第九章因式分解单元测试卷-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：因式分解） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：根据因式分解的定义，变形结果需为几个整式乘积的形式， 选项是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式乘积的形式，错误； 选项将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，正确； 选项的结果是整式乘积加多项式，不是几个整式乘积的形式，错误； 选项的结果是整式乘积加常数，不是几个整式乘积的形式，错误； 故选：． 2．已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解及整式的乘法，熟练掌握因式分解及整式的乘法是解题的关键；通过展开因式并比较多项式系数即可求解． 【详解】解：∵=， 展开右边：， 比较系数得：， ∴， ∴， 常数项与左边一致， ∴a的值为3； 故选B． 3．对于任意整数，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被16整除 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式因式分解与整除的性质，将多项式因式分解后，即可判断其整除性. 【详解】解： ； ∵是任意整数， ∴是整数， ∴一定能被整除，即多项式能被整除. 4．若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 5．下列多项式中是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键． 【详解】解：； ∴是多项式的因式； 故选A 6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解． 将每个多项式因式分解后，检查是否含有因式，不含有该因式的即为答案． 【详解】解：选项A：，含有因式； 选项B：，含有因式； 选项C：，含有因式； 选项D：，不含有因式； 故选：D． 7．下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 8．与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 9．下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解，公式法分解因式主要利用平方差公式和完全平方公式，注意多项式的形式是否符合公式要求． 检查每个多项式是否能使用平方差公式或完全平方公式分解因式． 【详解】解：①，能用平方差公式分解； ②，能用平方差公式、完全平方公式分解； ③，无法写成平方差或完全平方形式，故不能用公式法分解； ④，平方和不能分解，故不能用公式法分解； 综上，能用公式法分解的有2个， 故选：B． 10．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．多项式的公因式是________． 【答案】 【详解】解：多项式中，系数与的最大公约数为，两项都含有的相同字母为和，的最低次幂是，的最低次幂是，因此多项式的公因式为. 12．分解因式：=___________ 【答案】 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 13．利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用因式分解可以简化计算，正确计算是解题的关键． 观察表达式，发现其符合完全平方公式的形式，通过完全平方公式进行因式分解简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 14．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 15．若代数式的值等于0时，__________，__________． 【答案】 2 【分析】利用完全平方公式，把原式变形为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 16．已知，则_________． 【答案】 【分析】利用换元法将看作，看作，两式相加可得．将方程因式分解为，由于，则，因此． 【详解】解：， 设，，则原方程组为， 将，得， ， 变形，得， ∴， ∴， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可； （2）根据提公因式法因式分解的步骤，逐步化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 19．简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查因式分解的定义以及多项式乘多项式； 把展开后的多项式各项系数与的各项系数进行对比，即可得到答案． 【详解】解：因为，多项式因式分解的结果为， 所以， 所以，． 21．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22．材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【分析】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 23．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 24．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：因式分解） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列从左到右的变形中是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 3．对于任意整数，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被16整除 4．若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 5．下列多项式中是多项式的因式的是（    ） A． B． C． D． 6．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 7．下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 8．与相等的是（   ） A． B． C． D． 9．下列多项式：①；②；③；④．能用公式法分解因式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．多项式的公因式是________． 12．分解因式：=___________ 13．利用因式分解计算：_____． 14．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 15．若代数式的值等于0时，__________，__________． 16．已知，则_________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．用提公因式法将下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．简便运算： (1) (2) 20．已知多项式因式分解的结果为，求a，b的值． 21．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22．材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 23．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 24．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解：请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $