精品解析：安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2025～2026学年高一第二学期期中考查数学试题

高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知分别为 的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若直线和平面满足，， 不在平面内，则 B. 若直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 若是两条直线，且，那么平行于经过 的任何平面 5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A. 船头方向与水流方向垂直 B. C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中，，，，以原四边形的边 为轴旋转一周得到的几何体表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ） A. 20 B. C. 10 D. 8. 在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为棱 ，上的点，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 10. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A. 已知，则、不一定为共轭复数 B. 若，则 C. 若为纯虚数，则 D. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为3π 11. 已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点 在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 正三棱台的高为 B. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C. 点P的轨迹长度为 D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm的正方体），用来展示NaCl晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是______. 13. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知， 为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 14. 中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）设求； （2）若 与垂直，求的值. 16. 已知a，b，c分别为 的三个内角A，B，C的对边，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的取值范围. 17. 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将 沿 折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. （1）证明：平面； （2）求四棱锥与三棱锥的体积之比. 18. 如图在直角梯形中，，，点E为的中点，以A为圆心 为半径作圆交 于点G，点P为劣弧 （包含D，G两点）上的一点，与劣弧、 分别交于点F，H． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量，求实数x，y的值； （3）求向量与的夹角的最大值． 19. 如图所示， 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B距离的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的 的三等分点上.设，，. （1）用，表示，，； （2）如果，海里，且，求岛屿C到补给站D的距离； （3）若三个岛屿围成的 的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 已知分别为 的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在 中，， 由正弦定理得， 由 ，得，所以. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数乘法运算，结合虚部概念即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若直线和平面满足，，不在平面内，则 B. 若直线 和平面满足，那么 与内的任何直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 若是两条直线，且，那么 平行于经过的任何平面 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：过直线 作平面，设， 又∵，∴，又∵，∴ 又∵且，∴.因此A正确. 选项B：如果直线 和平面满足，那么 与内的任何直线平行或异面，故B错误； 选项C：平行于同一条直线的两个平面可能平行也可能相交，故C错误； 选项D：如果 ，是两条直线，且，那么 平行于经过但不经过 的任何平面，故D错误. 5. 如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ） A. 船头方向与水流方向垂直 B. C. D. 该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【解析】 【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为 ，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 6. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形 的直观图为梯形其中，，，，以原四边形 的边 为轴旋转一周得到的几何体表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，，，， ， 如图，原四边形 中，， ， ，，， 直角梯形 以边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其表面积为： ． 7. 已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（ ） A. 20 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，借助投影向量定义计算可得，，解出即可得，再利用模长定义计算即可得. 【详解】设，由向量在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 由在上的投影向量的坐标为， 则， 故，即； 即有，解得，则， 则. 8. 在四棱锥中，底面 是平行四边形，E，F分别为棱 ，上的点，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行的性质定理，和线线平行，线段对应成比例，即可求解. 【详解】 连接 ，与交于点 ，连接，交 于G，连接， 由于平面，平面，平面平面， 所以，由于O是 的中点， 所以， 过F作，交 于H，则， 因为，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与的长度相等且方向相同或相反 B. 向量的长度与向量的长度相等 C. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 D. 若与同向，且，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A：向量的模相等只能说明长度相等，但方向可以任意，不一定相同或相反，错； B：向量和的长度都等于线段AB的长度，因此相等，对； C：两个相等的向量具有相同的长度和方向，若起点相同，则终点必然重合，对； D：由向量的性质知，向量不能比较大小，错. 10. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A. 已知，则、不一定为共轭复数 B. 若，则 C. 若为纯虚数，则 D. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为3π 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例说明结合共轭复数的概念和复数的乘法公式计算即可判断AB；根据复数的有关概念建立关于的方程组，结合复数的几何意义计算即可判断C；根据复数乘、除法运算，结合复数的几何意义计算即可求解. 【详解】对于A选项，不妨取，，则， 但、不互为共轭复数，故A正确； 对于B选项，不妨取，，则， 但，，即，故B错误； 对于C选项，由题意知，解得，得，所以，故C正确； 对于D选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为2的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为1的圆及其外部， 所以点所在的区域如图所示， 故点所在的区域的面积为，故D正确. 11. 已知正三棱台，上底面边长为2，下底面ABC边长为6，侧棱长为4，点 在侧面内（包含边界）运动，且，Q为上一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 正三棱台的高为 B. 高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 C. 点P的轨迹长度为 D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点 ，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B，根据三棱台的高及上底面内切圆的半径即可判断；由得到，进而根据等边三角形的内切圆半径为求得点 的轨迹，再求轨迹长度判断C；设正四面体的内切球的半径为，利用等体积法得到，再结合题意可知过点 ， ， 的平面正好过该内切球的球心，进而得到截面面积即可判断D． 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点 ，由题意可知：， 在等腰梯形中，因为 ，，，则. 即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且. 对于A：设 为等边的中心， 由正四面体的性质可知：侧面，且， 即 点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确； 对于B，设的内切圆的半径为 ，则根据等面积法有：，解得， 因为正三棱台的高为，的内切圆的半径为，且， 所以高为、底面半径为的圆柱可以放进该棱台内，故B正确； 对于C，由A选项知，侧面，且， 因为点 在侧面内（包含边界）运动，且 所以， 因为等边三角形的内切圆的半径为， 又，， 所以，点 在侧面内的轨迹为弧和， 而,故，故为等边三角形， 所以，所以点 的轨迹长度为，故C错误； 对于D，设正四面体的内切球的半径为， 由等体积法可得，解得， 因为，所以该棱台内最大的球即正四面体的内切球， 又因为，，， 所以 为的中点，过点 ， ， 的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长1cm的正方体），用来展示NaCl晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知正八面体的底面边长以及高，代入公式即可求解. 【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为的正方形， 正四棱锥的高为正方体棱长的一半即， 所以正八面体的体积为. 13. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知， 为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立直角坐标系求出各点坐标和向量坐标，再计算向量数量积转化为与横坐标相关式子，最后确定横坐标范围从而得出数量积取值范围. 【详解】由题意可得，大三角形为等边三角形， 又因为，且 等边三角形， 所以，又因为，所以， 作 垂直于直线 于 ， 在直角中，， 所以，， 作垂直于直线 于，根据等腰梯形的对称性可得： ，即， 所以大三角形的边长为4，， 以 为原点， 为 轴，垂直于 为 轴，建立直角坐标系， 则，， 所以，作垂直于直线 于 ， 在三角形中，， ，所以， 平移直线 到，则， 所以，作垂直于直线 于， 在三角形中，， ，所以， 根据图形关系可得，等腰梯形满足：，，腰长均为， 则，设，则， 因此：问题转化为求 点横坐标 的范围， 又因为等腰梯形最小横坐标为，最大横坐标为， 且对梯形内任意点，， 因此，即的取值范围是. 14. 中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理、三角形面积公式、基本不等式得到，再通过换元，平方，结合二次函数即可求解. 【详解】由题 又， 令， 则 则有且时，原式取最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）设求； （2）若 与垂直，求的值. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解； （2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，∴． 【小问2详解】 ， 由于与垂直，∴，∴． 16. 已知a，b，c分别为 的三个内角A，B，C的对边，若，且. （1）求角C及边c的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理和余弦定理进行求解即可； （2）运用正弦定理，结合两角和正弦公式、余弦函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则. 【小问2详解】 由正弦定理可得，， 则 . 由，得. 17. 如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将 沿 折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. （1）证明：平面； （2）求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】（1）证明：如图，连接交 于点 ，连接， 由题可知，且. 则易有 与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交 于点 ，连接，由A，B分别为线段与的中点可得，结合三角形相似得到，进而得到，进而求证即可； （2）根据棱锥的体积公式，结合面积比例求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设四棱锥的体积为，高为，四边形 的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为， 与之间的距离为 ， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 18. 如图在直角梯形 中，，，点E为的中点，以A为圆心 为半径作圆交 于点G，点P为劣弧 （包含D，G两点）上的一点，与劣弧、分别交于点F，H． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若向量，求实数x，y的值； （3）求向量与的夹角的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意建立以点 为原点的平面直角坐标系，再根据向量夹角的坐标运算求解即可 （2）先根据平面向量基本定理得到，再结合 ， ， 三点共线求出，进而建立方程组求解即可； （3）方法一：依题意可得以 为直径的圆与圆 外切，再结合圆周角大于圆外角，进而得到向量与的夹角的最大值；方法二：设，从而，得到点 的坐标，再结合三角函数的性质求出的取值范围，进而即可得解． 【小问1详解】 依题意可得 ，则， 所以以点 为原点，，分别为 ， 轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 显然向量与的夹角等于向量与的夹角， 所以． 【小问2详解】 由， 又因为 ， ， 三点共线，所以，解得， 又， 所以，解得，． 【小问3详解】 法一：取 的中点 ，则， 所以以 为直径的圆与圆 外切， 因为圆周角大于圆外角， 所以的最大值为． 法二：设，， 且如（1）所建平面直角坐标系，则， 则，， 所以， 又，则，则，所以， 所以取到最小值0，即向量与的夹角的最大值为． 19. 如图所示， 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上.岛屿A到补给站D的距离为岛屿A到岛屿B距离的，岛屿A和岛屿C到补给站E的距离相等，补给站F在靠近岛屿C的 的三等分点上.设，，. （1）用，表示，，； （2）如果，海里，且，求岛屿C到补给站D的距离； （3）若三个岛屿围成的 的面积为平方公里，且满足，求岛屿A和岛屿C之间距离的最小值. 【答案】（1），； （2）； （3）12公里. 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. （3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【小问1详解】 依题意，得，因为点 为中点，所以， 又 在靠近岛屿 的 的三等分点上所以， 又，，所以， ； 【小问2详解】 依题意，得，即， 由可得，则， 又，所以， 所以， 所以岛屿 到补给站 的距离； 【小问3详解】 由，可得， 即， 可得，即， 设，，由正弦定理知， 而 ，所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值144， 即的最小值为12，所以岛屿 和岛屿 之间距离的最小值为12公里. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $