江苏南京市中华中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学

**基本信息** 高一数学期中卷以复数、三角、向量等核心知识为载体，通过折扇文化、商场地摊等情境设计，融合数学建模与创新意识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题58分|复数运算、三角恒等变换、立体几何判定|第4题辨析棱锥棱台概念，考查空间观念；第9题折扇情境结合向量投影，体现数学眼光| |填空|3题15分|基底性质、三角化简、外心向量表示|第14题外心与向量系数结合，考查几何直观与推理能力| |解答|5题77分|复数应用、解三角形、实际问题建模、新定义函数|第18题商场地摊区域面积优化，培养数学语言表达现实世界能力；第19题“积向量”新定义，发展创新意识与逻辑推理|

南京市中华中学2025-2026学年第二学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题：王慧慧 审题：李雅洁 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则复数i5－等于(▲) A．－1 B． i C．－i D．1 2．已知sinα＝，则cos(π＋2α)等于(▲) A． B．－ C．－ D． 3．已知向量b＝(1，2)，且向量a在向量b上的投影向量为b，则a·b等于( ▲ ) A．1 B． 2 C．3 D． 4 4．下列说法正确的是( ▲ ) A. 直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 D. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥 5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，下列结论正确的是( ▲ ) A．若b＋c－a＞0，则△ABC为锐角三角形 B．若△ABC为钝角三角形，则b＋c－a＜0 C．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰直角三角形 D．若a＝2，c＝4，A＝60°，则符合条件的△ABC只有一个 6．已知||＝3，||＝2，若对于任意的实数m，不等式|＋|≤|＋m|恒成立，则 cos∠BAC＝( ▲ )． A． B．－ C．－ D． 7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4sin ＝，AD是∠A的角平分线，点D在BC上，AD＝，b＝3c，则a＝( ▲ ) A． B． C． D．4 8．半径为2的圆O上有三点A、B、C满足＋＋＝0，点P是圆内一点，则·＋·的取值范围为( ▲ ) A．[－4，14) B．(－4，14] C．[－4，4) D．(－4，4] 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木等做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图是如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝3OC＝3，点E在弧CD(含端点)上．下列说法正确的是( ▲ )  A．·＝－2 B．若＝μ＋μ，则μ＝1 C．若∠DOE＝30°，则＝＋ D．·的最小值为－2 10．设z1，z2是复数，则下列说法中正确的是( ▲ ) A．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2 B．若|z1|＝|z2|，则z＝z C． 若|z1－z2|＝|z1＋z2|，则z1·z2＝0 D． 若|z1|＝1，则|z1＋2i|的最大值为3 11．在斜△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin A＝cosB，则( ▲ ) A．△ABC为锐角三角形 B．若a＝1，则b＝tanB C．2tanB＋tanC的最小值为 D．1＜cosA＋cosB＋cosC≤ 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若e、 e 是表示平面内所有向量的一组基底，且a＝3e－4e，b＝6e＋ke 不能作为一组基底，则k的值为. 13．(1＋tan10°)sin50°＝. 14．已知O是△ABC的外心（外接圆圆心），AB＝6，AC＝10，若＝x＋y，且3x＋10y＝5(x≠0)，则△ABC的面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 设复数z1＝2＋ai (其中a∈R)，z2＝3－4i (1)若z1＋z2是实数，求z1·z2的值； (2)若是纯虚数，求z1的虚部及|z1|． 16．(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，已知∠A＝60°，AC＝1，AB＝2，M、N分别是线段BC，AB上两点，且满足＝λ，＝λ(0＜λ＜1)． (1)若λ＝，求||及·的值； (2)若⊥，求λ的值． 17．(本小题满分15分) 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且满足 ccosA＋csinA＝b＋a． (1)求角C的大小； (2)若c＝，a＋b＝，求△ABC的面积； (3)若△ABC是锐角三角形，且a＝2，求b的取值范围． 18．(本小题满分17分) 某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意。已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB＝120°，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为RS＝4m，RT＝6m，(m为长度单位)。陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息． (1)求点P到点R的距离； (2)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值． 19．(本小题满分17分) 定义函数f(x)＝asinx＋bcosx的“积向量”为m＝(a，b)，向量m＝(a，b)的“积函数”为f(x)＝asinx＋bcosx．(1)若a＝1，b＝－，求f(x)最大值及对应x的取值集合； (2)若向量m＝(a，b)的“积函数”f(x)满足＝tan，求的值； (3)已知m＝(2cosα，2sinα)，n＝(2cosβ，－2sinβ)，设＝λm＋μn(λ＞0，μ＞0)，且的“积函数”为g(x)，其最大值为t，求(t－2)(λ＋μ)的最小值，并判断此时m，n的关系． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $