专题10分式的运算、分式方程复习讲义（18大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学八年级下学期

专题10分式的运算、分式方程复习讲义 期中复习◆重点 1.熟练掌握分式乘除、乘方及加减运算的法则，能进行规范化、准确化运算。 2.理解分式混合运算顺序，掌握运算技巧，提升综合运算能力。 3.掌握分式方程的定义，熟练求解可化为一元一次方程的分式方程。 4.牢记分式方程验根的必要性，理解增根的产生原因及处理方法。 5.运用分式方程解决实际应用题，理清等量关系，规范解题步骤。 核心题型◆归纳 题型1分式的乘除 题型2分式乘方 题型3含乘方的分式乘除混合运算 题型4同分母分式加减法 题型5异分母分式加减法 题型6通分 题型7整式与分式相加减 题型8已知分式恒等式，确定分子或分母 题型9分式加减的实际应用 题型10分式加减乘除混合运算 题型11分式的化简求值 题型12分式最值 题型13分式方程的定义 题型14解分式方程（化为一元一次） 题型15根据分式方程解的情况求值 题型16分式方程无解问题 题型17分式方程的应用 题型18提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式四则运算 1.分式乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：×==.(B≠0,D≠0) 运算技巧：先因式分解，再约分，最后相乘，简化运算过程。 2.分式除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 运算技巧：除法变乘法，颠倒除式分子分母，再按乘法法则计算。 3.分式乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 公式：=. (B≠0, n为正整数） 注意事项：分子、分母整体乘方，同时确定符号，负数偶次幂为正、奇次幂为负。 4.分式加减法 （1）同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式。 公式： = (B≠0) 注意：分子相加减时，多项式分子需添加括号，避免符号错误。 （2）异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算。 公式：±= .(B≠0，D≠0) 核心步骤：确定最简公分母→通分→分子加减→约分化简。 5.分式混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的。 运算技巧：全程遵循先因式分解、再约分、后计算，简化算式后再运算。 知识点二、分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2.分式方程的解法步骤 （1）去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 （2） 解整式方程：求解转化后的一元一次方程。 （3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，判断是否为0。 （4）写结论：最简公分母不为0，是原方程的解；为0则为增根，原方程无解。 3.增根的相关知识 产生原因：去分母时，方程两边乘了使分母为0的整式。 核心特征：增根是整式方程的解，但使原分式方程分母为0。 关键要求：分式方程必须验根，这是区别于整式方程的核心步骤。 4. 分式方程的解题步骤： （1） 通读题干，明确题目类型（找出已知量、未知量，梳理数量关系）； （2） 设未知数，注明未知数的单位； （3） 根据等量关系，用含未知数的分式表示相关量，列出分式方程（注意等式两边单位统一）； （4）按照分式方程的解法，去分母、解整式方程，求出未知数的值； （5）① 代入最简公分母，检验是否为增根；② 检验解是否符合实际意义（如时间、速度、工作量不能为负）；（双重检验） （6）根据检验结果，写出符合题意的答案，注明单位。 常见题型：工程问题、行程问题、销售问题、工作量问题等。 知识点三、解题方法与技巧 1.分式运算：先观察式子结构，优先因式分解，能约分先约分，减少计算量。 2.符号处理：统一分式符号，负号提前，避免分子分母符号混乱。 3.分式方程：去分母时，常数项也要乘最简公分母，杜绝漏乘；验根不可省略。 4.实际应用：找准题目中的等量关系，设未知数时遵循简便原则，单位统一。 知识点四、易错点提醒 1.分式运算时，误将分子分母直接约分，忽略因式分解步骤。 2.异分母分式加减，未通分直接将分子、分母分别加减。 3.去分母时，漏乘不含分母的常数项，导致整式方程求解错误。 4.求解分式方程后，省略验根步骤，混淆增根与方程的解。 5.分式实际应用，只检验方程解，忽略实际意义的检验。 6.分子为多项式时，相加减未加括号，出现符号计算错误。 题型解析◆精准备考 题型1分式的乘除 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：________ 3．计算： (1) (2) 题型2分式乘方 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算：___________． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型3含乘方的分式乘除混合运算 1．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 2．____． 3．计算： 题型4同分母分式加减法 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 2．计算的结果是______． 3．计算： (1) (2) 题型5异分母分式加减法 1．计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 2．计算的结果等于_____． 3．先化简，再求值：，其中． 题型6通分 1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C．D． 2．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 3．下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务． 小明：解：原式第一步 第二步 第三步 小红：解：原式第一步 任务一： (1)小明同学的第_____________步是分式的通分，通分的依据是_____________； (2)小明同学的第三步是对后一个分式的分子进行_____________，用到的公式是_____________； 任务二： (3)小红同学第一步解法的依据是_____________． 任务三： (4)该分式化简后的正确结果_____________． 题型7整式与分式相加减 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ____________________． 3．计算 (1)； (2)． 题型8已知分式恒等式，确定分子或分母 1．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．若，则__________． 3．已知是恒等式，请分别求、的值． 题型9分式加减的实际应用 1．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时B．小时 C．小时 D．小时 2．某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是_______天． 3．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 题型10分式加减乘除混合运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是____． 3．计算与化简 (1)． (2)． 题型11分式的化简求值 1．已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是______． 3．先化简，再求值：，其中． 题型12分式最值 1．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 3．计算： (1)； (2)． 题型13分式方程的定义 1．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 3．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 题型14解分式方程（化为一元一次） 1．分式方程的解是（） A． B． C． D． 2．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 3．解方程 (1) (2) 题型15根据分式方程解的情况求值 1．若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 3．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 题型16分式方程无解问题 1．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 2．关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 3．在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 题型17分式方程的应用 1．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 3．某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 过关检测◆提升 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 4．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 5．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 二、填空题 7．分式方程的解为______ ． 8．计算的结果是__________． 9．如果，则的值等于____________； 10．计算：_____． 11．为常数，如果，则___________． 12．若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 14．计算题： (1) (2) 15．先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 16．计算和先化简后求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 17．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 18．2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． (1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ (2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10分式的运算、分式方程复习讲义 期中复习◆重点 1.熟练掌握分式乘除、乘方及加减运算的法则，能进行规范化、准确化运算。 2.理解分式混合运算顺序，掌握运算技巧，提升综合运算能力。 3.掌握分式方程的定义，熟练求解可化为一元一次方程的分式方程。 4.牢记分式方程验根的必要性，理解增根的产生原因及处理方法。 5.运用分式方程解决实际应用题，理清等量关系，规范解题步骤。 核心题型◆归纳 题型1分式的乘除 题型2分式乘方 题型3含乘方的分式乘除混合运算 题型4同分母分式加减法 题型5异分母分式加减法 题型6通分 题型7整式与分式相加减 题型8已知分式恒等式，确定分子或分母 题型9分式加减的实际应用 题型10分式加减乘除混合运算 题型11分式的化简求值 题型12分式最值 题型13分式方程的定义 题型14解分式方程（化为一元一次） 题型15根据分式方程解的情况求值 题型16分式方程无解问题 题型17分式方程的应用 题型18提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、分式四则运算 1.分式乘法 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式：×==.(B≠0,D≠0) 运算技巧：先因式分解，再约分，最后相乘，简化运算过程。 2.分式除法 法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 公式：÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 运算技巧：除法变乘法，颠倒除式分子分母，再按乘法法则计算。 3.分式乘方 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 公式：=. (B≠0, n为正整数） 注意事项：分子、分母整体乘方，同时确定符号，负数偶次幂为正、奇次幂为负。 4.分式加减法 （1）同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减，结果化为最简分式。 公式： = (B≠0) 注意：分子相加减时，多项式分子需添加括号，避免符号错误。 （2）异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法计算。 公式：±= .(B≠0，D≠0) 核心步骤：确定最简公分母→通分→分子加减→约分化简。 5.分式混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号内的。 运算技巧：全程遵循先因式分解、再约分、后计算，简化算式后再运算。 知识点二、分式方程 1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2.分式方程的解法步骤 （1）去分母：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程。 （2） 解整式方程：求解转化后的一元一次方程。 （3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，判断是否为0。 （4）写结论：最简公分母不为0，是原方程的解；为0则为增根，原方程无解。 3.增根的相关知识 产生原因：去分母时，方程两边乘了使分母为0的整式。 核心特征：增根是整式方程的解，但使原分式方程分母为0。 关键要求：分式方程必须验根，这是区别于整式方程的核心步骤。 4. 分式方程的解题步骤： （1） 通读题干，明确题目类型（找出已知量、未知量，梳理数量关系）； （2） 设未知数，注明未知数的单位； （3） 根据等量关系，用含未知数的分式表示相关量，列出分式方程（注意等式两边单位统一）； （4）按照分式方程的解法，去分母、解整式方程，求出未知数的值； （5）① 代入最简公分母，检验是否为增根；② 检验解是否符合实际意义（如时间、速度、工作量不能为负）；（双重检验） （6）根据检验结果，写出符合题意的答案，注明单位。 常见题型：工程问题、行程问题、销售问题、工作量问题等。 知识点三、解题方法与技巧 1.分式运算：先观察式子结构，优先因式分解，能约分先约分，减少计算量。 2.符号处理：统一分式符号，负号提前，避免分子分母符号混乱。 3.分式方程：去分母时，常数项也要乘最简公分母，杜绝漏乘；验根不可省略。 4.实际应用：找准题目中的等量关系，设未知数时遵循简便原则，单位统一。 知识点四、易错点提醒 1.分式运算时，误将分子分母直接约分，忽略因式分解步骤。 2.异分母分式加减，未通分直接将分子、分母分别加减。 3.去分母时，漏乘不含分母的常数项，导致整式方程求解错误。 4.求解分式方程后，省略验根步骤，混淆增根与方程的解。 5.分式实际应用，只检验方程解，忽略实际意义的检验。 6.分子为多项式时，相加减未加括号，出现符号计算错误。 题型解析◆精准备考 题型1分式的乘除 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 2．计算：________ 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型2分式乘方 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 2．计算：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的乘方等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用分式乘方运算，然后运用分式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式乘方以及分式乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，即可作答． （3）先运算乘方再运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型3含乘方的分式乘除混合运算 1．计算的结果是（    ） A．a B．a3 C．a6 D．a9 【答案】A 【分析】先计算乘方，再进行约分即可得到结果． 【详解】解： ∴ 化简得结果为． 2．____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的乘方和乘除运算．应用指数运算法则和除法法则，先分别计算两个幂的表达式，再通过乘法取倒数进行除法运算． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型4同分母分式加减法 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：原式． 2．计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型5异分母分式加减法 1．计算的结果等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先利用分式基本性质统一分母，再合并分子后约分即可得到结果． 【详解】解:原式 ． 2．计算的结果等于_____． 【答案】 【分析】先对第二个分式的分母进行因式分解，再通分，根据分式加法法则计算，最后约分得到结果． 【详解】解：原式 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据分式的加减运算法则将异分母分式通分，将分式的除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式进行因式分解并约分，得到化简后的分式，再代入字母的值，将含有二次根式的分母有理化，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 当时， 原式． 题型6通分 1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 2．将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为___________ ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，然后利用最简公分母除以各自的分母，得到每个分母需乘的单项式． 【详解】分式, , 的分母分别为, , , 最简公分母为． , , ，故分母所乘的单项式依次为, , ． 故答案为：, , 3．下面是小明和小红两位同学对同一个分式进行化简，请认真阅读并完成相应的任务． 小明：解：原式第一步 第二步 第三步 小红：解：原式第一步 任务一： (1)小明同学的第_____________步是分式的通分，通分的依据是_____________； (2)小明同学的第三步是对后一个分式的分子进行_____________，用到的公式是_____________； 任务二： (3)小红同学第一步解法的依据是_____________． 任务三： (4)该分式化简后的正确结果_____________． 【答案】(1)一，分式的基本性质 (2)因式分解，平方差公式 (3)乘法分配律 (4) 【分析】（1）根据分式的基本性质即可得； （2）根据因式分解的定义、平方差公式即可得； （3）根据乘法分配律即可得． （4）按照乘法分配律展开然后约分计算即可． 【详解】（1）解：小明同学的第一步是分式的通分，通分的依据是分式的基本性质， （2）解：小明同学的第三步是进行的因式分解，用到的公式是平方差公式， （3）解：小红同学解法的依据是乘法分配律； （4）解： 题型7整式与分式相加减 1．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减运算，先通分，再按同分母的分式减法法则进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选：． 【点睛】 2．计算的结果是 ____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，通分是解答的关键．首先通分，然后进行分式的减法运算即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则展开式子，再通过去括号、合并同类项得到最终结果 ． （2）先将整式转化为同分母分式，再根据同分母分式的加法法则计算化简 ． 本题考查多项式乘法与整式加减的混合运算，以及分式与整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8已知分式恒等式，确定分子或分母 1．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．若，则__________． 【答案】 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 3．已知是恒等式，请分别求、的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．先把分式恒等式去分母可得，再利用恒等建立方程组即可． 【详解】解：， ∴去分母可得：， ∴， 由恒等式可得： ， 解得：． 题型9分式加减的实际应用 1．一项工程，甲单独做需m小时完成，若与乙合作30小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（   ） A．小时B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】设工作总量为1，根据甲乙合作完成时间得到合作工作效率，结合甲单独完成时间得到甲的工作效率，进而求出乙的工作效率，再根据时间工作总量工作效率，计算乙单独完成需要的时间． 【详解】解：设工作总量为1， ∵甲单独做需小时完成，甲乙合作小时完成， ∴甲的工作效率为，甲乙合作的工作效率为， ∴乙的工作效率为， ∴乙单独完成需要的时间为（小时）． 2．某项工程，甲、乙两队合作需m天完成，甲单独做需要n天完成，那么乙队单独完成的时间是_______天． 【答案】 【分析】本题考查了分式加减的应用，分式的除法，理解题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得，甲乙合作的工作效率是，甲单独做的工作效率是，两者相减得出乙单独做的工作效率，然后用工作量除以工作效率即可得出答案． 【详解】解：， ∴乙队单独完成的时间是天． 故答案为：． 3．谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【详解】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 题型10分式加减乘除混合运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 2．计算的结果是____． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解分母，再对异分母分式通分，转化为同分母分式后合并分子，最后约分得到结果． 【详解】解：原式 = ． 3．计算与化简 (1)． (2)． 【答案】(1)11 (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型11分式的化简求值 1．已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用已知等式推导得到和，再对给定分式等式变形，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且， 等式两边同除以得， 两边平方得，展开得，整理得， 对等式，分子分母同除以得， 整理得， 将，代入得， 去分母得，解得，即． 2．已知，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先对原式因式分解约分，再按同分母的加法法则计算，最后代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型12分式最值 1．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 2．新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算： （1）根据实数混合运算的法则计算即可； （2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方等于各因数乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型13分式方程的定义 1．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 2．下列关于x的式子是分式方程的是________．（请填写序号） ①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】该题考查了分式方程的定义，分式方程是指分母中含有未知数的方程．判断时需满足两个条件：一是方程为等式，二是分母中含有未知数． 【详解】解：方程①的分母中含未知数，故是分式方程；②不是方程，故不是分式方程；方程③的分母是常数，不含未知数，故不是分式方程；方程④的分母中含未知数，故是分式方程． 故答案为：①④． 3．判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 题型14解分式方程（化为一元一次） 1．分式方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，然后检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 2．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，款哪吒玩偶单价是款哪吒玩偶的2倍．、两款玩偶的单价分别是多少元？设款哪吒玩偶的单价是元．可列方程___________． 【答案】 【分析】先根据题目给出的单价关系表示出A款玩偶的单价，再根据数量等于总金额除以单价的关系，分别表示出两款玩偶的购进数量，最后根据A款数量比B款少50个的等量关系列方程即可； 【详解】解：设B款哪吒玩偶的单价是元，则A款哪吒玩偶单价为元， 根据题意可得购进A款玩偶的数量为个，购进B款玩偶的数量为个， 因为购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，即B款数量减去A款数量等于50， 因此列方程得：． 3．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，； ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴原方程无解. 题型15根据分式方程解的情况求值 1．若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 2．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负整数a，求和即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴， ∴， ∵， 解得， ∵关于y的分式方程的解为非负整数， ∴且，能被2整除， ∴且， ∴且， 又∵能被2整除， ∴满足条件的负整数， ∴． 3．已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解： 方程两边乘，得：， 解得． ∵原分式方程的解是正数， ∴， ∴， 又， ∴， 解得． ∴且． 题型16分式方程无解问题 1．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 2．关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 3．在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． (1)若，求x的值； (2)若不存在满足条件的，求的值． 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）根据题意得，再将代入解分式方程即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点A和原点重合，不符合题意，舍去；当时，解分式方程，根据分式方程无解的情况，即可求解． 【详解】（1）解： ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：当时，，此时点A和原点重合，不符合题意，舍去； 当时， ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 去分母得：， 已知不存在满足条件的x的值，则， 把代入得，， 解得：， 综上，m的值为. 题型17分式方程的应用 1．为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区．仓库到市区的路程为100千米．如果用普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达．已知高速货车的速度是普通货车的2倍．设预定时间为小时，则可列分式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据预定时间表示出两种货车的行驶时间，结合速度公式得到两车速度，再根据高速货车速度是普通货车速度的2倍的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵预定时间为小时，普通货车比预定时间晚小时到达， ∴普通货车的行驶时间为小时，可得普通货车速度为， ∵高速货车比预定时间早小时到达， ∴高速货车的行驶时间为小时，可得高速货车速度为， ∵高速货车的速度是普通货车的倍， ∴可列方程． 2．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于工程问题，根据工作总量工作时间工作效率，结合总工作量为，即可列出正确方程． 【详解】解：设乙队单独施工需要个月，则乙队的工作效率为， 由题意可知，甲队单独施工个月完成总工程的，因此甲队的工作效率为， 甲先单独完成的工作量，之后甲乙两队共同工作半个月（即个月），总工作量为， 列方程得：， 整理可得：． 3．某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 过关检测◆提升 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的乘除运算．首先把除法运算转化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 2．下列式子计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的加减乘除运算法则逐项排除即可． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意． 故选：． 3．下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 4．分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 5．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 6．已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式通分化简，得到与的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴原等式变形为，， 移项得，， 交叉相乘得，，即， 整理得，， ， 两边平方得：， 将代入得：， ∴． 二、填空题 7．分式方程的解为______ ． 【答案】 【分析】把分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：把代入，得， 分式方程的解为． 8．计算的结果是__________． 【答案】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 9．如果，则的值等于____________； 【答案】22 【分析】利用完全平方公式求出，得出，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴，即， ∴， ∴． 10．计算：_____． 【答案】1 【分析】根据分式混合运算法则，先计算括号内的加法，再计算除法，即可求解． 【详解】解： ． 11．为常数，如果，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值即可解答． 【详解】解：对左边通分：， 因为左边等于右边，所以分子需相等， ， 展开左边：， 比较等式两边的系数和常数项，得方程组： ， 解得：，． ∴． 故答案为：6． 12．若关于的一元一次不等式组至少有三个整数解，关于的分式方程有非负整数解则所有满足条件的值的和为_________． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据至少有三个整数解确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解且分母不为零确定符合条件的整数，最后计算所有符合条件整数的和． 【详解】解：， 解不等式①：得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至少有三个整数解，大于的前三个整数为，，， 是不等式组的解， ， 解得：， 解分式方程：， 方程变形为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 分式方程有非负整数解， 是的非负整数倍， 且（时分母为零，是增根，需舍去）， ，且， ①当时，，符合条件； ②当时，，符合条件； ③当时，，不符合条件，舍去； ④当时，，符合条件； ⑤当时，，不符合条件，舍去． 综上所述，符合条件的整数为，，， 所有满足条件的值的和为． 三、解答题 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式的乘除法法则进行计算即可； （2）先通分，然后按同分母分式加减法计算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 14．计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据乘方的定义、立方根的定义、绝对值的性质，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据分式的加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．先化简，再求值：，请从、0、1、2中选取一个合适的数作为的值代入并求值． 【答案】，时，原式 【详解】解：原式 ， ∵，， ， 当时， 原式 . 16．计算和先化简后求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据有理数乘方、绝对值、立方根化简，然后再计算即可； （2）先根据整式与分式的加法运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时， ． 17．【阅读理解】在比较两个数或式子的大小时，解决策略一般是利用“作差法”．如：要比较式子、的大小，只需要作差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)若，则 ；（填“”“”或“”） (2)已知，，当，且时，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）先化简，再根据作出判断即可； （2）计算，并根据，且作出判断即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 18．2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． (1)求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ (2)某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 【答案】(1)20千克 (2)3台 【分析】（1）设熟练采摘工人每小时采摘量为未知数，根据采摘600千克的时间差列分式方程求解即可； （2）设小番茄采摘机器人的数量为未知数，根据4小时总采摘量不低于920千克列一元一次不等式，结合数量为正整数求出最小值即可． 【详解】（1）解：设一名熟练采摘工人每小时采摘千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄， 根据题意列方程得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解，符合题意． 答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄； （2）解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名， 由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克）， 根据题意列不等式得 ， 解得， 因为为正整数，所以的最小值为3． 答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $