2026年中考数学一轮复习图形的性质 0.2 一般三角形及其性质(角平分线问题)

图形的性质 0.2 一般三角形及其性质(角平分线问题) 考点1: 三角形的分类 1. 按角分类： ①锐角三角形(三个内角均小于90°)；②直角三角形(有一个内角是90°)；③钝角三角形(有一个内角大于90°). 2. 按边分类：(1)三边都不相等的三角形；(2)等腰三角形：①底边和腰不相等的等腰三角形、②等边三角形 考点2: 三角形的基本性质 三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(判断能否构成三角形的重要依据) 内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 边角关系 在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角⁠ 内外角关系 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 考点3: 三角形中的重要线段 特殊线段/直线 图示 结论 中线 (线段) AD是△ABC中BC边的中线 (1)BD＝DC＝BC； (2)S△ABD＝S△ADC＝S△ABC； (3)重心：三角形三条中线的交点 高线 (线段) AD为△ABC中BC边上的高线 (1)∠ADB＝∠ADC＝90°(AD⊥BC)； (2)S△ABC＝BC·AD； (3)垂心：三角形三条高所在直线的交点 角平分线 (线段) AD为△ABC中∠BAC的平分线 (1)∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)DE＝DF； (3)内心：①三角形三条角平分线的交点； ②内心到三角形三边的距离相等 中位线 (线段) DE为△ABC的中位线 (1)AD＝DB，AE＝EC； (2)DE∥BC，且DE＝BC； (3)△ADE与△ABC的相似比为1∶2，面积比为1∶4 垂直平分线 (直线) DE是△ABC中BC边的垂直平分线 (1)DE⊥BC； (2)BE＝CE，BD＝CD； (3)外心：①三角形的三条边的垂直平分线的交点； ②外心到三角形三个顶点的距离相等 练习1. 1. 若一个三角形的两边长分别为3cm，6 cm，则它第三边的长可能是( ). A.2cm B.3cm C.6cm D.9cm 2. 已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为( ). A.8 B.2 C.16 D.4 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AE于点D，E是AB的中点，则DE的长为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( ). A.∠BAC＝70° B.∠DOC＝90° C.∠BDC＝35° D.∠DAC＝55° 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为 . 6. 如图，已知点D为∠BAC的平分线上一点，直线l垂直平分AD，交AC于点F，连接DF，过点D作DE⊥AC于点E.若AD＝10，∠BAC＝60°，则△DEF的周长为 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4 时，四边形DEFG面积S的取值范围是 . 题型：遇到角平分线如何添加辅助线 ①遇角一边的垂线，考虑运用角平分线定理→过角平分线上的点作一边的垂线 原理：(1)角平分线上一点到角两边的距离相等；(2)两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等. 作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B. 结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP 练习2. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝12，若S△ABD＝12，则CD的长为 . 2. 如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点D是OC上一点，过点D作OA的垂线，交OA于点E，交OB于点F，若DE＝1，则DF的长为 . 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交边AC于D点.若AB＝5，CD＝3，那么BC的长为( ). A.7.5　　     B.10　　     C.11　 　    D.9 ②遇角平分线的垂线，考虑构造等腰三角形→过角平分线上的点作角平分线的垂线 原理：(1)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B. 结论：△OAB是等腰三角形 练习3. 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AD，若BD＝2，则AE的长为 . 2. 如图，点D在△ABC内部，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，连接CD．若△BCD的面积为2，则△ABC的面积为 .    3. 如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC－AB＝5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为 . ③遇角平分线(或边)上一点，考虑作平行线构造等腰三角形 →过角平分线上的点作边的平行线；过边上的点作角平分线的平行线 原理：(1)两直线平行，内错角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)等角对等边. 作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q. (1) (2) 结论：△OPQ为等腰三角形 练习4. 1. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，则 的值为 . 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 . 3. 如图，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BD的中点，连接AE，若CD＝5，则AE的长为 . ④截长补短构造轴对称图形→在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；延长被平分的角的短边至与长边相等 原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 作法一：截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE， 结论：△ABD≌△AED； 作法二：补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF， 结论：△AFD≌△ACD 练习5. 1. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为( ). A．2 B． C． D．3 3. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 图形的性质 0.2 一般三角形及其性质(角平分线问题) 考点1: 三角形的分类 1. 按角分类： ①锐角三角形(三个内角均小于90°)；②直角三角形(有一个内角是90°)；③钝角三角形(有一个内角大于90°). 2. 按边分类：(1)三边都不相等的三角形；(2)等腰三角形：①底边和腰不相等的等腰三角形、②等边三角形 考点2: 三角形的基本性质 三边关系 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(判断能否构成三角形的重要依据) 内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 边角关系 在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角⁠ 内外角关系 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 考点3: 三角形中的重要线段 特殊线段/直线 图示 结论 中线 (线段) AD是△ABC中BC边的中线 (1)BD＝DC＝BC； (2)S△ABD＝S△ADC＝S△ABC； (3)重心：三角形三条中线的交点 高线 (线段) AD为△ABC中BC边上的高线 (1)∠ADB＝∠ADC＝90°(AD⊥BC)； (2)S△ABC＝BC·AD； (3)垂心：三角形三条高所在直线的交点 角平分线 (线段) AD为△ABC中∠BAC的平分线 (1)∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)DE＝DF； (3)内心：①三角形三条角平分线的交点； ②内心到三角形三边的距离相等 中位线 (线段) DE为△ABC的中位线 (1)AD＝DB，AE＝EC； (2)DE∥BC，且DE＝BC； (3)△ADE与△ABC的相似比为1∶2，面积比为1∶4 垂直平分线 (直线) DE是△ABC中BC边的垂直平分线 (1)DE⊥BC； (2)BE＝CE，BD＝CD； (3)外心：①三角形的三条边的垂直平分线的交点； ②外心到三角形三个顶点的距离相等 练习1. 1. 若一个三角形的两边长分别为3cm，6 cm，则它第三边的长可能是( C ). A.2cm B.3cm C.6cm D.9cm 2. 已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为( A ). A.8 B.2 C.16 D.4 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AE于点D，E是AB的中点，则DE的长为( A ). A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( B ). A.∠BAC＝70° B.∠DOC＝90° C.∠BDC＝35° D.∠DAC＝55° 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，已知cos∠CAD＝，AB＝26，则点B到AD的距离为 10 . 6. 如图，已知点D为∠BAC的平分线上一点，直线l垂直平分AD，交AC于点F，连接DF，过点D作DE⊥AC于点E.若AD＝10，∠BAC＝60°，则△DEF的周长为 5＋5 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 1.2 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4 时，四边形DEFG面积S的取值范围是 3≤1≤4 . 题型：遇到角平分线如何添加辅助线 ①遇角一边的垂线，考虑运用角平分线定理→过角平分线上的点作一边的垂线 原理：(1)角平分线上一点到角两边的距离相等；(2)两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等. 作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B. 结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP 练习2. 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝12，若S△ABD＝12，则CD的长为 2 . 2. 如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点D是OC上一点，过点D作OA的垂线，交OA于点E，交OB于点F，若DE＝1，则DF的长为 . 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交边AC于D点.若AB＝5，CD＝3，那么BC的长为( A ). A.7.5　　     B.10　　     C.11　 　    D.9 ②遇角平分线的垂线，考虑构造等腰三角形→过角平分线上的点作角平分线的垂线 原理：(1)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B. 结论：△OAB是等腰三角形 练习3. 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AD，若BD＝2，则AE的长为 4 . 2. 如图，点D在△ABC内部，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，连接CD．若△BCD的面积为2，则△ABC的面积为 4 .    3. 如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，AC－AB＝5，若S△BDC的最大值为30，则BC长为 24 . ③遇角平分线(或边)上一点，考虑作平行线构造等腰三角形 →过角平分线上的点作边的平行线；过边上的点作角平分线的平行线 原理：(1)两直线平行，内错角相等；(2)两直线平行，同位角相等；(3)等角对等边. 作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q. (1) (2) 结论：△OPQ为等腰三角形 练习4. 1. 如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，则 的值为 2 . 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为 1 . 3. 如图，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E是BD的中点，连接AE，若CD＝5，则AE的长为 . ④截长补短构造轴对称图形→在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；延长被平分的角的短边至与长边相等 原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 作法一：截长法：在AC上截取AE＝AB，连接DE， 结论：△ABD≌△AED； 作法二：补短法：延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF， 结论：△AFD≌△ACD 练习5. 1. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是( B ). A．1 B．2 C．3 D．4 2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BD，AB＝5，BD＝4，CD＝3，点E是AC的中点，则BE的长为( C ). A．2 B． C． D．3 3. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，则BC的长为 2 ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $