第4章 平面内的两条直线 复习（课件） 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版·七年级下册 第4章 平面内的两条直线 复习 角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征 同位角 同旁 内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 都在截线同侧 都在被截线之间 这三类角都是没有公共顶点的 其中对顶角有：∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8. 同位角有：∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7. 内错角有：∠1和∠6， ∠4和∠5. 同旁内角有：∠1和∠5， ∠4和∠6. 解 由图可知， 如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角.指出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角. 例4 例5 如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗? 1 2 3 A B C D M N 解：因为∠1 =∠3(对顶角相等)， ∠1 = ∠2(已知)， 所以∠2 = ∠3(等量代换). 两条直线被第三条直线所截， 如果有一对同位角相等，则内错角相等. 练一练：识别哪些角是同位角、内错角、同旁内角 1 2 (1) 同位角 1 2 (2) 1 2 (3) 1 2 (4) 1 2 (5) 1 2 (6) 1 2 (7) 1 2 (8) 1 2 1 2 (9) (10) 同位角 同位角 同位角 同位角 内错角 同旁内角 无 无 无 1. 请举出生活中对顶角的例子. 教材P74 练习 对顶角相等 2. 如图， 工人师傅用对顶角量角器量工件 a，b 边所夹的角，其中∠1 的度数可以从仪器上读出． 试说明∠1 的大小就是a，b边所夹角的大小的理由. 3. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，试找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角．若∠1 ＝∠5 ＝ 107 °， 求其他角的度数． 解：对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4， ∠6和∠8， ∠5和∠7. 同位角有∠1和∠5，∠2和∠6， ∠4和∠8， ∠3和∠7. 内错角有∠3和∠5， ∠2和∠8. 同旁内角有∠2和∠5， ∠3和∠8. ∠3 = ∠7 = 107°，∠2 =∠4 =∠6 =∠8 =73° a b c 4 3 1 2 5 8 7 6 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 邻补角 对顶角相等 和为180° 两直线相交 两直线被第三条直线所截形成的角 课堂小结 F Z U 生活中的数学：三线八角手势记忆法 同位角 内错角 同旁内角 学而时习之 判断(对的画“√”，错的画“×”). 在同一平面内，若直线 a∥b，直线c 与直线 a 相交， 则直线 c∥b. ( ) (2) 有公共顶点且相等的角是对顶角. ( ) 1 × × 如图，AD//BE，AB//DC，∠DCE=78°，求∠A，∠B，∠D的度数. 2 解: 因为 AB∥CD，∠DCE ＝ 78° ， 所以∠B ＝∠DCE ＝ 78°. 因为 AD∥BE ， 所以∠D ＝∠DCE ＝78°，∠A＋∠B ＝180°. 所以∠A ＝180°－∠B ＝180°－78° ＝102°. 所以∠A，∠B，∠D 的度数分别为 102°，78°，78°. 如图，AC//DE，AB//CD，∠D+∠E=180°.填空并在括号内填写理由： 因为_________________(已知)， 所以∠A+∠C=180°( ). 又因为AC//DE(已知)， 所以_____=∠D( ). 所以∠A+∠D=180°. 又∠D+∠E=180°(已知)， 所以∠A=∠E ( ) 3 AB∥CD 两直线平行，同旁内角互补 ∠C 两直线平行，内错角相等 等量代换 如图，直线 a，b被直线 c，d 所截. 找出能使a//b的一个条件，并说明理由； 找出能使c//d的一个条件，并说明理由. 4 解:(1) 例如:∠1＝∠2，则 a∥b，理由:同位角相等，两直线平行； 或∠2＝∠3，则a∥b，理由:内错角相等，两直线平行； 或∠3＋∠4＝180°，则a∥b，理由: 同旁内角互补，两直线平行； 或∠5＋∠6＝180°，则a∥b，理由:如果∠5＋∠6 ＝ 180°，那么∠5 与∠6 的对顶角之和等于180°，即同旁内角互补，两直线平行，则 a∥b. (答案不唯一) (2) 例如∠3＝∠5，则 c∥d，理由: 同位角相等，两直线平行， 或∠4＝∠6，则 c∥d，理由:内错角相等，两直线平行， 或∠1＝∠5，则 c∥d，理由:如果∠1 ＝ ∠5，那么∠3＝∠5， 即同位角相等，两直线平行，则 c∥d， 或∠2＋∠6＝180°，则 c∥d，理由:如果∠2＋∠6＝180°，那么∠6 与∠2 的对顶角之和等于180°，即同旁内角互补，两直线平行，则 c∥d. 如图，直线 a，b被直线 c，d 所截. 找出能使a//b的一个条件，并说明理由； 找出能使c//d的一个条件，并说明理由. 4 如图，∠1=∠2，∠A = 65°，求∠ADC 的度数(用两种方法). 5 解:因为∠1＝∠2， 所以 AB∥DC， 所以∠A＋∠ADC ＝180°. 因为∠A ＝65°， 所以∠ADC ＝180°－∠A ＝180°－65° ＝115°. 解:因为∠A ＝65°， 所以∠1+∠ADB = 180°－65°=115°. 又因为∠1＝∠2， 所以∠ADC =∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=115°. 方法一： 方法二： 点 B在点 A北偏东 30°的方向，点 C在点 B北偏西 60°的方向，且BC=12 m. 如图所示，问点 C 到直线 AB 的距离是多少? 6 解: 根据题意知，在点 A 与点 B 处的正北 方向是平行的， 所以 30°＋∠ABC ＋ 60° ＝ 180°. 所以∠ABC ＝90°， 所以 CB⊥AB. 因为BC ＝12 m， 所以点 C 到直线 AB 的距离是线段 CB 的 长度，即 12 m. 根据下列语句画出图形: (1)过△ABC 内一点 P，分别作AB，BC，CA 的平行线； (2)过直线 AB 上的一点D 作AB 的垂线 DQ，使得 DQ =1 cm. 7 解: (1) 如下图所示. (2)如下图所示. D Q 温故而知新 如图，AE∥BC，AE平分∠DAC.填空并在括号内填写理由: 因为 AE∥BC， 所以 ∠B=______( )， ∠C=______( ) . 又因为AE平分∠DAC， 所以 ______=______( ). 所以∠B =∠C. 8 ∠DAE 两直线平行，同位角相等 ∠EAC 两直线平行，内错角相等 ∠DAE ∠EAC 角平分线的定义 如图，l1//l2，∠ABC=120°，l1⊥AB. 求∠α的度数. 9 解: 过 B点作直线l2'，使得l2′∥l1，如图所示. 因为 l1⊥AB，l2′∥l1， 所以 BD⊥AB，所以∠ABD ＝90°. 又因为l1//l2，所以l2′∥l2 ， 所以∠α ＝∠DBC ＝∠ABC－∠ABD ＝120°－90°＝30°. 如图，已知∠1+∠2=180°. 判断AB与EF的位置关系，并说明理由； 若∠3=∠B，∠C=40°，求∠DEC的度数. 10 解：(1) AB∥EF. 理由如下： 因为∠DFE+∠1 =180°，∠1+∠2=180°， 所以 ∠DFE = ∠2. 所以 AB∥EF. 如图，已知∠1+∠2=180°. 判断AB与EF的位置关系，并说明理由； 若∠3=∠B，∠C=40°，求∠DEC的度数. 10 (2) 因为AB∥EF， 所以∠BDE +∠3=180°. 又因为∠3=∠B， 所以∠BDE +∠B =180°. 所以DE∥BC . 因为∠C= 40 °， 所以∠DEC= 180°-40 °=140°. 已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°. (1) 当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数. 11 解：(1) 因为AB∥DC， 所以∠DCB=∠B . 又因为∠B=180°-∠ACB-∠BAC=30°， 所以 ∠DCB=∠B=30°. ① 已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°. (2) 当CD与CB重合时，如图②，判断BE与AC的位置关系，并说明理由. 11 ② (2) BE∥AC .理由如下： 因为∠ACB=∠CDE=90°， 所以 BE∥AC . 已知三角形的三个内角的度数之和是180°，如图将两个三角板按不同位置进行摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°. (3) 当AB∥EC时，如图③，求∠DCB的度数. 11 ③ (3) 因为AB∥EC ， 所以∠B=∠ECB=30°. 又因为∠CDE=90°，∠DEC=45°， 所以∠DCE=45°. 所以∠DCB=∠DCE - ∠ECB=15°. 解:因为 OF⊥CD， 所以∠COF ＝∠DOF ＝90°. 因为∠AOF ＝28°， 所以∠AOD ＝∠AOF＋∠FOD ＝28°＋90° ＝118°. 所以∠BOC ＝∠AOD ＝118°. 又因为∠COF ＝90°，∠AOF ＝28°， 所以∠AOC ＝90°－28° ＝62°. 所以∠DOB ＝∠AOC ＝62°. 因为 OE⊥AB， 所以∠EOB ＝90°， 所以∠EOD ＝∠EOB－∠DOB ＝90°－62° ＝28°. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OE⊥AB于点 O，射线 OF⊥CD 于点 O，且∠AOF=28°.求∠BOC与∠EOD 的度数. 12 28° 上下而求索 下列各图中的MA1与NAn(n是正整数)平行. 13 图①中的∠A1+∠A2=______度， 图②中的∠A1+∠A2+∠A3=______度， 图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=______度， 图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=______度， …… 第10个图中的∠A1+∠A2+∠A3+···+∠A11=______度， (2) 第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+···+∠An+1=______度. ① ② ③ ④ …… 180 360 540 720 1800 180 n (1) 如图①，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由. 14 解:(1) AB∥CD. 理由如下: 因为 CE平分∠ACD， AE平分∠BAC， 所以 ∠ACE＝∠DCE，∠EAC＝∠BAE. 又因为∠EAC＋∠ACE＝90° ， 所以∠BAC＋∠DCA ＝∠BAE+∠EAC+∠DCE+∠ACE＝180°. 所以 AB∥CD. ① (2) 如图②，在(1)的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时(点C 除外)，∠CPQ+∠CQP 与∠BAC有何数量关系？请写出你的结论并说明理由. 14 ② (2) ∠CPQ +∠CQP=∠BAC. 理由如下: 因为∠CPQ+∠CQP=∠ACF，AB∥CD， 所以∠ACF=∠BAC， 所以∠CPQ+∠CQP =∠BAC. F (3) 如图③，在(1)的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由. 14 ③ N 延长线段AE交直线CD于点N，如图所示. 因为AB∥CD，所以∠BAN=∠ANC， 又因为∠BAN+∠NCE=90°，∠NCE= ∠MCD， (3) ∠BAE+ ∠MCD = 90°.理由如下: 所以∠BAE + ∠MCD = 90°. $