 适用条件 方程组中有一个未知数的系数为1或-1，或某个方程易变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。 2. 解题步骤（一变二代三解四回代五写解） · 变形：选系数简单的方程，变形为或的形式； · 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数； · 求解：解得到的一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：规范写出方程组的解。 （三）基本解法：加减消元法 1. 适用条件 方程组中同一个未知数的系数相等、互为相反数，或系数成整数倍关系。 2. 解题步骤（一化二乘三加减四解五回代六写解） · 化整：将方程组化为未知数左对齐、常数项右对齐的标准形式； · 乘倍：将某个或两个方程乘以适当的数，使某未知数系数相等或相反； · 加减：系数相等相减，系数相反相加，消去一个未知数； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数； · 回代：回代求另一个未知数； · 写解：规范写出方程组的解。 （四）重要数学思想 · 化归思想：二元→一元，未知→已知； · 整体思想：把含未知数的式子看作整体，简化运算； · 换元思想：用新未知数替换复杂式子，转化为简单方程组求解。 解题注意事项 · 消元时注意符号变化，尤其是减法消元，每一项都要变号； · 回代时优先代入变形后的简单方程，减少计算量； · 求解后需检验，确保解满足两个方程； · 拓展题型先转化为常规方程组，再按步骤求解，不要跳步。 04 题型•汇总 【题型1 代入消元法】 解题方法 优先选系数为±1的方程变形，严格按“变形→代入→求解→回代→写解”步骤操作，避免计算失误。 【典例1】．解方程组：． 跟随训练1-1．解方程组：． 跟随训练1-2．解方程组：． 跟随训练1-3．解方程组：． 【题型2 加减消元法】 解题方法 先统一方程组格式，找准可消去的未知数，系数成倍数时合理乘倍，注意符号变化。 【典例2】．解方程组： 跟随训练2-1．解方程组：． 跟随训练2-2．解方程组： 跟随训练2-3．解方程组． 【题型3 根据方程特点灵活选用方法解方程组】 解题方法 有未知数系数为±1→选代入法； 同一未知数系数相等/相反/成倍数→选加减法； 系数复杂、无明显特征→优先加减法，减少分数运算。 【典例3】．解方程组：． 跟随训练3-1．解方程和不等式组： 跟随训练3-2．解方程组： 跟随训练3-3．解下列方程组 (1) (2) 【题型4 二元一次方程组的特殊解法】 解题方法 针对比例型（设k法）、对称型、含常数项特殊值的方程组，采用比例设参、对称拆分等方法，简化常规消元步骤。 【典例4】．解方程组：． 跟随训练4-1．已知方程组则的值为________． 跟随训练4-2．二元一次方程的解为 5 2 4 二元一次方程的解为 2 3 4 则方程组的解为___________． 跟随训练4-3．【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【题型5 二元一次方程组的错解问题】 解题方法 抓住“错解满足看错系数的方程，正解满足所有方程”，将错解代入看错的方程，正解代入正确方程，联立求参数。 【典例5】．一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 跟随训练5-1．涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解． 跟随训练5-2．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 跟随训练5-3．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是______，的值是______． 【题型6 构造二元一次方程组求解】 解题方法 根据非负数和为0、绝对值相等、同类项等条件，挖掘隐含的等量关系，构造二元一次方程组，再求解未知数。 【典例6】．已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 跟随训练6-1．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 跟随训练6-2．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 跟随训练6-3．写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 解题方法 对于方程组： 唯一解：； 无数解：； 无解：。 【典例7】．若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 跟随训练7-1．若关于的方程组的解满足，则________． 跟随训练7-2．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-3．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【题型8 方程组相同解的问题】 解题方法 两个方程组同解，说明这组解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出解，再将解代入含参数的方程，求参数值。 【典例8】．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 跟随训练8-1．若方程组与的解相同，则__________，__________． 跟随训练8-2．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 跟随训练8-3．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【题型9 新定义问题】 解题方法 严格按照题目给出的新定义规则，将陌生式子转化为二元一次方程组，再按常规方法求解。 【典例9】．定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 跟随训练9-1．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 跟随训练9-2．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 跟随训练9-3．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【题型10 整体思想、换元思想解方程组】 解题方法 整体思想：把、等看作整体，直接加减消元；换元思想：设新字母替换复杂式子，转化为简单方程组，解出后回代求原未知数。 【典例10】．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 跟随训练10-1．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组. 跟随训练10-2．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 跟随训练10-3．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【题型11 整数解问题】 解题方法 先用含一个未知数的式子表示另一个未知数，结合未知数为整数的条件，分析系数整除性，确定取值范围，找出所有整数解。 【典例11】．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 跟随训练11-1．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 跟随训练11-2．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为_____． 跟随训练11-3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________； (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________； A．3个    B．4个    C．5个    D．6个 (3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 05 过关•检测 1．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值是（　　） A． B． C．1 D．2 2．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 5．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 7．已知x，y满足方程组，则的值为_____ ． 8．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 9．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 10．已知，则________，________． 11．已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 12．解二元一次方程组： (1) (2) 13．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 14．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 15．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 16．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.3解二元一次方程组同步培优讲义 （知识点+11大题型+过关检测） 【题型1 代入消元法】 2 【题型2 加减消元法】 4 【题型3 根据方程特点灵活选用方法解方程组】 6 【题型4 二元一次方程组的特殊解法】 9 【题型5 二元一次方程组的错解问题】 11 【题型6 构造二元一次方程组求解】 15 【题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 17 【题型8 方程组相同解的问题】 19 【题型9 新定义问题】 22 【题型10 整体思想、换元思想解方程组】 26 【题型11 整数解问题】 30 1. 理解解二元一次方程组的核心思想——消元思想，掌握将二元转化为一元的转化思路，体会化归思想。 2. 熟练掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤，能规范书写解题过程，准确求解二元一次方程组。 3. 能根据方程组的系数特点，灵活选择合适的消元方法，提升解题效率。 03 知识•梳理 （一）核心思想：消元思想 解二元一次方程组的本质是消元，通过代入或加减运算，消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再回代求另一个未知数，最终得到方程组的解。 （二）基本解法：代入消元法 1. 适用条件 方程组中有一个未知数的系数为1或-1，或某个方程易变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式。 2. 解题步骤（一变二代三解四回代五写解） · 变形：选系数简单的方程，变形为或的形式； · 代入：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数； · 求解：解得到的一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：将求出的未知数的值代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：规范写出方程组的解。 （三）基本解法：加减消元法 1. 适用条件 方程组中同一个未知数的系数相等、互为相反数，或系数成整数倍关系。 2. 解题步骤（一化二乘三加减四解五回代六写解） · 化整：将方程组化为未知数左对齐、常数项右对齐的标准形式； · 乘倍：将某个或两个方程乘以适当的数，使某未知数系数相等或相反； · 加减：系数相等相减，系数相反相加，消去一个未知数； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数； · 回代：回代求另一个未知数； · 写解：规范写出方程组的解。 （四）重要数学思想 · 化归思想：二元→一元，未知→已知； · 整体思想：把含未知数的式子看作整体，简化运算； · 换元思想：用新未知数替换复杂式子，转化为简单方程组求解。 解题注意事项 · 消元时注意符号变化，尤其是减法消元，每一项都要变号； · 回代时优先代入变形后的简单方程，减少计算量； · 求解后需检验，确保解满足两个方程； · 拓展题型先转化为常规方程组，再按步骤求解，不要跳步。 04 题型•汇总 【题型1 代入消元法】 解题方法 优先选系数为±1的方程变形，严格按“变形→代入→求解→回代→写解”步骤操作，避免计算失误。 【典例1】．解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了加减消元法求解二元一次方程组，掌握加减消元法求解二元一次方程组是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组求出解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故方程组的解为． 跟随训练1-1．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， ∴原方程组的解为：． 跟随训练1-2．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是代入消元法的应用．观察方程组中未知数的系数，发现第二个方程中的系数为，便于用含的式子表示，再将其代入第一个方程，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，最后回代求出的值． 【详解】解： 由②得：③； 将③代入①得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 两边同时除以得：； 将代入③得：； 故方程组的解为． 跟随训练1-3．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先对原方程组进行化简，再根据化简后的方程特点选择合适的方法求解即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 由①得，将其代入②，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为． 【题型2 加减消元法】 解题方法 先统一方程组格式，找准可消去的未知数，系数成倍数时合理乘倍，注意符号变化。 【典例2】．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题关键是通过简化方程组后用消元法求解． 整理化简方程组利用加法消元求解． 【详解】解：， 整理，得， 由①，得③， ③②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为：． 跟随训练2-1．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握好加减消元法和代入消元法是解题关键． 使用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 跟随训练2-2．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 则方程组的解为：． 跟随训练2-3．解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 由①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 则方程组的解为：． 【题型3 根据方程特点灵活选用方法解方程组】 解题方法 有未知数系数为±1→选代入法； 同一未知数系数相等/相反/成倍数→选加减法； 系数复杂、无明显特征→优先加减法，减少分数运算。 【典例3】．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据加减消元法求解即可． 【详解】解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 跟随训练3-1．解方程和不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 跟随训练3-2．解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 整理②得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 跟随训练3-3．解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键． （1）运用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）运用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】（1）解：， 由①得 将③代入②得， 解得：， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得 ， 解得：， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 【题型4 二元一次方程组的特殊解法】 解题方法 针对比例型（设k法）、对称型、含常数项特殊值的方程组，采用比例设参、对称拆分等方法，简化常规消元步骤。 【典例4】．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，即③， 得，即④， 得， 解得， 把代入③得， 解得， 所以，方程组的解为． 跟随训练4-1．已知方程组则的值为________． 【答案】9 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解答的关键是结合方程的特点，看出可整体求出其值． 将方程组中的两个方程相加，即可直接求出的值. 【详解】解：给定方程组： 将两个方程相加，得：， 化简，得：， 两边同时除以，得：， 故答案为：． 跟随训练4-2．二元一次方程的解为 5 2 4 二元一次方程的解为 2 3 4 则方程组的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组． 通过比较两个二元一次方程的解，寻找公共解，即可得方程组的解． 【详解】解：根据题意可知，是方程和的公共解， ∴方程组的解为． 故答案为：． 跟随训练4-3．【课本回顾】换元法又称变量替换法，是我们解题常用的方法之一、利用换元法，可以化繁为简，化难为易，从而找到解题的捷径．以下是课本页中的一道习题： 【初步思考】（1）已知的解是，求二元一次方程组的解． 【拓展应用】（2）若关于的二元一次方程组的解是，求关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了利用“换元法”解二元一次方程组． （1）设，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，求出方程组的解，进一步求解即可； （2）令，根据题意得出关于u、v的二元一次方程组，进一步求解即可． 【详解】解：（1）设， 则方程组变为：， ∵的解是， 解得， 解得； （2）整理方程组得， 令， ∵关于的二元一次方程组的解是， ∴， 解得． 【题型5 二元一次方程组的错解问题】 解题方法 抓住“错解满足看错系数的方程，正解满足所有方程”，将错解代入看错的方程，正解代入正确方程，联立求参数。 【典例5】．一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立关于a、b的二元一次方程组． （1）根据一个方程抄错则另一个方程没有抄错，得到关于a、b的二元一次方程组，计算即可得到答案． （2）a、b的值代入原方程，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得： 由可得： 解得：， 把代入①得 解得： ∴ （2）解：把代入原方程组为： 得 解得； 把代入①得， ∴， ∴． 跟随训练5-1．涵涵和轩轩同解一个二元一次方程组，涵涵把方程①抄错，求得解为，轩轩把方程②抄错，求得的解为，求方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． 由于涵涵把方程①抄错，求得解满足方程②，轩轩把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值，再将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】解：涵涵把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又轩轩把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得， 所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 跟随训练5-2．甲、乙两人共同解方程组，甲将①中的看成了它的相反数解得，乙抄错②中的解得，则________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组看错系数问题，涉及解方程（组）、代数式求值等知识，根据题意，得到正确的方程求解即可得到答案．掌握二元一次方程组看错系数问题的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：甲将①中的看成了它的相反数解得，则②是正确的， ∴，且， 解得； 乙抄错②中的解得，则①是正确的， 即， ∴； 联立，解得， ， 故答案为：． 跟随训练5-3．甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错而解得，则的值是______，的值是______． 【答案】 4 5 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，和都是方程的解，分别代入得到关于的方程组，再解方程组即可求出的值． 【详解】解：将和分别代入，得， 解得：， 的值是4，的值是5． 故答案为：4；5． 【题型6 构造二元一次方程组求解】 解题方法 根据非负数和为0、绝对值相等、同类项等条件，挖掘隐含的等量关系，构造二元一次方程组，再求解未知数。 【典例6】．已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，明确其定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，的系数必须为零，且y的指数必须为1，由此列出方程组求解． 【详解】由一元一次方程的定义，得， 解得， 所以． 故答案为：． 跟随训练6-1．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式的值，则的值为______． x 0 1 2 2 5 8 【答案】6 【分析】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组．根据表格数据，选取和时的对应值，代入整式中，解方程组求m和n的值，再计算． 【详解】解：由表格可知，当时，，即， 解得； 当时，，即， 代入，得， 解得． 因此． 故答案为：6． 跟随训练6-2．关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，代数式的代入变形，掌握系数比较法是解题关键． 由原方程组的解可得和的表达式，代入新方程组后通过比较系数求解． 【详解】解：由已知方程组的解为， 代入得，， 将和代入新方程组， 得， 比较系数可得． 故答案为：． 跟随训练6-3．写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 【题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 解题方法 对于方程组： 唯一解：； 无数解：； 无解：。 【典例7】．若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为______． 【答案】 【分析】直接两个方程相加，结合解互为相反数得到，整理代入列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴两个方程相加得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数， ∴， 解得， 故答案为：． 跟随训练7-1．若关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 跟随训练7-2．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 【详解】解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 跟随训练7-3．已知关于，的方程组，如果，那么的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知式子的值，求二元一次方程组的参数，将方程组转化为与相关的式子，代入计算即可． 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得， 故选B． 【题型8 方程组相同解的问题】 解题方法 两个方程组同解，说明这组解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出解，再将解代入含参数的方程，求参数值。 【典例8】．关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了同解方程组的求解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的解． 先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴先解方程组， ，得； ，得； ，得， ∴； 把代入，得， 即， 解得， 将代入， 得， ①+②，得， 两边同时除以8，得， 故选：B． 跟随训练8-1．若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 跟随训练8-2．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 跟随训练8-3．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 【题型9 新定义问题】 解题方法 严格按照题目给出的新定义规则，将陌生式子转化为二元一次方程组，再按常规方法求解。 【典例9】．定义一种运算如下：，和均为常数，已知：，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二元一次方程组的应用；根据新定义运算，建立关于a、b的二元一次方程组，求出a、b后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解方程组，得：， 所以， 故答案为：4． 跟随训练9-1．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 跟随训练9-2．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 跟随训练9-3．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【题型10 整体思想、换元思想解方程组】 解题方法 整体思想：把、等看作整体，直接加减消元；换元思想：设新字母替换复杂式子，转化为简单方程组，解出后回代求原未知数。 【典例10】．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以原方程组的解为，这种解法称为“整体代入法”．请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解：， 先将看作一个整体， 则整理①，得③， 将③整体代入②，得， 解得． 把代入③得， 解得， ∴原方程组的解为． 跟随训练10-1．先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组，在本题中，先将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得．把代入①得，所以，这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组. 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．模仿题干，利用整体代入法解方程组，即可作答． 【详解】解： 先将看作一个整体， 则整理①得， 将整体代入，得， 解得． 把代入得， 解得， ∴ 跟随训练10-2．阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 跟随训练10-3．换元法是把一个比较复杂的代数式的一部分看成一个整体，用另一个字母代替这整体（即换元）的方法，好处是能使式子得到简化，便于解决问题，充分体现数学的整体思想． (1)填空：解方程组时，把和分别看成一个整体，即设，，则原方程组可化为关于a、b的方程组解得a、b的值；这样可得，从而得到原方程组的解为． (2)请用换元法解方程：． 【答案】(1)，；1，3 (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程组的特殊解法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合上下文，则得，再运用加减消元法解，，再得，同理解得，即可作答． （2）模仿题干过程，先设，则原方程组可化为关于a、b的方程组，运用加减消元法解得，，则同理解得原方程组的解为，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设，， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 故答案为：，；1，3． （2）解：∵， ∴设， 则原方程组可化为关于a、b的方程组， 由得， 解得， 把代入， 得， ∴ ∴， 整理得， 两式子相加得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴原方程组的解为． 【题型11 整数解问题】 解题方法 先用含一个未知数的式子表示另一个未知数，结合未知数为整数的条件，分析系数整除性，确定取值范围，找出所有整数解。 【典例11】．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 跟随训练11-1．已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 【详解】解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． 跟随训练11-2．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解，且整数的所有可能的值为_____． 【答案】2031 【分析】本题考查二元一次方程组的整数解问题，涉及数的整除性．解题中应用了解方程组的消元法得到未知数的表达式，结合整数解的条件分析出参数满足的条件，通过解方程组得到x和y的表达式，利用整数解的条件得出k满足的条件，再结合k的范围求解． 【详解】解：∵， 解方程组得，， ∵，为整数， ∴和均可以被41整除， 设（m为整数），则； 我们希望能被4整除．我们可以把41和35拆成4的倍数加余数： ∴； 代入上式： ； ∵等式左边是4的倍数，右边前半部分也是4的倍数，所以剩下的也必须是4的倍数． 设（t为整数），即． 把代入： ， 得． ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∴． 故答案为：2031． 跟随训练11-3．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得为正整数，要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入，所以的正整数解为 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解___________； (2)若为自然数，则满足条件的正整数的值有___________； A．3个    B．4个    C．5个    D．6个 (3)关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)B (3)或 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键． （1）先仿照题意得到，再根据x、y是正整数求解即可； （2）根据题意得出的值为6或3或2或1，据此求解即可； （3）利用加减消元法消去x，用含k的式子表示出y，根据y为正整数求出k的值，再带回验证x的值是否为正整数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴x必须是2的倍数， ∴当时，， ∴方程的正整数解为； （2）解：解：∵为自然数， ∴的值为6或3或2或1， ∴正整数x的值有9，6，5，4，共4个， 故选：B； （3）解：解：， 得：， 解得：， ，是正整数，是整数， ∴的值为1或3， 或， 当时，此时,则，解得，符合题意； 当时，此时,则，解得，符合题意； ∴或。 05 过关•检测 1．若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程的左右两边分别相减可得，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 2．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 3．创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【详解】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． 4．已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么数，的值始终不变其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，先解方程组得到解为，，然后逐一验证三个结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 代入②得：， 结论①：当与互为相反数时，， ∴， ∴，正确； 结论②：当时，，，方程，且，正确； 结论③：，为定值，正确； ∴①②③都正确； 故选：D． 5．对于任意有理数，，，，我们规定，已知，同时满足，则满足条件的和的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，解二元一次方程组．根据定义将行列式转化为二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：由新定义得， ， 得方程组： 解得， 故选：B． 6．若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 【详解】解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 7．已知x，y满足方程组，则的值为_____ ． 【答案】6 【分析】本题可运用加减消元的思路，将方程组中的两个方程直接相加，即可直接得出的值，无需单独求解． 【详解】解：， ①②得：， 合并同类项得：， 故答案为：6． 8．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解是，进行类比可得，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是， ∴关于的二元一次方程组中， 解得：， 故答案为：． 9．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 10．已知，则________，________． 【答案】 2 /0.5 【分析】本题考查非负数的性质、解二元一次方程组，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零时，每个项必须为零，从而得到二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：由已知方程 ， 根据非负数的性质，得 即 将方程①乘以 2，得 将方程③与方程②相加，得，， 将代入方程①，得，，，． 故答案为：2，． 11．已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 12．解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 方程组整理为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 13．下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键． （1）根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法； （2）根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； （3）更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； （4）根据计算步骤中的变换适当给出建议即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法． （2）解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2． （3）解：①×2得：，③ ②+③得：， 解，得， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． （4）解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号．（合理即可） 14．对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【点睛】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 15．定义：关于的二元一次方程（其中互不相等）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为． (1)方程的“变更方程”为_____； (2)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为_____； (3)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于、的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得方程即可； （2）联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“变更方程”为， 故答案为：； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“变更方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得， 即， ∴ ． 16．【新知理解】善于思考的小港同学在解方程组时，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”．例：解方程组 解：将方程①移项，得③． 把方程③代入②，得． 解得． 把代入③，得． 解得． ∴原方程组的解为． 上面的解法中，将看作一个整体代入方程，使计算更简便，这体现了数学的整体思想． 【方法运用】请仿照上述方法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）将方程①移项，得③，代入②求出，把代入③求出即可； （2）由①得，③，把③代入②求出，把代入①求出即可． 【详解】（1）解：将方程①移项，得③ 把方程③代入②得 解得 把代入③，得 ∴方程组的解为 （2）解：由①得，③ 把③代入②得 解得 把代入①得， 解得 ∴方程组的解为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $