精品解析：江苏南京市建邺区南京师范大学附属中学、新城初级中学2025-2026学年下学期七年级数学期中调研测试试卷

初一数学期中调研测试试卷（2026.04） （时间：100分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 春天是杨柳飞絮的高发期，据测定，某种杨柳絮的单根纤维的半径约为，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，满足方程组，则的值是（　　） A. 2 B. C. 0． D. 5. 下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是由绕点顺时针旋转一定的角度得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论中正确的是（ ） A. 次轴对称 B. 次平移和次轴对称 C. 次轴对称 D. 以上都不对 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上） 7. ________；________． 8. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 9. 计算：________． 10. 计算：________． 11. 计算的结果中不含关于字母的一次项，则________． 12. 如果，，则________． 13. 如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 14. 若多项式是一个完全平方式，则________． 15. 如图1，图形、图形是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中，重叠部分分别为图形①、图形②．若知道图形②与图形①的面积差为36，则图形③的周长为________． 16. 已知方程组的解为，则方程组的解为________． 三、解答题（本大题共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中向下平移格后的； （2）在图②中，画出图中关于直线对称的； （3）在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 20. 解方程组： （1） （2）请利用解二元一次方程组的经验，解三元一次方程组 21. 根据要求解答： （1）请用幂的定义推导出同底数幂的除法运算性质：（m、n为正整数，且） （2）同底数幂的乘法、除法法则在整数指数幂的范围内本质上是一致的，请用同底数幂的乘法运算性质（，其中m、n为整数）推导出同底数幂的除法运算性质：（m、n为整数且） 22. 解答下列各题： （1）已知，，则的值是________． （2）已知，求的值． （3）已知，，请直接用含有字母的代数式表示________． 23. 如图，将向右平移，得到． （1）若，，求的度数； （2）猜想与的数量关系，并说明理由． 24. 我们知道：周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积．周长相等的情况下，正方形的面积为什么大于长方形（当两邻边不相等时）的面积，如何说理呢？小红和小明进行了以下的研究． （1）假设正方形的边长为x，当一边的长度减少y（）时，要想保证长方形的周长不变，则相邻的一边要随之增加________． （2）小红和小明在（1）的基础上，想从以下两种不同的角度进行说理，请帮助他们完成． ①小红想从“数”的角度，利用“当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有”进行说理，请帮助小红完成说理过程． ②小明想从“形”的角度进行说理，请帮助小明画出图形，并对图形进行适当的标注和必要的文字说明． 25. 作图题： （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） （1）如图①，已知点为直线外一点，过点作与直线平行的直线． （2）如图②，将点绕某个点逆时针旋转，使点与点重合，且旋转角的大小恰好为，作出旋转中心点．（在图②中完成作图，并写出必要的文字说明） 26. 【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： （1）如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： （2）如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： （3）如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学期中调研测试试卷（2026.04） （时间：100分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A.该图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B.该图标既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C.该图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D.该图标是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 春天是杨柳飞絮的高发期，据测定，某种杨柳絮的单根纤维的半径约为，该数值用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的一般形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：∵ 左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足， ∴． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的运算法则与合并同类项法则，根据对应法则逐一判断即可得到结果. 【详解】解：A、，该选项计算正确； B、，该选项计算错误； C、，该选项计算错误； D、，该选项计算错误． 4. 已知，满足方程组，则的值是（　　） A. 2 B. C. 0． D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程组，利用加减法计算即可． 【详解】解：∵满足方程组， ∴， 得． 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 5. 下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各选项式子变形，判断是否能化为完全平方的形式即可，完全平方公式为，平方差公式结构为． 【详解】解：A选项，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； B选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； C选项，，变形后符合完全平方公式结构，可以运用完全平方公式运算，符合要求； D选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除． 6. 如图，是由绕点顺时针旋转一定的角度得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论中正确的是（ ） A. 次轴对称 B. 次平移和次轴对称 C. 次轴对称 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转及轴对称的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接、，设， ∵是由绕点顺时针旋转一定的角度得到的， ∴与的形状不变，，，， 过点作直线平分，作与关于直线对称，连接，设， ∴与形状不变，，，，， ∴，，与形状不变， ∴点与点重合，连接得射线，则点与点关于直线对称， ，， ∴， ， ∴， ∴点与点关于直线对称， 按同样的方法知：点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称， 综上所述，可以看作是经过次轴对称的变换得到． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上） 7. ________；________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】根据零指数幂与负整数指数幂的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：根据零指数幂的运算法则：任何非零数的次幂等于，可得； 根据负整数指数幂的运算法则：，可得． 8. 已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】将原方程移项，用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：， 移项变形，可得． 9. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】将原式拆分为，逆用积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解： ． 10. 计算：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 计算的结果中不含关于字母的一次项，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用多项式的乘法法则计算：（x+a）（2x-1），结果中不含关于字母x的一次项，即一次项系数等于0，即可求得a的值． 【详解】解： =2x2+2ax-x-a =2x2+（2a-1）x-a 由题意得2a-1=0则a=， 故答案为： 【点睛】本题考查了整式的乘法及多项式的有关问题，多项式中不含字母x的一次项，即一次项的系数为0是解题的关键. 12. 如果，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 13. 如图，是由绕点逆时针旋转而得，且，，平分，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，最后根据求解即可． 【详解】解：是由绕点逆时针旋转而得，， ，， ， ， 平分， ， ， ． 14. 若多项式是一个完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征，将原式变形为两数平方和的形式，结合完全平方公式展开，再根据多项式相等对应项系数相等求解的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， ， 解得． 15. 如图1，图形、图形是两张完全相同的长方形纸片，先后按图2、图3的方式放置在同一个正方形中，重叠部分分别为图形①、图形②．若知道图形②与图形①的面积差为36，则图形③的周长为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设长方形的纸片的宽为，长为， 根据题意，图形①为长方形，宽为，图形②③为正方形，则图形②的边长为，③的边长为， ∴图形①的面积为：，图形②的面积为， ∵图形②与图形①的面积差为36， ∴ ∵ ∴ ∴图形③的周长为 16. 已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 三、解答题（本大题共68分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先根据幂的运算法则计算乘方、乘除，再合并同类项得到结果； （）用多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【解析】 【详解】解： 当，时， 原式 =10 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中向下平移格后的； （2）在图②中，画出图中关于直线对称的； （3）在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 【答案】（1） 解：如图①中，即为所求； （2） 在图②中，即为所求； （3） 在图③中，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换，解题的关键是学会掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，的对应点的，即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 解方程组： （1） （2）请利用解二元一次方程组的经验，解三元一次方程组 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：，得： ③ ，得：， 解这个方程，得：， 把代入①，得：， 因此，这个方程组的解是：； 【小问2详解】 解：，得：④ ，得：⑤ 联立④、⑤得：， 解这个方程组，得：， 把代入③，得：， 因此，这个方程组的解是：． 21. 根据要求解答： （1）请用幂的定义推导出同底数幂的除法运算性质：（m、n为正整数，且） （2）同底数幂的乘法、除法法则在整数指数幂的范围内本质上是一致的，请用同底数幂的乘法运算性质（，其中m、n为整数）推导出同底数幂的除法运算性质：（m、n为整数且） 【答案】（1） 解： （2） 解： 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 解答下列各题： （1）已知，，则的值是________． （2）已知，求的值． （3）已知，，请直接用含有字母的代数式表示________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将转化为，再将，代入求解即可； （2）根据逆用幂的乘方以及同底数幂的乘法得出，进而根据指数相等，即可求解； （3）将化为，代入，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴ 【小问2详解】 解： ∴ 解得： 【小问3详解】 解：∵，， ∴ 23. 如图，将向右平移，得到． （1）若，，求的度数； （2）猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，证明如下： 由平移的性质可得， ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，据此求解即可； （2）由平移的性质可得，则由平行线的性质可得，，据此可得． 【小问1详解】 解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 24. 我们知道：周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积．周长相等的情况下，正方形的面积为什么大于长方形（当两邻边不相等时）的面积，如何说理呢？小红和小明进行了以下的研究． （1）假设正方形的边长为x，当一边的长度减少y（）时，要想保证长方形的周长不变，则相邻的一边要随之增加________． （2）小红和小明在（1）的基础上，想从以下两种不同的角度进行说理，请帮助他们完成． ①小红想从“数”的角度，利用“当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有”进行说理，请帮助小红完成说理过程． ②小明想从“形”的角度进行说理，请帮助小明画出图形，并对图形进行适当的标注和必要的文字说明． 【答案】（1）y （2） ①正方形的面积为，长方形的面积为， ， 周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积． ② 如图，正方形和长方形的周长都为， 从长方形中割出长方形，补在长方形处， 可看出正方形的面积比长方形的的面积大， 周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积． 【解析】 【分析】（1）先用，的代数式表示长方形较短的边长，根据长方形的周长等于原正方形的周长，即可求出另一条边长，再确定它增加的量； （2）①把正方形的面积减去长方形的面积，比较差与0的大小关系即可比较出它们的大小关系；②画出正方形和变化后的长方形，通过割补法即可比较它们的大小关系． 【小问1详解】 要保证长方形的周长与原正方形的周长相等，相邻两边之和必须等于， 相邻的一边长为：， 相邻的一边要增加． 【小问2详解】 略 25. 作图题： （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） （1）如图①，已知点为直线外一点，过点作与直线平行的直线． （2）如图②，将点绕某个点逆时针旋转，使点与点重合，且旋转角的大小恰好为，作出旋转中心点．（在图②中完成作图，并写出必要的文字说明） 【答案】（1） 如图①中，直线即为所求： （2） 如图所示： 连接，在的两边上截取，连接，在的同侧作 ， 点即为所求： 【解析】 【分析】（1）作直线，以为顶点，作一个角等于即可； （2）连接，在的两边上截取，连接，在的同侧作 ，点即为所求； 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 26. 【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： （1）如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： （2）如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： （3）如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 【答案】（1） 解：是等腰直角三角形， 理由如下： 由轴对称的性质得：​，​，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用轴对称性质，证得的两边相等且夹角为，判定其为等腰直角三角形； （）结合等腰直角三角形面积公式与垂线段最短，通过的面积求出到的距离，进而算出的最小面积； （）通过作点关于、的对称点​、​，利用轴对称性质将转化为(两点之间线段最短)，结合推出；再求出在上运动时OP的最值(最小值为斜边上的高，最大值为)，从而得到的范围为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）知，是等腰直角三角形， ∴面积， 根据垂线段最短，的最小值是点到直线的距离， ∵，，， ∴，即， ∴面积最小值为； 【小问3详解】 解：作点关于、的对称点​、​，则，， ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴​、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴​， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $