2026年中考数学二轮复习压轴题 专题06 二次函数与平行四边形存在性问题

**基本信息** 以二次函数为载体，系统整合中点坐标公式、顶点坐标公式及分类讨论法，构建平行四边形存在性问题的解题体系，强化逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|3要点|线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、三点定平行四边形分类|二次函数性质→平行四边形判定→坐标关系应用| |典例解析|4道中考题|坐标法求交点、方程思想解存在性问题、分类讨论避免漏解|从基础计算到综合论证，层层递进| |强化训练|20道模拟题|动态几何与函数结合、平移变换下的存在性分析|覆盖中考高频考法，突出知识迁移与创新意识|

专题6 二次函数与平行四边形存在性问题 以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是中考的热点难点之一，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高.对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决.由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解. 解决抛物线中的平行四边形存在性问题，常用的结论和方法有：线段中点坐标公式、平行四边形顶点坐标公式、画平行四边形. 1. 平面直角坐标系中，点 的坐标是，点B的坐标是，则线段AB的中点坐标是. 2. 平行四边形ABCD的顶点坐标分别为、、、，则， . 3. 已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内找到一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： 【例1】．（2025•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值． （3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】．（2025•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【例3】．（2025•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO； （3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【例4】．（2025•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点． ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长； ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值． （3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标． 2．（2025•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N． （1）求此抛物线的解析式； （2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程． 3．（2025•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D． （1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标； （2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由． 4．（2025•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． （1）填空：△ABC的形状是 　 　． （2）求抛物线的解析式； （3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标； （4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标． 5．（2025•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由． 6．（2025•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标： （3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程． 7．（2025•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值； （3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）． （1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为 　 　；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 　 　； （2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点： ①求所有定点的坐标； ②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？ 10．（2025•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标； （3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来． 11．（2025•平桂区 二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C（0，n）． （1）求点C的坐标及抛物线的对称轴； （2）求该抛物线的表达式； （3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标． 12．（2025•龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）． （1）请直接写出点A、B、C的坐标； （2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝　 　； （3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值． 13．（2025•康巴什一模）如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5． （1）写出相应点的坐标：A　 　，B　 　，C　 　； （2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值． （3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标． 14．（2025•武城县模拟）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值； （3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 15．（2025•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程． 16．（2025•开州区模拟）如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点． （1）求线段AB的长． （2）过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标． （3）如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 17．（2025•凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（﹣1，0），C（0，﹣2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B． （1）求抛物线C1与C2的函数表达式； （2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2025•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求线段AB的长度； （2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式． 19．（2025秋•文昌期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值； （4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．（2025•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）． （1）求点C的坐标； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 【例1】（2025•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C． （1）请直接写出点A，B，C的坐标； （2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值． （3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果； （2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果； （3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果． 【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6， ∴C（0，﹣6）， 当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣2， ∴A（﹣2，0），B（6，0）； （2）方法一：如图1， 连接OP， 设点P（m，﹣2m﹣6）， ∴S△POC＝xP＝＝3m， S△BOP＝|yP|＝+2m+6）， ∵S△BOC＝＝18， ∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC ＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC ＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18 ＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m＝3时，S△PBC最大＝； 方法二：如图2， 作PQ⊥AB于Q，交BC于点D， ∵B（6，0），C（0，﹣6）， ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6， ∴D（m，m﹣6）， ∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m， ∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+， ∴当m＝3时，S△PBC最大＝； （3）如图3， 当▱ACFE时，AE∥CF， ∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2， ∴F1点的坐标：（4，﹣6）， 如图4， 当▱ACEF时， 作FG⊥AE于G， ∴FG＝OC＝6， 当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6， ∴x1＝2+2，x2＝2﹣2， ∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6）， 综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）． 【例2】．（2025•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D（2，1），抛物线的对称轴交直线BC于点E． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式； （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为h（h＞0），在平移过程中，该抛物线与直线BC始终有交点，求h的最大值； （3）M是（1）中抛物线上一点，N是直线BC上一点．是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用抛物线的顶点式可直接得出抛物线的表达式； （2）先根据（1）中抛物线的表达式求出点A，B，C的坐标，进而可得出直线BC的表达式；设出点平移后的抛物线，联立直线BC和抛物线的表达式，根据根的判别式可得出结论； （3）假设存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分别以DE为边，以DE为对角线，进行讨论即可． 【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点为D（2，1）， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3． （2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）； 令y＝0，则x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3． 设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h， 令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0， ∵该抛物线与直线BC始终有交点， ∴Δ＝9﹣4h≥0， ∴h≤． ∴h的最大值为． （3）存在，理由如下： 由题意可知，抛物线的对称轴为：直线x＝2， ∴E（2，﹣1）， ∴DE＝2， 设点M（m，﹣m2+4m﹣3）， 若以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则分以下两种情况： ①当DE为边时，DE∥MN， 则N（m，m﹣3）， ∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|， ∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝． ∴N（1，﹣2）或（，）或（，）． ②当DE为对角线时， 设点N的坐标为t， 则N（t，t﹣3）， ∴， 解得m或（舍）， ∴N（3，0）． 综上，点N的坐标为N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）． 【例3】（2025•聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO； （3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标． 【分析】（1）根据抛物线对称轴和点C坐标分别确定b和c的值，进而求得结果； （2）根据点A，D，C坐标可得出AD，AC，CD的长，从而推出三角形ADC为直角三角形，进而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，从而得出结论； （3）先得出y1的顶点，进而得出先抛物线的表达式，N的坐标，根据三角形相似或一次函数可求得点M坐标，以MN为边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是▱MNQP和▱MNPQ根据M，N和点P的横坐标可以得出Q点的横坐标，进而求得结果． 【解答】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； （2）证明：∵当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4， ∴D（﹣1，4）， 由﹣x2﹣2x+3＝0得， x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AD2＝20， ∵C（0，3）， ∴CD2＝2，AC2＝18， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴∠ACD＝90°， ∴tan∠DAC＝＝＝， ∵∠BOC＝90°， ∴tan∠BCO＝＝， ∴∠DAC＝∠BCO； （3）解：如图， 作DE⊥y轴于E，作D1F⊥y轴于F， ∴DE∥FD1， ∴△DEC∽△D1FC， ∴＝， ∴FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2， ∴D1（2，1）， ∴y1的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+1， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴N（0，﹣3）， 同理可得：， ∴， ∴OM＝3， ∴M（3，0）， 设P（2，m）， 当▱MNQP时， ∴MN∥PQ，PQ＝MN， ∴Q点的横坐标为﹣1， 当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8， ∴Q（﹣1，8）， 当▱MNPQ时， 同理可得：点Q横坐标为：5， 当x＝5时，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8， ∴Q′（5，﹣8）， 综上所述：点Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）． 【例4】（2025•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点． ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长； ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）①方法一：求出直线CD的解析式为y＝4x﹣3，当y＝0时，求出x的值，则可得出答案； 方法二：求出OD＝3，证明△DEO∽△CEB，由相似三角形的性质得出，设OE＝x，则BE＝3﹣x，列出方程求出x的值，则可得出答案； ②分别以已知线段BC为边、BC为对角线，画出图形，利用平行四边形的性质及全等三角形的性质求点F的坐标和点D的坐标即可． 【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①由（1）可知，C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 将C（0，﹣3），B（3，0）代入得， ， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴直线MN的解析式为y＝x， ∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1， 把x＝1代入y＝x，得y＝1， ∴D（1，1）， 方法一： 设直线CD的解析式为y＝k1x+b1， 将C（0，﹣3），D（1，1）代 入得， ， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝4x﹣3， 当y＝0时，4x﹣3＝0， ∴x＝， ∴E（，0）， ∴OE＝． 方法二： 由勾股定理得OD＝＝，BC＝＝3， ∵BC∥MN， ∴△DEO∽△CEB， ∴， 设OE＝x，则BE＝3﹣x， ∴， 解得x＝， ∴OE＝． ②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： （Ⅰ）若平行四边形以BC为边时， 由BC∥FD可知，FD在直线MN上， ∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即F（1，1）， 由点D在直线MN上，设D（t，t）， 如图，若四边形BCFD是平行四边形，则DF＝BC， 过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则G（1，t）， ∵BC∥MN， ∴∠OBC＝∠DOB， ∵GD∥x轴， ∴∠GDF＝∠DOB， ∴∠OBC＝∠GDF， 又∵∠BOC＝∠DGF＝90°， ∴△DGF≌△BOC（AAS）， ∴GD＝OB，GF＝OC， ∵GD＝t﹣1，OB＝3， ∴t﹣1＝3， ∴t＝4， ∴D（4，4）， 如图，若四边形BCDF是平行四边形，则DF＝CB， 同理可证△DKF≌△COB（AAS）， ∴KD＝OC， ∵KD＝1﹣t，OC＝3， ∴1﹣t＝3， ∴t＝﹣2， ∴D（﹣2，﹣2）； （Ⅱ）若平行四边形以BC为对角线时， 由于D在BC的上方，则点F一定在BC的下方， 如图，四边形BFCD为平行四边形， 设D（t，t），F（1，n）， 同理可证△DHC≌△BPF（AAS）， ∴DH＝BP，HC＝PF， ∵DH＝t，BP＝3﹣1＝2，HC＝t﹣（﹣3）＝t+3，PF＝0﹣n＝﹣n， ∴， ∴， ∴D（2，2），F（1，﹣5）， 综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形． 当点F的坐标为（1，1）时，点D的坐标为（4，4）或（﹣2，﹣2）； 当点F的坐标为（1，﹣5）时，点D的坐标为（2，2）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/5 16:33:11；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.com；学号：25670025 1．（2025•滨城区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B（5，0）及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y＝kx+b（k≠0）． （1）求抛物线的解析式． （2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值． （3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标． 【分析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5计算出a，b的值即可； （2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值； （3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF＝AE＝4，设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5），从而有NF＝|﹣m2+5m|＝4，解方程即可求出N的横坐标． 【解析】（1）将A（1，0）和点B（5，0）代入y＝ax2+bx﹣5得： ， 解得， ∴抛物线y＝﹣x2+6x﹣5， （2）作ED⊥x轴于D， 由题意知：BP＝4﹣t，BE＝2t， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴OB＝OC＝5， ∴∠OBC＝45°， ∴ED＝sin45°×2t＝， ∴S△BEP＝＝﹣， 当t＝﹣ 时，S△BEP最大为2． ∴当t＝2时，S△BEP最大为2． （3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F， 则NF＝AE＝4， 设N（m，﹣m2+6m﹣5），则F（m，m﹣5）， ∴NF＝|﹣m2+5m|＝4， ∴m2﹣5m+4＝0或m2﹣5m﹣4＝0， ∴m1＝1（舍），m2＝4，或m3＝，m4＝， ∴点N的横坐标为：4或或． 2．（2025•九龙坡区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PN⊥BC，交BC于点N． （1）求此抛物线的解析式； （2）请用含m的代数式表示PN，并求出PN的最大值以及此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y'过原点，点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点，若点E为原抛物线的对称轴上一动点，点F为新抛物线y'上一动点，求点F使得以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标，并写出一个F点的求解过程． 【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，即可求函数解析式； （2）先求出BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），由面积S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB，可得PN＝﹣（m﹣2）2+，所以当m＝2时，PN有最大值，P（2，）； （3）由抛物线沿着射线CB的方向平移，可设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位，则平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t，再由新抛物线y'过原点，可求t＝2，则可求新的抛物线解析式为y'＝﹣x2+x，联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4，求出D（3，2），由点E在y'上，则E点的横坐标为，由点F为新抛物线y'上，设F点横坐标为n，当以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，有三种情况：①当AE与DF为平行四边形的对角线时，﹣3+＝n+3，得F（﹣，﹣）；②当AF与ED为平行四边形对角线时，﹣3+n＝3+，得F（，﹣）；③当AD与EF为平行四边形对角线时，﹣3+3＝n+，得F（﹣，﹣）． 【解析】（1）将点A（﹣3，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得： ， 解得：， ∴y＝﹣x2+x+4； （2）∵抛物线与y轴交于点C， ∴C（0，4）， 设直线BC的解析式为y＝kx+d， 将点B与点C代入可得，， 解得， ∴y＝﹣x+4， ∵点P的横坐标为m，PM⊥x轴， ∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4）， ∴S△BCP＝×BC×PN＝×PQ×OB， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC＝8， ∴8PN＝（﹣m2+m+4+m﹣4）×4， ∴PN＝﹣（m﹣2）2+， ∴当m＝2时，PN有最大值， ∴P（2，）； （3）y＝﹣x2+x+4＝﹣+， ∵抛物线沿着射线CB的方向平移， 设抛物线沿x轴正方向平移t（t＞0）个单位，则沿y轴负半轴平移t个单位， 平移后的函数解析式为y'＝﹣+﹣t， ∵新抛物线y'过原点， ∴0＝﹣+﹣t， 解得t＝2或t＝﹣6（舍）， ∴y'＝﹣+＝﹣x2+x， ∵点D为原抛物线y与新抛物线y'的交点， 联立﹣x2+x＝﹣x2+x+4， ∴x＝3， ∴D（3，2）， ∵y＝﹣x2+x+4的对称轴为直线x＝， ∴E点的横坐标为， ∵点F为新抛物线y'上一动点， 设F点横坐标为n， ①当AE与DF为平行四边形的对角线时， ∴﹣3+＝n+3， ∴n＝﹣， ∴F（﹣，﹣）； ②当AF与ED为平行四边形对角线时， ∴﹣3+n＝3+， ∴n＝， ∴F（，﹣）； ③当AD与EF为平行四边形对角线时， ∴﹣3+3＝n+， ∴n＝﹣， ∴F（﹣，﹣）； 综上所述：以A，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形时，F的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣）或（﹣，﹣）． 3．（2025•碑林区校级模拟）如图，抛物线M：y＝ax2+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D． （1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标； （2）若抛物线N：y＝﹣（x﹣h）2+与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点代入抛物线解析式求出a，b的值，即可求出抛物线解析式，再将抛物线解析式转化为顶点式，求出顶点D的坐标； （2）先求出B，C的坐标，再设E，F的坐标，根据平移的特点列出关系式，求出h的值． 【解析】（1）将（1，﹣3），（﹣4，12）代入y＝ax2+bx+b﹣a， 得， 解得， ∴， ∴抛物线M的表达式为，顶点D的坐标为． （2）存在． ∵， 当x＝0时，y＝﹣2， 当y＝0时，， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴C（0，﹣2），B（4，0）， 设，， 当四边形BCFE是平行四边形时， 可看出是E，F可看成分别是B，C平移相同的单位得到， 则 ②﹣③得m+n＝2h﹣1④， （①+④）÷2得⑤， （④﹣①）÷2得⑥， 将⑤，⑥代入③得h＝±， 当四边形BCEF是平行四边形时， 可看出是E，F可看成分别是C，B平移相同的单位得到， 则 ②﹣③得m+n＝2h﹣1④， （①+④）÷2得⑤， （④﹣①）÷2得⑥， 将⑤，⑥代入③得h＝或， 当h＝时，m＝h+＝+＝8，n＝h﹣＝﹣＝4， ∴E（4，0），F（8，2）， 此时点E与点B重合，不符合题意，舍去； 综上，h的值为或±． 4．（2025•本溪模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E． （1）填空：△ABC的形状是 　直角三角形　． （2）求抛物线的解析式； （3）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，求P点坐标； （4）M在直线BC上，N在抛物线上，以M、N、E、D为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的点M的坐标． 【分析】（1）由tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°，同理可得，∠BCO＝60°，即可求解； （2）用待定系数法即可求解； （3）当△PCD的面积最大时，若直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点，进而求解； （4）当ED是边时，点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M），进而求解；②当ED为对角线时，由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3+3，即可求解． 【解析】（1）由抛物线的表达式知，c＝3，OC＝3， 则tan∠ACO＝＝，故∠ACO＝30°， 同理可得，∠BCO＝60°， 故△ABC为直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）由题意得：，解得， 故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3①； （3）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 则设直线l∥BC，则设直线l的表达式为：y＝﹣x+c②， 当△PCD的面积最大时，直线l和抛物线只要一个交点P，则点P为所求点， 联立①②并整理得：﹣x2+x+3﹣c＝0③， 则△＝（）2﹣4×（﹣）（3﹣c）＝0， 解得：c＝， 将c的值代入③式并解得x＝， 故点P的坐标为（，）； （4）由抛物线的表达式知，点E的坐标为（，4）， ∵直线BC的表达式为y＝﹣x+3，故点D（，2）， 设点M的坐标为（m，﹣m+3），点N的坐标为（n，﹣n2+n+3）， ①当ED是边时， 点D向上平移2个单位得到点E，同样，点M（N）向上平移2个单位得到点N（M）， 则m＝n且﹣m+3±2＝﹣n2+n+3， 解得：m＝（舍去）或2或； ②当ED为对角线时， 由中点坐标公式得：＝m+n且4+2＝﹣n2+n+3﹣m+3， 解得m＝（舍去）或0， 综上，m＝0或2或或， 故点M的坐标为（0，3）或（2，1）或（，）或（，）． 5．（2025•深圳模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，满足以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线y＝﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）因为抛物线经过点（2，﹣3a），代入到解析式中，得到关于a和b的方程，由于抛物线对称轴为直线x＝1，所以，联立两个方程，解方程组，即可求出a和b； （2）先将解析式配成顶点式，求出M坐标，然后求出C点坐标，利用待定系数法，求出直线MC的解析式，再求出MC和x轴交点N的坐标，利用抛物线解析式分别求出A和C坐标，以A，C，N，P为顶点构造平行四边形，并且P点必须在抛物线上，通过构图可以发现，只有当AC为对角线时，才有可能构造出符合条件的P点，所以过C作CP∥AN，使CP＝AN，由于AN＝2，所以可以得到P（2，﹣3），将P代入到抛物线解析式中，满足解析式，P即为所求； （3）利用y＝﹣x+3，可以求出直线与y轴交点D的坐标，可以证得△DOB是等腰直角三角形，同理可以证得△BOC也是等腰直角三角形，根据题意画出图形，利用同弧所对的圆周角相等，可以证得∠AEF＝∠AFE＝45°，所以△AEF是等腰直角三角形． 【解析】（1）∵抛物线经过点（2，﹣3a）， ∴4a+2b﹣3＝﹣3a①， 又因为抛物线对称为x＝1， ∴②， 联立①②，解得， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，∵y＝（x﹣1）2﹣4， ∴M（1，﹣4）， 令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 设直线MC为y＝kx﹣3， 代入点M得k＝﹣1， ∴直线MC为y＝﹣x﹣3， 令y＝0，则x＝﹣3， ∴N（﹣3，0）， 令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 过C作CP∥AN，使CP＝AN， 则四边形ANCP为平行四边形， ∴CP＝AN＝﹣1﹣（﹣3）＝2， ∴P（2，﹣3）， ∵P的坐标满足抛物线解析式， ∴P（2，﹣3）在抛物线上， 即P（2，﹣3）； （3）如图2，令x＝0，则y＝﹣x+3＝3， ∴D（0，3）， ∴OB＝OD＝3，又∠DOB＝90°， ∴∠DBO＝45°， 同理，∠ABC＝45°， ∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠AEF＝∠ABC＝45°， ∠AFE＝∠DBO＝45°， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形． 6．（2025•铜梁区校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C．其中OC＝OB，tan∠CAO＝3． （1）求抛物线的解析式； （2）P是第一象限内的抛物线上一动点，Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大值时P点坐标： （3）将抛物线沿射线CB方向平移2个单位得新抛物线y'．M为新抛物线y′的顶点．D为新抛物线y'上任意一点，N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点N的坐标．并选择一个你喜欢的N点．写出求解过程． 【分析】（1）第一题将ABC三个点坐标表示后，代入求值即可． （2）第二题求面积最大值，可用铅锤法将面积转化为求铅垂高的最大值． （3）第三题平行四边形存在性问题，利用平行四边形对角线互相平分，套用中点坐标公式即可求出相应的点． 【解析】（1）∵抛物线解析式为y＝ax2+bx+3， 令x＝0得y＝3， ∴点C坐标为（0，3）， ∵OG﹣OB＝3， ∴B坐标为（3，0）， ∵tan∠CAO＝3， ∴＝3， ∴OA＝1， ∴点A坐标为（﹣1，0）， ∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 代入（0，3）得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）， ＝﹣（x2﹣2x﹣3） ＝﹣x2+2x+3 ＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）∵Q为线段PB中点， ∴S△CPQ＝S△CPB， 当S△CPB面积最大时，△CPQ面积最大． 设P坐标（a，﹣a2+2a+3）， 过点P作PH∥y轴交BC于点H， H坐标为（a，﹣a+3）， ∴PH＝（﹣a2+2a+3）﹣（﹣a+3） ＝﹣a2+2a+3+a﹣3 ＝﹣a2+3a， S△CPB＝•PH•（xB﹣xC） ＝•PH•3 ＝PH＝（﹣a2+3a） ＝﹣（a2﹣3a+﹣） ＝﹣（a﹣）2+， 当a＝时，即P坐标为（，）时， 最大S△CPQ＝S△CPB＝， ∴P坐标为（，）； （3）沿CB方向平移2个单位， 即向右2个单位，向下2个单位， ∴新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+2， M坐标为（3，2）C坐标为（0，3）， 点N坐标设为（n，0）， ∵＝， ∴＝， ∴yD＝1， 则1＝﹣（x﹣3）2+2 ﹣1＝﹣（x﹣3）2， （x﹣3）2＝1， x﹣3＝±1， ∴x＝4或2， ∴xD＝4或xD＝2， ＝⇒＝， ∴xN＝7， 或＝， ∴xN＝5， ∴N坐标为（7，0）或（5，0）， 或＝⇒＝， 得yD＝﹣1， 则﹣1＝﹣（x﹣3）2+2， （x﹣3）2＝3， x＝±+3， ∴xD＝3﹣或xD＝3+， 即xN＝﹣或， N坐标为（﹣，0）或（，0）． 7．（2025•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标； （3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c，用待定系数法可得解析式，从而可得顶点M的坐标； （2）由OA＝OB可得B（0，4），设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入可求得AB为y＝x+4，Rt△AOB中，可得sin∠ABO＝＝， 过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：①当S△AOP：S△COP＝1：2时，PQ：CH＝1：3，可求PQ＝2，从而求得P坐标，②当S△COP：S△AOP＝1：2时，S△AOP：S△AOC＝2：3，同理可求P坐标； （3）设N（m，n），利用平行四边形对角线互相平分，即对角线的中点重合，分三种情况分别列方程组求解即可． 【解析】（1）将A（﹣4，0），C（2，6）代入y＝x2+bx+c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x， 对称轴x＝＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝×4+2×（﹣2）＝﹣2， ∴顶点M的坐标为（﹣2，﹣2）； （2）∵A（﹣4，0）， ∴OA＝4， ∵OA＝OB， ∴OB＝4，B（0，4）， 设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx+b，将A（﹣4，0）、B（0，4）代入得： ，解得， ∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x+4， Rt△AOB中，AB＝＝4， ∴sin∠ABO＝＝＝， 过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况： ①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图： ∵S△AOP：S△COP＝1：2， ∴S△AOP：S△AOC＝1：3， ∴PQ：CH＝1：3， 而C（2，6），即CH＝6， ∴PQ＝2，即yP＝2， 在y＝x+4中，令y＝2得2＝x+4， ∴x＝﹣2， ∴P（﹣2，2）； ②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图： ∵S△COP：S△AOP＝1：2， ∴S△AOP：S△AOC＝2：3， ∴PQ：CH＝2：3， ∵CH＝6， ∴PQ＝4，即yP＝4， 在y＝x+4中，令y＝4得4＝x+4， ∴x＝0， ∴P（0，4）； 综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为（﹣2，2）或（0，4）； （3）点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N（m，n），分三种情况： ①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合， ∵A（﹣4，0）、O（0，0），C（2，6）， ∴AN的中点为（，），OC中点为（，）， ∴，解得， ∴N（6，6）， ②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得： 解得， ∴N（﹣2，6）， ③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：， 解得， ∴N（﹣6，﹣6）， 综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：（6，6）或（﹣2，6）或（﹣6，﹣6）． 8．（2025•海州区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线于直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值； （3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A，B坐标代入y＝ax2+bx﹣3中，利用待定系数法可求； （2）求出直线l的解析式，用m表示点E，F的坐标，进而表示线段EF，根据S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP＝FE•OB，用含m的代数式表示四边形CEBF的面积，利用二次函数的性质，通过配方法得出结论； （3）分点M在直线BD的下方和点M在直线BD的上方时两种情形讨论解答；依据题意画出图形，①过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，通过说明△AOC≌△MFN，得出NF＝3，设出点M的坐标，用坐标表示相应线段，利用线段与坐标的关系，用相同的字母表示点N的坐标后，用坐标表示出线段NG，GF，利用NG+GF＝NF＝3，列出方程，解方程，点M坐标可求； ②利用①中相同的方法求得点M在直线BD的上方时点M的坐标． 【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中得： ． 解得：． ∴该抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）设直线l的解析式为y＝kx+n， 将B（3，0），D（0，3）代入上式得： ． 解得：． ∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3． ∵点P（m，0），EF⊥x轴， ∴E点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点F的坐标为（m，﹣m+3）． ∴EF＝﹣m+3﹣m2+2m+3＝﹣m2+m+6． ∵B（3，0）， ∴OB＝3． ∵S四边形CEBF＝S△CEF+S△BEF＝EF•OP+•BP×EF＝FE•OB， ∴＝﹣． ∵＜0， ∴当m＝时，S四边形CEBF有最大值＝． 即：当m＝时，四边形CEBF面积的最大值为． （3）存在． ①当点M在直线BD的下方时，如图， 令x＝0，则y＝﹣3． ∴C（0，﹣3）． ∴OC＝3． ∵A（﹣1，0）， ∴OA＝1． 过M作ME⊥y轴于E，过N作NF⊥ME于F，交x轴于点G， ∵四边形ACMN为平行四边形， ∴AC∥MN，AC＝MN． ∵NF⊥ME，ME⊥OE， ∴NF∥OE． ∴∠ACO＝∠MNF． 在△AOC和△MFN中， ． ∴△AOC≌△MFN（AAS）． ∴NF＝OC＝3，MF＝OA＝1． 设M（h，h2﹣2h﹣3），则ME＝h，GF＝OE＝﹣h2+2h+3． ∴OG＝EF＝ME﹣MF＝h﹣1． ∴N（h﹣1，﹣h+4）． ∴NG＝﹣h+4， ∵NG+GF＝NF＝3， ∴﹣h+4﹣h2+2h+3＝3． 解得：h＝（负数不合题意，舍去）． ∴h＝． ∴M（）． ②当点M在直线BD的上方时，如图， 过N作NE⊥y轴于E，过M作MF⊥NE于F，交x轴于点G， 由①知：△MNF≌△CAO（AAS），可得NF＝OA＝1，MF＝OC＝3． 设M（h，h2﹣2h﹣3），则OG＝FE＝h，GM＝h2﹣2h﹣3． ∴NE＝EF+NF＝h+1． ∴N（h+1，﹣h+2）． ∴GF＝OE＝h﹣2． ∵MG+GF＝MF＝3， ∴h﹣2+h2﹣2h﹣3＝3． 解得：h＝（负数不合题意，舍去）． ∴h＝． ∴M（）． 综上所述，存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，此时点M的坐标为（）或（）． 9．（2025•南昌县一模）如图，已知二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）图象的顶点分别为M，N，与x轴分别相交于A、B两点（点A在点B的左边）和C、D两点（点C在点D的左边）． （1）函数y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）的顶点坐标为 　（﹣1，﹣4m+1）　；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大时，则x的取值范围是 　﹣1＜x＜3　； （2）当AD＝MN时，判断四边形AMDN的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线L1，L2均会分别经过某些定点： ①求所有定点的坐标； ②若抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2应平移的距离是多少？ 【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A、B、C、D的横坐标，可得AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0），则AD与MN互相平分，可证四边形AMDN是矩形； （3）根据菱形的性质可得EH1＝EF＝4即可，设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解． 【解析】（1）x＝﹣＝﹣1，顶点坐标M为（﹣1，﹣4m+1）， 由图象得：当﹣1＜x＜3时，二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而增大． 故答案为：（﹣1，﹣4m+1）；﹣1＜x＜3 （2）结论：四边形AMDN是矩形． 由二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1（m≥1）和二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1（m≥1）解析式可得： A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），顶点M坐标为（﹣1，﹣4m+1），顶点N坐标为（3，4m﹣1）， ∴AD的中点为（1，0），MN的中点为（1，0）， ∴AD与MN互相平分， ∴四边形AMDN是平行四边形， 又∵AD＝MN， ∴▱AMDN是矩形． （3） ①∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1＝m（x+3）（x﹣1）+1， 故当x＝﹣3或x＝1时y＝1，即二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点， ∵二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1＝﹣m（x﹣1）（x﹣5）﹣1， 故当x＝1或x＝5时y＝﹣1，即二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点， ②∵二次函数L1：y＝mx2+2mx﹣3m+1经过（﹣3，1）、（1，1）两点，二次函数L2：y＝﹣m（x﹣3）2+4m﹣1经过（1，﹣1）、（5，﹣1）两点， 如图：四个定点分别为E（﹣3，1）、F（1，1），H（1，﹣1）、G（5，﹣1），则组成四边形EFGH为平行四边形， 设平移的距离为x，根据平移后图形为菱形， 由勾股定理可得：42＝22+（4﹣x）2． 解得：x＝， 抛物线L1位置固定不变，通过左右平移抛物线L2的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线L2向左平移或． 10．（2025•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，且点A的坐标为（﹣1，0），连接BC，OB＝2OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线，垂足为H，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q，求△PHQ周长的最大值及此时点P坐标； （3）如图2，将抛物线水平向左平移4个单位得到新抛物线y'；点D是新抛物线y'上的点且横坐标为﹣3，点M为新抛物线y'上一点，点E、F为直线AC上的两个动点，请直接写出使得以点D、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形的点M的横坐标，并把求其中一个点M的横坐标的过程写出来． 【分析】（1）求出B、C点坐标，将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3，即可求解； （2）先求出BC的解析式，设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3），PQ＝﹣t2+3t，由PQ∥CO，可得∠HQP＝∠OCB，利用直角三角形三角函数求出HP＝＝PQ，HQ＝PQ，则△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]，当t＝3时，△PHQ周长有最大值+，此时P（3，﹣6）； （3）求出平移后的函数解析式为y'＝x2+x﹣5，则D（﹣3，﹣5），设M（m，＝m2+m﹣5），E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3），分三种情况讨论：①以EF为平行四边形的对角线时，M（，）或（，）；②以EM为平行四边形的对角线时，M（﹣6，4）；③以ED为平行四边形的对角线时，求得M（﹣6，4）． 【解析】（1）令x＝0，则y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵OB＝2OC， ∴OB＝6， ∴B（6，0）， 将B、C点代入y＝ax2+bx﹣3， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣x﹣3； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴y＝x﹣3， ∴设P（t，t2﹣t﹣3），则Q（t，t﹣3）， ∴PQ＝﹣t2+3t， ∵CO＝3，BO＝6， ∴BC＝3， 在Rt△ABC中，sin∠BCO＝，cos∠BCO＝， ∵PQ∥CO， ∴∠HQP＝∠OCB， ∴sin∠HQP＝＝，cos∠HQP＝＝， ∴HP＝PQ，HQ＝PQ， ∴△PHQ周长＝HP+PQ+HQ＝（1+）PQ＝（1+）（﹣t2+3t）＝（1+）[﹣（t﹣3）2+]， ∵点P是直线BC下方， ∴0＜t＜6， ∴当t＝3时，△PHQ周长有最大值+， 此时P（3，﹣6）； （3）∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣， ∴平移后的函数解析式为y'＝（x+）2﹣＝x2+x﹣5， ∴D（﹣3，﹣5）， 设M（m，﹣m2+m﹣5）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴y＝﹣3x﹣3， 设E（x1，﹣3x1﹣3），F（x2，﹣3x2﹣3）， ①以EF为平行四边形的对角线时， ． 解得m＝或m＝， ∴M（，）或（，）； ②以EM为平行四边形的对角线时， ， 解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6， ∴M（﹣6，4）； ③以ED为平行四边形的对角线时， ， 解得m＝﹣3（舍）或m＝﹣6， ∴M（﹣6，4）； 综上所述：M点坐标为（，）或（，）或（﹣6，4）． 11．（2025•平桂区 二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与直线y＝﹣x+3交于点B、C（0，n）． （1）求点C的坐标及抛物线的对称轴； （2）求该抛物线的表达式； （3）点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t．若平移BC使点B与P重合，求点C的对应点C′的坐标（用含t的代数式表示）；若点Q在抛物线上，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，求点P的坐标． 【分析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得n＝3，即知C（0，3），根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，得抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1； （2）用待定系数法可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （3）由P（1，t），B（3，0）可知C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t），设Q（m，﹣m2+2m+3），分两种情况：①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，可得，P（1，﹣2）；②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，，得P（1，﹣8）． 【解析】（1）把C（0，n）代入y＝﹣x+3得： n＝3， ∴C（0，3）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1， 答：C（0，3），抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1； （2）把A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （3）∵点P在抛物线的对称轴上，纵坐标为t， ∴P（1，t）， ∵平移BC使点B与P重合，B（3，0）， ∴C（0，3）的对应点C'坐标为（﹣2，3+t）， 设Q（m，﹣m2+2m+3）， ①当PQ∥BC，BQ∥CP时，BP的中点即为CQ的中点，如图： ∴， 解得， ∴P（1，﹣2）； ②当PQ∥BC，BP∥CQ时，BQ中点即为CP中点，如图： ∴， 解得， ∴P（1，﹣8）， 综上所述，以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且PQ∥BC，P的坐标为（1，﹣2）或（1，﹣8）． 12．（2025•龙岗区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+4（m是常数），当m＝1时，记二次函数的图象为C1；m≠1时，记二次函数的图象为C2．如图1，图象C1与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；如图2，图象C2与x轴交于D、E两点（点D在点E的左侧）． （1）请直接写出点A、B、C的坐标； （2）当点O、D、E中恰有一点是其余两点组成线段的中点时，m＝　0或6或﹣6　； （3）如图3，C2与C1交于点P，当以点A、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值． 【分析】（1）分别令x＝0，y＝0即可求解； （2）求出D、E的坐标，再分三种情况讨论：①当O为中点时，m＝0；②当D为中点时，m＝6；③当E为中点时，m＝﹣6； （3）求出P点的横坐标为，再分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2+，3＝，此时无解；②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1+m﹣2＝，0＝3+，此时无解；③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1+＝m﹣2，＝3，解得m＝3． 【解析】（1）当m＝1时，y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0则﹣x2+2x+3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 令x＝0则y＝3， ∴C（0，3）； （2）令﹣x2+2mx﹣m2+4＝0， 解得x＝m﹣2或x＝m+2， ∴D（m﹣2，0），E（m+2，0）， ①当O为中点时，m﹣2+m+2＝0， ∴m＝0； ②当D为中点时，2（m﹣2）＝m+2， 解得m＝6； ③当E为中点时，2（m+2）＝m﹣2， 解得m＝﹣6； 综上所述：m的值为0或6或﹣6， 故答案为：0或6或﹣6； （3）联立方程组，A（﹣1，0），C（0，3）；D（m﹣2，0）， 解得x＝， ∴P点的横坐标为， ∴P（，）， ①当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝m﹣2+，3＝， 此时m无解； ②当AD为平行四边形的对角线时，﹣1+m﹣2＝，0＝3+， 此时无解； ③当AP为平行四边形的对角线时，﹣1+＝m﹣2，＝3， 解得m＝3； 综上所述：m的值为3． 13．（2025•康巴什一模）如图，抛物线y＝﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5． （1）写出相应点的坐标：A　（1，0）　，B　（5，0）　，C　（0，﹣5）　； （2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值． （3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标． 【分析】（1）分别令y＝0和x＝0进行求解即可； （2）根据题意分别求出P点坐标为（1+t，0），E点坐标为（3﹣t，﹣t），则S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣（t﹣2）2+2，可求当t＝2时，△PBE的面积最大为2； （3）过点M作ME⊥x轴交于点E，由∠OBC＝45°，求出M（3，﹣2），再由待定系数法求直线AM的解析式为y＝﹣x+1，设N（m，﹣m2+6m﹣5），求出直线NQ的解析式为y＝﹣x﹣m2+7m﹣5，联立方程组，可求Q（，﹣5），分三种情况讨论：①当AM为平行四边形的对角线时，1+3＝m+，此时不构成平行四边形；②当AN为平行四边形的对角线时，1+m＝3+，解得m＝；③当AQ为平行四边形的对角线时，1+＝3+m，解得m＝1（舍）或m＝4． 【解析】（1）令﹣x2+6x﹣5＝0， 解得x＝1或x＝5， ∴A（1，0），B（5，0）， 令x＝0，则y＝﹣5， ∴C（0，﹣5）， 故答案为：（1，0），（5，0），（0，﹣5）； （2）由题意可知0≤t≤4， ∵P点以每秒1个单位的速度向B运动， ∴P点坐标为（1+t，0）， ∵OB＝OC＝5， ∴∠OBC＝45°， ∵E点以每秒2个单位的速度向C运动， ∴E点坐标为（3﹣t，﹣t）， ∴S△PBE＝×（4﹣t）×（t）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2， ∴当t＝2时，△PBE的面积最大为2； （3）∵∠ABC＝45°，AM⊥BC，AB＝4， ∴AM＝2， 过点M作ME⊥x轴交于点E， ∵∠BAM＝45°， ∴M（3，﹣2）， 设直线AM的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣x+1， ∵AM∥NQ， ∴直线NQ的解析式为y＝﹣x+b'， 设N（m，﹣m2+6m﹣5）， ∴b'＝﹣m2+7m﹣5， ∴y＝﹣x﹣m2+7m﹣5， 联立方程组， 解得， ∴Q（，﹣5）， ①当AM为平行四边形的对角线时， 1+3＝m+， 解得m＝1（舍）或m＝8， 此时MA的中点为（2，﹣1），NQ的中点为（2，﹣8）， ∴此时不构成平行四边形； ②当AN为平行四边形的对角线时， 1+m＝3+， 解得m＝； ③当AQ为平行四边形的对角线时， 1+＝3+m， 解得m＝1（舍）或m＝4； 综上所述：N点的横坐标为4或． 14．（2025•武城县模拟）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值； （3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由． 【分析】（1）先确定出点B，C坐标，最后用待定系数法即可得出结论； （2）先设出点P的坐标，进而得出点D，E的坐标，即可得出PD+PE的函数关系式，即可得出结论； （3）分AB为边和对角线两种情况，利用平行四边形的性质即可得出结论． 【解析】（1）∵直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C， ∴B（2，0）、C（0，1）， ∵B、C在抛物线解y＝x2+bx+c上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1； （2）设P（m，m2﹣m+1）， ∵PD∥x轴，PE∥y轴，点D，E都在直线y＝﹣x+1上， ∴E（m，﹣m+1），D（﹣2m2+5m，m2﹣m+1）， ∴PD+PE＝﹣2m2+5m﹣m+[（﹣m+1）﹣（m2﹣m+1）] ＝﹣3m2+6m ＝﹣3（m﹣1）2+3， ∴当m＝1时，PD+PE的最大值是3； （3）能，理由如下： 由y＝x2﹣x+1，令0＝x2﹣x+1， 解得：x＝2或x＝， ∴A（，0），B（2，0）， ∴AB＝， 若以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形， ①当以AB为边时，则AB∥PF1且AB＝PF1， 设P（a，a2﹣a+1），则F1（﹣2a2+5a，a2﹣a+1）， ∴|﹣2a2+5a﹣a|＝， 解得：a＝或a＝（与A重合，舍去）或a＝（舍）或a＝（舍去）， ∴F1（3，﹣）； ②当以AB为对角线时， 连接PF2交AB于点G，则AG＝BG，PG＝F2G， 设G（m，0）， ∵A（，0），B（2，0）， ∴m﹣＝2﹣m， ∴m＝， ∴G（，0）， 作PM⊥AB于点M，F2N⊥AB于点N，则NG＝MG，PM＝FN， 设P（b，b2﹣b+1）（0＜b＜2），则F2（2b2﹣5b+4，﹣b2+b﹣1）， ∴﹣b＝2b2﹣5b+4﹣， 解得：b＝或b＝（与A重合，舍去）， ∴F2（1，）， 综上所述，以A、B、P、F为顶点的四边形能构成平行四边形． 此时点F的坐标为F（3，﹣）或F（1，）． 15．（2025•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先求得B（4，0），C（0，3），再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延长PD交x轴于点F，则D（m，﹣m+3），F（m，0），E（m2﹣m，﹣m2+m+3），进而可得：PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m，再利用勾股定理和三角函数定义可得PE+DB＝（m﹣）2+，根据二次函数的性质即可求得答案； （3）由平移得新抛物线y′＝﹣x2+，设M（t，﹣t2+），N（1，n），分三种情况：①以MN、AC为对角线时，②以MA、NC为对角线时，③以MC、NA为对角线时，分别运用平行四边形对角线互相平分的性质，建立方程求解即可得出答案． 【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣2，0）和点（2，3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3； （2）∵y＝﹣x2+x+3， 令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， 令y＝0，得﹣x2+x+3＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴B（4，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+d， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设P（m，﹣m2+m+3）（0＜m＜4），延长PD交x轴于点F，如图1， ∵PD∥y轴， ∴D（m，﹣m+3），F（m，0）， ∵PE∥x轴， ∴点E的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴﹣m2+m+3＝﹣x+3， ∴x＝m2﹣m， ∴E（m2﹣m，﹣m2+m+3）， ∴PE＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，BF＝4﹣m， 在Rt△BOC中，BC＝＝＝5， ∴cos∠CBO＝＝， ∵＝cos∠CBO＝， ∴DB＝BF＝（4﹣m）， ∴PE+DB＝﹣m2+2m+（4﹣m）＝（m﹣）2+， ∵＜0， ∴当m＝时，PE+DB的最大值为，此时P（，）； （3）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+， ∴抛物线y＝﹣x2+x+3对称轴为直线x＝1，顶点为（1，）， 将抛物线y＝﹣x2+x+3沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′＝﹣x2+， 设M（t，﹣t2+），N（1，n），又A（﹣2，0），C（0，3）， ①以MN、AC为对角线时，则MN与AC的中点重合，如图2， ∴， 解得：， ∴N（1，3）； ②以MA、NC为对角线时，则MA与NC的中点重合，如图3， ∴， 解得：， ∴N（1，﹣3）； ③以MC、NA为对角线时，则MC与NA的中点重合，如图4， ∴， 解得：， ∴N（1，6）； 综上所述，点N的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，6）． 16．（2025•开州区模拟）如图1，抛物线y＝与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B作直线BD∥直线AC，交抛物线y于另一点D，点P为直线AC上方抛物线上一动点． （1）求线段AB的长． （2）过点P作PF∥y轴交AC于点Q，交直线BD于点F，过点P作PE⊥AC于点E，求2PE+3PF的最大值及此时点P的坐标． （3）如图2，将抛物线y＝向右平移3个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线上一点，点N为原抛物线对称轴一点，直接写出所有使得A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标，并写出其中一个点N的坐标的求解过程． 【分析】（1）令＝0，即可求解； （2）求出直线AC、BD的解析式，设点P（t，﹣t2﹣t+），则Q（t，t+），F（t，t﹣），利用∠QPE＝30°，将所求转化为2PE+3PF＝3PQ+3PF再求解即可； （3）求出平移后的抛物线解析式，设M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n），分三种情况①当AB为平行四边形的对角线；②当AM为平行四边形的对角线；③当AN为平行四边形的对角线；利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求解即可． 【解析】（1）令＝0， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0）， ∴AB＝4； （2）∵y＝， ∴C（0，）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x+， ∵AC∥BD， ∴直线BD的解析式为y＝x﹣， 设点P（t，﹣t2﹣t+），则Q（t，t+），F（t，t﹣）， ∵点P为直线AC上方， ∴PQ＝﹣t2﹣t+﹣t﹣＝﹣t2﹣t， PF＝﹣t2﹣t+﹣t+＝﹣t2﹣t+， ∵OA＝3，OC＝， ∴∠CAO＝30°， ∵PE⊥AC，PF⊥AO， ∴∠QPE＝30°， ∴PE＝PQ， ∴2PE+3PF ＝3PQ+3PF ＝3（﹣t2﹣t﹣t2﹣t+） ＝3（﹣t2﹣2t+） ＝﹣2t2﹣6t+4 ＝﹣2（t+）2+， ∴当t＝﹣时，2PE+3PF有最大值， 此时P（﹣，）； （3）∵y＝＝﹣（x+1）2+， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∵抛物线向右平移3个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+， 设M（m，﹣m2+m），N（﹣1，n）， ①当AB为平行四边形的对角线时， ﹣3+1＝m﹣1，0＝n﹣m2+m， ∴m＝﹣1，n＝， ∴N（﹣1，），M（﹣1，）； ②当AM为平行四边形的对角线时， ﹣3+m＝1﹣1，﹣m2+m＝n， ∴m＝3，n＝， ∴M（3，），N（﹣1，）； ③当AN为平行四边形的对角线时， ﹣3﹣1＝1+m，﹣m2+m＝n， ∴m＝﹣5，n＝﹣15， ∴M（﹣5，﹣15），N（﹣1，﹣15）； 综上所述：N点坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣15）． 17．（2025•凤翔县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过A（﹣1，0），C（0，﹣2）两点，将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2，平移后点A的对应点为点B． （1）求抛物线C1与C2的函数表达式； （2）若点M是抛物线C1上一动点，点N是抛物线C2上一动点，请问是否存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A点、C点代入y＝x2+bx+c可求抛物线C1的函数表达式，再由平移的性质可求抛物线C2的函数表达式； （2）在中，令y＝4，可求M1（﹣2，4）或M2（3，4），在中，令y＝4，可求N1（0，4）或N2（5，4）． 【解析】（1）∵y＝x2+bx+c的图象经过C（0，﹣2）， ∴c＝﹣2， 将A（﹣1，0）代入y＝x2+bx﹣2中， 解得b＝﹣1， ∴抛物线C1的函数表达式为， ∵将抛物线C1向右平移2个单位得到抛物线C2， ∴抛物线C2的函数表达式为； （2）存在这样的点M、N，使得以A、B、M、N为顶点且以AB为边的四边形是面积为8的平行四边形，理由如下： ∵点A（﹣1，0）向右平移2个单位得到点B， ∴B（1，0）， ∴AB＝2， 由题意知，以AB为边的平行四边形的面积为8，则MN∥AB，MN＝AB，AB边上的高为4， ∵抛物线的顶点为，而， ∴在x轴下方不存在满足条件的点M、N； 在中，令y＝4，即x2﹣x﹣2＝4，解得x＝﹣2或x＝3， ∴M1（﹣2，4）或M2（3，4）， 在中，令y＝4，即x2﹣5x+4＝4，解得x＝0或x＝5， ∴N1（0，4）或N2（5，4）． 综上所述，点M、N的坐标分别为M（﹣2，4），N（0，4）或M（3，4），N（5，4）． 18．（2025•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W：y＝x2﹣2x与x轴正半轴交于点A．直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求线段AB的长度； （2）将抛物线W平移，使平移后的抛物线交y轴于点D，与直线BC的一个交点为P，若以A、B、D、P为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，求平移后的抛物线表达式． 【分析】（1）在y＝x2﹣2x中，可得A（2，0），在y＝x﹣2中，得B（4，0），即得线段AB的长度是2； （2）设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2+bx+c，D（0，m），P（n，n﹣2），分两种情况：①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，可得，即可解得D（0，﹣1），P（2，﹣1），用待定系数法即得此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1；②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，同理可得D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3），再用待定系数法得此时平移后的抛物线表达式为y＝x2+2x﹣3． 【解析】（1）在y＝x2﹣2x中，令y＝0得x2﹣2x＝0， 解得x＝0或x＝2， ∴A（2，0）， 在y＝x﹣2中，令y＝0得x﹣2＝0， 解得x＝4， ∴B（4，0）， ∴AB＝4﹣2＝2； 答：线段AB的长度是2； （2）设抛物线W：y＝x2﹣2x平移后表达式为y＝x2+bx+c，由题意知抛物线y＝x2+bx+c过D、P， 设D（0，m），P（n，n﹣2）， 又A（2，0），B（4，0）， ①当AP、BD为平行四边形对角线时，AP、BD的中点重合，如图： ∴， 解得， ∴D（0，﹣1），P（2，﹣1）， 将D（0，﹣1），P（2，﹣1）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1； ②当AD、BP为对角线时，AD、BP的中点重合，如图： ∴， 解得， ∴D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3）， 将D（0，﹣3），P（﹣2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴此时平移后的抛物线表达式为y＝x2+2x﹣3； 综上所述，平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣1或y＝x2+2x﹣3． 19．（2025秋•文昌期末）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交直线l于点A、C（2，﹣3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； （3）P是线段AC上的一个动点，过点P做PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值； （4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式； （2）利用同底等高三角形的面积相等解答； （3）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），进而可得出PE＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （4）存在．如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3），可知CK∥x轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可． 【解析】（1）把A（﹣1，0）、C（2，﹣3）分别代入y＝ax2+bx﹣3，得． 解得． 故该抛物线解析式是y＝x2﹣2x﹣3； （2）存在，理由如下： ∵S△ABD＝S△ABC，C（2，﹣3）， ∴AB•|yC|＝AB•|yD|，即|yC|＝|yD|， ∴|yD|＝3， ∴yD＝3或yD＝﹣3． ∴D（0，3）或（0，﹣3）； （3）由A（﹣1，0）、C（2，﹣3）得到直线AC解析式为y＝﹣x﹣1． 设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， ∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣1＜0， ∴当m＝时，PE取最大值，最大值为； （4）存在． 理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K（0，﹣3）， ∵C（2，﹣3）， ∴CK∥x轴，CK＝2， 当AC是平行四边形ACF1G1的边时，可得G1（﹣3，0）． 当AC是平行四边形AF1CG2的对角线时，AG2＝CK，可得G2（1，0）， 当点F在x轴的上方时，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝1±， ∴F3（1﹣，3），F4（1+，3）， 由平移的性质可知G3（4﹣，0），G4（4+，0）． 综上所述，满足条件的点G的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）． 20．（2025•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）． （1）求点C的坐标； （2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值； （3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可； （2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可． 【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上， ∴0＝﹣52﹣4×5+c ∴c＝5， ∴点C的坐标为（0，5）； （2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1： ∵A（﹣5，0），C（0，5） ∴OA＝OC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠CAO＝45°， ∵PF⊥x轴， ∴∠AHF＝45°＝∠PHE， ∴△PHE是等腰直角三角形， ∴， ∴当PH最大时，PE最大， 设直线AC解析式为y＝kx+5， 将A（﹣5，0）代入得0＝﹣5k+5， ∴k＝1， ∴直线AC解析式为y＝x+5， 设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5）， ∴， ∵a＝﹣1＜0， ∴当时，PH最大为， ∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大； （3）存在，理由如下： ∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， 设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5）， 分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时， ， 解得， ∴点M的坐标为（﹣3，8）； ②当AM为平行四边形对角线时， ， 解得， ∴点M的坐标为（3，﹣16）； ③当AN为平行四边形对角线时， ， 解得， ∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）； 综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）． $