4.1.2 相交直线所成的角（课件） 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版（2024）七年级下册 4.1.2 相交直线所成的角 核心素养 1.理解对顶角的概念，探索并掌握“对顶角相等”，增强推理能力。 2.识别同位角、内错角、同旁内角。在角分析比较的过程中，学会关注事物的共性，分辨事物的差异，提升抽象能力，发展模型观念。 观察 直线与直线相交于一点，并形成了四个角. 将其抽象，就可得到如图4.1-8的几何图形 你发现了什么？ 图4.1-8 观察 图4.1-8 图中∠1 和 ∠3、∠2 和∠4它们有什么特征? ① 有共同顶点； ② 两边互为反向延长线 有共同的顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的一对角叫作对顶角. 例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ） D 1 2 A 1 2 B 方法总结：对顶角是由两条直线相交形成的． 1 2 D 1 2 C 典例精析 O 2 1 3 4 E B A C D 如图所示，直AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是_______，∠4的对顶角是_______ . ∠AOD ∠3 猜想：对顶角相等. C O A B D 4 3 2 1 问题：对顶角∠1 与∠3 在数量上又有什么关系呢？ 对顶角的性质 思考：你能利用有关知识来推导∠1 与∠3 的数量关系吗？ 我们已经知道平角为 180°，因而∠1 与∠2，∠2 与∠3，∠3 与∠4，∠4 与∠1 的和均为 180°. 2 O A B C D 4 3 2 1 已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点(如图)， 试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4. 解：因为 直线 AB 与 CD 相交于 O 点， 所以∠1 +∠2 = 180°， ∠2 +∠3 = 180°. 所以∠1 =∠3(同角的补角相等). 同理可得∠2 =∠4. 应用格式：因为 直线 AB 与 CD 相交于 O 点， 所以∠1 =∠3，∠2 =∠4. 想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 对顶角相等 ∠2 = 180°－∠1 = 140°. a b ） （ 1 3 4 2 例2 如图，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数. 因为直线 a 与 b 相交于一点， ∠1 = 40°， 所以∠3 =∠1 = 40°， 解： 所以∠4 =∠2 = 140°. 2. 如图，若∠2 是 ∠1 的 3 倍，则∠1，∠2，∠3，∠4 各个角的度数分别为_____________________. 1. 如图，若 ∠1 +∠3 = 60°，则∠4 的度数为_____. 150° 45°，135°，45°，135° 变式训练： 8 授 新 探究一：∠1 和∠5 的位置关系 ①在直线MN的同一侧（右边） ②在直线AB、CD的同一方（上方） 同位角 11 授 新 探究二：∠3 和∠5 的位置关系 ①在直线MN的两侧 ②在直线AB、CD之间 内错角 14 授 新 探究三：∠3 和∠6 的位置关系 ①在直线MN的同一侧(左侧) ②在直线AB、CD的之间 同旁内角 15 授 新 观察：图中的同旁内角还有哪些？ ∠4和∠5 16 结 总 角的名称 角的特征 基本图形 基本图形 相同点 共同特征 同位角 同旁 内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 都在截线同侧 都在被截线之间 没有公共顶点 18 例 典 对顶角有：∠1和∠3， ∠2和∠4， ∠5和∠7， ∠6和∠8. 同位角有：∠2和∠5， ∠1和∠8， ∠3和∠6， ∠4和∠7. 内错角有：∠1和∠6， ∠4和∠5. 同旁内角有：∠1和∠5， ∠4和∠6. 解: 由图可知： 如图，直线 EF 与 直线AB，CD分别相交，构成 8 个角。指出图中所有的内错角、同旁内角、对顶角和同位角。 例1 19 例 典 由上可知：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等。 如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1与∠2相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗? 例2 解： ∠1 ＝∠3 （对顶角相等） ∠1 ＝∠2 （已知） ∠2 ＝∠3 （等量代换） 21 固 巩 1.如图，直线a，b被直线c所截，试找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角．若∠1 ＝∠5 ＝ 107°,求其他角的度数 解：内错角有∠3和∠5， ∠2和∠8 同旁内角有∠2和∠5， ∠3和∠8 对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4， ∠6和∠8， ∠5和∠7 同位角有∠1和∠5，∠2和∠6， ∠4和∠8， ∠3和∠7 ∠3 = ∠7 = 107°，∠2 =∠4 =∠6 =∠8 =73° a b c 4 3 1 2 5 8 7 6 21 固 巩 2.如图，指出下列各对角分别是什么角，它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的. (1) 与 (2) 与 . (第2题图) 3.如图，在括号内填写理由: 已知 因为 所以 (第3题图) 22 展 拓 (第4题图) (第5题图) 4.如图，找出图中所有的对顶角、同位角、内错角和同旁内角 5. 如图，在图中分别找出一个角与 a配对，使两个角成为: (1)同位角; (2)内错角; (3)同旁内角. 并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的. 23 结 小 对顶角 同位角 内错角 同旁内角 邻补角 对顶角相等 和为180° 两直线相交 两直线被第三条直线所截形成的角 F Z U 几何的线条终会相交或平行，但人生的故事由你们定义。愿你们在知识的海洋里“同位”共进， 在困难面前“同旁”互助， 在差异中发现“内错”的惊喜， 在成长中守住“对顶”的真诚。 1. 如图，∠1 与∠ 2是同位角的对数有（ ） D A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 随堂演练 2. 下列各图中，∠1，∠2 是对顶角吗？ ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 2 1 不是 是 不是 3. 如图，直线 AB、CD 被 DE 所截，则∠1和______是同位角，∠1和_____是内错角，∠1和______是同旁内角，如果∠1=∠5，那么∠1_____∠3. ∠3 ∠5 ∠2 = 4. 如图，∠DAB 和∠ABC 的位置关系是（ ） A. 同位角 B. 同旁内角 C. 内错角 D. 以上结论都不对 5. 如图，∠1 和 ∠2 不能构成同位角的图形是（ ） C D A D B C E 6. 如图，∠1和∠4 是 AB、 被 所截得的 角；∠3和∠5是 、 被 所截得的 角；∠2和∠5是 、 被 所截得的 角；AC、BC被AB所截得的同旁内角是 . CD BE 同位 AB BC AC 同旁内 AB CD AC 内错 ∠4和∠5 (2) 如图 2，若 ED，BC 被 AF 所截，则∠3 与____是内错角； (1) 如图 1，若 ED，BF 被 AB 所截，则∠1 与____是同位角； 7. 看图填空： ∠2 ∠4 图1 图2 (3) 如图 3，∠1 与∠3 是 AB 和 AF 被_____所截构成的 角； DE 内错 (4) 如图 4，∠2 与∠4 是 和 被 BC 所截构成的_____角. AB AF 同位 图3 图4 8. 如图，直线 AB、CD 被 EF 所截，如果∠1与∠2互补，且∠1=110°，那么∠3、∠4的度数是多少? 解：因为∠1 = 110°，∠1+∠2 = 180° 所以∠2 = 70° 所以∠3 =∠2 = 70°(对顶角相等) 因为∠1和∠4互补， 所以∠4 = 70° 解：(1)∠AOC 的补角是∠AOD 和∠COB； ∠BOE 的补角是∠EOA 和∠BOF. 9. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O. (1) 写出∠AOC，∠BOE 的补角； (2) 写出∠DOA，∠EOC 的对顶角； (3) 如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB 的度数. A E D B F C O (2)∠DOA 的对顶角是∠COB； ∠EOC 的对顶角是∠DOF. (3)∠BOD =∠AOC = 50°， ∠COB = 180° -∠AOC = 130°. 10. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，∠EOC = 70°， OA 平分∠EOC ，求∠BOD 的度数. A B C D E O 解：因为 OA 平分∠EOC， 所以∠AOC = ∠EOC = 35°. 所以∠BOD =∠AOC = 35°. 拓展题：观察下列各图，寻找对顶角 (不含平角) . (1) 如图 1，图中共有 对对顶角； (2) 如图 2，图中共有 对对顶角； (3) 如图 3，图中共有 对对顶角； (4) 研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有 n 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； (5) 若有 10 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角. 图1 图2 图3 2 6 12 n(n-1) 90 例 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O， ∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2 的度数. 解：因为∠1＝40°， ∠BOC＝110° (已知)， 所以∠BOF＝∠BOC －∠1 ＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)， 所以∠2＝70° (等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”. 1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交，若∠1 +∠5 = 180°， 找出图中与∠1 相等的角. 解：∠1 =∠3 (对顶角相等). D B E A C F 1 2 3 4 5 6 8 7 因为∠5 +∠8 = 180°，且∠1 +∠5 = 180°， 所以∠8 =∠1. 因为∠8 =∠6 (对顶角相等)， 所以∠6 =∠1. 变式训练： 综上可知，与∠1 相等的角有∠3，∠8，∠6. 例7 如图，直线 DE 截 AB ，AC，构成 8 个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角. 解：两条直线 AB，AC 被直线 DE 所截，所以 8 个角中，同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6. E D C B A 8 7 6 5 4 3 2 1 典例精析 变式：∠A 与∠8 是哪两条直线被哪条直线所截得的角?它们是什么关系的角?∠A 与∠5 呢?∠A 与∠4 呢? 解：∠A 与∠8 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的内错角. ∠A 与∠5 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的同旁内角. ∠A 与∠4 是直线 AC，DE 被直线AB 所截形成的同位角. E D C B A 8 7 6 5 4 3 2 1 21 见 再 $