精品解析：江西吉安市省重点中学2025-2026学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题

江西吉安市省重点中学2025-2026学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题 命题：吉水中学 陈玮卿 考试时间：2026-4-28 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在等差数列中，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质有，从而即可求解. 【详解】解：在等差数列中，因为，所以，所以， 故选：B. 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题目给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【详解】因为，即， 即，则. 故选：A. 3. 若数列满足，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系判断出数列是周期数列，由此求得. 【详解】∵数列满足， ， 是周期为3的周期数列，而， . 4. 甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记事件抽取的为甲袋，记事件抽取的为乙袋，记事件抽取的一球为红球，求出、、、，利用全概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件抽取的为甲袋，记事件抽取的为乙袋，则， 记事件抽取的一球为红球，则，， 因此，. 故选：D. 5. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：，共5个基本事件， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：D. 6. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业变革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为吉安市统计的2025年11月至2026年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：千台）为AI电脑的月销量. 月份 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 2026年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，估计2026年4月的吉安市AI电脑的月销量为（ ） A. 1.63 B. 1.61 C. 1.57 D. 1.52 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后利用回归方程过样本中心点求得，进而求得估计值. 【详解】因为， 所以， 所以关于的线性回归方程为， 2026年4月对应的，代入得. 7. 在数列中，，，则（ ） A. 959 B. 967 C. 977 D. 997 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式进行迭代后再求和即可. 【详解】因为，，所以 ， 所以 . 故选： C. 8. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】，则， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 令，则，又，， 则，故D正确. 故选：BD. 10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ） A. B. 甲组的实验数据误差相对于乙组更集中 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正态分布密度函数曲线的图象及性质可判断A，B；利用正态分布密度函数曲线的对称性以及原则即可判断C，D. 【详解】对于A，B，由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大， 反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小， 对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差， 显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据误差相对乙组更集中，故A，B正确； 对于C,，， ，故C正确； 对于D，， ， 而对于任何正态分布都有， 故，故D错误． 故选：ABC． 11. 4月19日，在北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，来自荣耀的齐天大圣队以50分26秒夺得冠军，超越了乌干达名将基普利莫在今年3月里斯本半程马拉松赛中创造的57分20秒的人类男子半马世界纪录，标志着机器人发展有了重大突破．现有甲、乙、丙、丁四台机器人通过移动棋子进行灵敏度训练，其中甲、乙为白队，丙、丁为黑队．已知白队（甲、乙）将棋子移向同组机器人的概率为，黑队（丙、丁）将棋子移向同组机器人的概率为，将棋子移向不同组机器人时，等可能移向对方组各机器人.现从甲开始移动棋子，设移动次数为且，则下列选项正确的是（ ） A. 移动次后，棋子在甲处和在乙处的概率始终相等 B. 当时，棋子在乙处的概率为 C. 移动次后，棋子在白队中的概率恒为常数 D. 设棋子在乙处的概率为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，列出各种可能棋子移动路线，概率求和；对于C，设棋子在白队成员手中的概率为，在黑队成员手中的概率为，分别列出与之间的关系式，整理得到；对于D，列出的关系式，构造等比数列求出. 【详解】对于AB：由已知，甲将棋子移动到乙、丙、丁的概率分别为； 乙将棋子移动到甲、丙、丁的概率分别为； 丙将棋子移动到甲、乙、丁的概率分别为； 丁将棋子移动到甲、乙、丙的概率分别为； 时，棋子在甲处，移动的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲． 其概率为， 时，棋子在乙处，移动的可能路线①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙． 其概率为，A错误， B正确； 对于C：设移动次后，棋子在白队手中的概率为，在黑队成员手中的概率为， 则，所以，所以，所以是常数列，C正确； 对于D：由C可知，移动棋子次后，棋子在白队成员手中的概率为，在黑队成员手中的概率为， 所以，整理得， 所以是公比为的等比数列． 当时，，整理得，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为随机变量，且，解得， 所以，故. 13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列下标和的性质以及前项和公式求得正确答案. 【详解】因为为等差数列， 所以. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据切线斜率与切点处导数相等求出切点坐标间的关系即可． 【详解】函数，，有，， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点， 则有，可得，， . 故答案为：2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，且，求： （1）的值； （2）曲线在点处的切线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用列方程求得. （2）根据导数的几何意义结合已知条件可求得切线方程. 【小问1详解】 . ，解得：. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 曲线在点处的斜率为， 所以切线方程，即，即. 16. 已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列与等比数列的通项的基本量运算求解即得； （2）利用分组求和法，结合等比等差数列求和公式计算即得． 【小问1详解】 由题意，，则. ，故， 由可得，消去，可得， 即. 因为且，所以. 故数列的通项公式为，数列的通项公式为． 【小问2详解】 根据题意得：， 由（1）得. 故 17. 甲､乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸（单位：）及个数，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与的误差不超过，其余零件为二等品. （1）试根据上述数据建立一个列联表，并判断能否有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲､乙有关？ （2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲､乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用.设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲､乙有关 （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）建立列联表，计算出卡方，即可判断； （2）首先求出甲加工、乙加工抽取的零件数，则的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意可得列联表为： 一等品零件数 二等品零件数 合计 甲 40 10 50 乙 30 20 50 合计 70 30 100 所以， 所以有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲､乙有关． 【小问2详解】 依题意甲加工的抽取个，乙加工的抽取个， 则的可能取值为、、、， 所以，，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． （2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） 2 3 0.52 0.48 （2）【解析】 【分析】（1）（ⅰ）计算两次交手记录郑钦文获胜的频率即可； （ⅱ）按照独立事件和互斥事件的概率公式求，再利用即可求出分布列； （2）按照独立事件和互斥事件的概率公式分别求出两种情况下的郑钦文获胜的概率，再解关于的不等式即可. 【小问1详解】 （ⅰ）根据两次交手记录，郑钦文共胜2局，负3局，因此的估计值为． （ⅱ）由题知，可取值为、， ，， 所以的分布列为 2 3 0.52 0.48 【小问2详解】 三局两胜制郑钦文最终获胜概率， 五局三胜制中郑钦文最终获胜的概率 所以，化简得， 因为，，所以，即，所以， 所以使得五局三胜制获胜的概率大于三局两胜获胜的概率的取值范围是． 19. 设数列满足.数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. （3），数列的前项和，求证：. 【答案】（1） ， （2） （3） 由（1）可知，， 因为 所以，， 两边同时乘以，则，即，证明完毕. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件可得数列为等差数列，进而求得根据与的关系可得； （2）根据错位相减法计算求解即可； （3）根据裂项相消法计算即可证明. 【小问1详解】 由，得， 所以数列是公差为2，首项为的等差数列， 即，所以. 由已知，① 当时，，得，当时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列.所以； 【小问2详解】 由（1）可知，数列的通项公式为， 则， 所以， 故 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市省重点中学2025-2026学年高二下学期4月份阶段性检测数学试题 命题：吉水中学 陈玮卿 考试时间：2026-4-28 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 在等差数列中，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若数列满足，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. -1 4. 甲袋中有个白球、个红球，乙袋中有个白球、个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 6. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业变革的战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来．下表为吉安市统计的2025年11月至2026年3月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：千台）为AI电脑的月销量. 月份 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 2026年3月 月份代号 1 2 3 4 5 月销量 0.5 0.9 1 1.2 1.4 经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，估计2026年4月的吉安市AI电脑的月销量为（ ） A. 1.63 B. 1.61 C. 1.57 D. 1.52 7. 在数列中，，，则（ ） A. 959 B. 967 C. 977 D. 997 8. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会造成一定的误差，甲组的实验数据误差和乙组的实验数据误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，则（ ） A. B. 甲组的实验数据误差相对于乙组更集中 C. D. 11. 4月19日，在北京亦庄人形机器人半程马拉松比赛中，来自荣耀的齐天大圣队以50分26秒夺得冠军，超越了乌干达名将基普利莫在今年3月里斯本半程马拉松赛中创造的57分20秒的人类男子半马世界纪录，标志着机器人发展有了重大突破．现有甲、乙、丙、丁四台机器人通过移动棋子进行灵敏度训练，其中甲、乙为白队，丙、丁为黑队．已知白队（甲、乙）将棋子移向同组机器人的概率为，黑队（丙、丁）将棋子移向同组机器人的概率为，将棋子移向不同组机器人时，等可能移向对方组各机器人.现从甲开始移动棋子，设移动次数为且，则下列选项正确的是（ ） A. 移动次后，棋子在甲处和在乙处的概率始终相等 B. 当时，棋子在乙处的概率为 C. 移动次后，棋子在白队中的概率恒为常数 D. 设棋子在乙处的概率为，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知随机变量，且，则__________. 13. 设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为__________. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，且，求： （1）的值； （2）曲线在点处的切线方程； 16. 已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 甲､乙两人用同一台机床加工同一规格的零件，随机抽取他们加工后的零件各50个，得到他们加工后的零件尺寸（单位：）及个数，如下表： 零件尺寸 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 零件个数 甲 4 5 20 15 6 乙 9 7 15 8 11 已知一等品零件尺寸与的误差不超过，其余零件为二等品. （1）试根据上述数据建立一个列联表，并判断能否有的把握认为加工后的零件是不是一等品与甲､乙有关？ （2）如果从已经抽检出的这100个零件中，按照甲､乙分层随机抽样的方法抽取7个一等品零件，再从这7个零件中随机抽取4个零件送给有意向购买此零件的商家进行试用.设乙加工的零件送给商家试用的个数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 2.706 3.841 5.024 18. 2024年巴黎奥运会上，网球女单决赛中，中国选手郑钦文击败克罗地亚选手维基奇获得中国在该项目上首枚金牌！展现了祖国至上，为国争光的赤子情怀．已知网球比赛为三局两胜制，在郑钦文与维基奇的单局比赛中，郑钦文获胜的概率为，且每局比赛相互独立． （1）在此次决赛之前，两人交手记录为2021年库马约尔站：郑钦文0比2不敌维基奇；2023年珠海WTA超级精英赛：郑钦文以2比1战胜维基奇．若用这两次交手共计5局比赛记录来估计． （ⅰ）为多少？ （ⅱ）请利用上述数据，若郑钦文再次遇到维基奇，求比赛局数的分布列． （2）如果比赛可以为五局三胜制，若使郑钦文在五局三胜制中获胜的概率大于三局两胜制中获胜的概率，求的取值范围？ 19. 设数列满足.数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. （3），数列的前项和，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $