安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 安徽师范大学附属中学2024—2025学年 第二学期期中考查 高一数学答题卷 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合要求的。 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的 四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6 分，部分选对得部分分，有 选错得0 分 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共20分 12. 13. 14. 15. 四、解答题：本题共6小题，共72 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16. （本题满分9分） 续16题 17. （本题满分9分） 18. （本题满分12分） 19. （本题满分12分） 20. （本题满分15分） 21. （本题满分15分） 1. 已知复数 iz 21 ，则 z 为（ ） A. 1 B. 2 C. i5 D. 5 2. 若向量  3,2a    ，  3,b x  ， a b   ，则 x （ ） A. 9 2 B. 2 C. 2 D. 9 2  3. 在△ABC中，若其面积为 S，且 2 3 3 AB AC S    ，则角 A的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 4. 正方形OA BC   的边长为 2，它是水平放置的一个平面 图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 8 2 5. 在 ABCV 中，点O是 BC的中点，过点O的直线分别交直线 ,AB AC于不同的两点 ,M N ，若 AB mAM   ，AC nAN   ， 0m  ， 0n  ，则 1 9 m n  的最小值为（ ） A. 3 B. 8 C. 9 2 D. 9 6. 在 中，若 ，且 ，那么 一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 7. 八卦是中国文化的基本哲学概念，图 1是八卦模型图，其平面图形为图 2所示的正八边形 ABCDEFGH，其中 1AB ，O为正八边形的中心，则 AB HD    （ ） A． 2 1 B．1 C．1 2 D． 2 sin 2sin cosC A B2 2 2a b c ab   ABCVABCV 8. 若三棱台 111 CBAABC  的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表 面积为 260 的球O的表面上， ,382 11  BAAB 则三棱台 111 CBAABC  的高为（ ） A. 32 B. 8 C. 6或8 D. 32 或6 9. 下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ) A. 若 a b r r ，则 a b   B. 已知 a b   ∥ ，b c∥   ，则 a c∥   C. 若非零向量a  ，b  ， c  ，满足 a b a c       ，则b c   D. 若 a b   ，则 a b r r 且 a b   ∥ 10. ABCV 的内角A， B，C的对边分别为 a，b，c，则下列命题正确的有（ ） A. 若 30A  ， 4b  ， 3a  ，则 ABCV 有唯一解 B. 若 BA  ，则 BA sinsin  ， BA coscos  C. 已知 ABCV 的外接圆的圆心为O， 3AB  ， 2AC  ，M 为 BC上一点，且有 2BM MC   ， 6 7 AOAM D. 若sin : sin : sin 3: 2 : 4A B C  ， ABCV 外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，则 16 5 R r  11. 如图，棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 E，F ，G分别是棱 AD， 1DD ，CD的中 点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线 1AG与直线 1C E 共面 B. 1 1 3D BEF V   C. D. 过直线 EF 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形. 12. 已知向量 ,a b   满足 1, 2a b    ， ,a b   的夹角为 60°，则 a b    ________． 13.已知复数 immmz )2(562  （i 是虚数单位），若 z所对应的点在复平面的第二象限内，则 实数 m的取值范围为______． 一、单项选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 安徽师范大学附属中学 期中考查 高一数学试题 命题教师：张家武 审题教师：费孝文 曹多保注意事项： 1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无 效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 高一数学试题 第 1页共 4页 二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 高一数学试题 第 2页共 4页 2024~2025 学年度 第 二 学 期 点 P 是线段 上的动点，则满足 PCAP  的点 P有且只有一个1BC 14. 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，E是棱 1CC 上的一点，且 ， D是棱 BC上一点．若 1 //A B 平面 ADE，则 的值为 ． 15. 已知在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 52c ，且 ,sin 2 5sinsincossin2 CbBbAaBCa  点O满足 0 OCOBOA ， 8 3cos CAO ，则 ABC 的面积为___________. 已知向量    1,2 , 3,a b k    . （1）若 a∥ b  ，求 b  的值； （2）若  2a a b    ，求实数 k的值； （3）若 a与 b  的夹角是钝角，求实数 k的取值范围. 在复平面内，O为坐标原点，复数 1 iz m  是关于 x的方程 2 2 3 0x x n   的一个根. （1）求实数 m，n的值； （2）若复数 2 1 3iz   ， 1z ， 2z ， 2 1 z z 所对应的点分别为 A，B，C，记 AOBV 的面积为 1 S ， BOC的 面积为 2S ，求 1 2 S S . 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 1BC AA  ， 2AB  ， 3cos 3 ACB  ，P为线段 1BC 上的动点． （1）当 P为线段 1BC 上的中点时，求三棱锥 B PAC 的体积； （2）当 P在线段 1BC 上移动时，求 AP CP 的最小值． , ,a b c, ,A B CABCV 3 21  EC EC BD BC 如图四棱锥 P-ABCD的底面为平行四边形，E是 PB的中点，过 A，D，E的平面α与平面 PBC的交线 为 l． （1）证明： l∥平面 PAD； （2）求平面α截四棱锥 P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比． 在 ABC中， 1AB  ，D为 BC边上一点，且 π 3 ADB  ． （1）若 AD为 BC边上的中线，求边 AC的最大值； （2）若 AD为 BAC 的平分线，且 ABC为锐角三角形，求边 AC的取值范围． 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于 1643年提出的平面几何极值问题： “已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称 为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于 120°时， 则使得∠��� = ∠��� = ∠��� = 120°的点 P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 , ,a b c，且 2 cos sincos tan a A BB c C   ．若 P是 ABCV 的“费马点”， 2 3,a b c  ． （1）求角A； （2）若 4PA PB PB PC PC PA       uur uur uur uuur uuur uur ，求 ABCV 的周长； （3）在（2）的条件下，设 ( ) 4 2 | | | | | |x xf x m PA PB PC         ，若当 [0,1]x 时，不等式 ( ) 0f x  恒成立，求实数m的取值范围． 四、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本题满分 9分） 17.（本题满分 9分） 19.（本题满分 12分） 20.（本题满分 15分） 21.（本题满分 15分） 18.（本题满分 12分） V V V 高一数学试题 第 3页共 4页 高一数学试题 第 4页共 4页 安徽师范大学附属中学 2024~2025 学年度第二学期期中考查 高一数学评分标准及参考答案 一、单选题（每题 5分，共 40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B C B D C C 二、多项选择题（本题共 18 分，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 9. ABC； 10. BCD； 11.ABD 三、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 12. 13.  5,2 14. 8 5 15. 55 四、解答题（本小题共 6小题，共 72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.（本小题满分 9分) 【小问 1详解】 因为向量    1,2 , 3,a b k    ，且 a∥ b  ， 所以  1 2 3 0k     ，解得 6k   ， 所以 2 2( 3) ( 6) 3 5b       .……………………………………………………（3分） 【小问 2详解】 因为  2 5,2 2a b k     ，且  2a a b    ， 所以    1 5 2 2 2 0k      ，解得 1 4 k  .……………………………………………………（6分） 【小问 3详解】 因为b  与 a的夹角是钝角， 则 0a b   且 a与b  不共线， 即  1 3 2 0k     且 6k   ， 所以 3 2 k  且 6k   .……………………………………………………（9分） 3 17. （本小题满分 9分) 【小问 1详解】 依题意，    2i 2 3 i 0m m n     ， 整理得  2 1 2 0i3 2 2 3m m n m      ， 于是，有 2 1 2 3 0 2 2 3 0 m m n m         ， 解得 3m  ， 4n  ；……………………………………………………（4分） 【小问 2详解】 由（1）知 1 3 iz   ，因为 2 1 3iz   ， 所以       2 1 1 3i 3 i1 3i 3 1 i 2 23 i 3 i 3 i z z          ， 所以  3,1A ，  1, 3B ， 3 1,2 2C        ， 从而  3,1OA  ，  1, 3OB  ， 3 1,2 2OC          ， 可知 1 2 OC OA   ，所以 1 2 2 OAS S OC     .……………………………………………………（9分） 18. （本小题满分 12分) 【小问 1详解】 由已知可得 6sin 3 ACB  ， 由余弦定理有 22 1 2 cosAC AC ACB    ，得到 3AC  ． 在 ACB△ 中，有 1 1 6 2sin 3 1 2 2 3 2ACB S AC BC ACB         △ ， 1 1 1 1 1 2 21 2 2 3 6 2 12B PAC P ACB C ABC ACB V V V S         △ ．…………………………（5分） 【小问 2详解】 将 1ABC 绕 1BC 旋转到与 1CBC△ 同一平面（如图所示）， 连接 AC交 BC于点 0P ，此时 AP CP 取得最小值，最小值即 AC长． 在 1ABC 中， 1 2BC  ， 2AB  ， 1 2AC  ， 故 2 2 2 1 1BC AB AC  ，故 1AB BC ，即 1 90ABC  ， 又易知 1 45CBC  ，故 135ABC  ， 由余弦定理得 2 1 2 2 2 1 cos135 5AC         ，所以 5AC  ， （或者在 1AC C△ 中由勾股定理得 5AC  ） 故 AP CP 的最小值为 5 ．………………………………………（12分） 19. （本小题满分 12分) 【小问 1详解】 证明：因为 AD BC∥ ，且 AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以 AD∥平面PBC， 又平面 与平面PBC的交线为 l，且 AD 平面 ，则AD / /l， 又 l 平面 PAD， AD 平面 PAD，故 l∥平面 PAD .…………………………………（5分） 【小问 2详解】 解：设 l与 PC交于点 F，则 F为 PC的中点，连接 DF，DE，DB，EC， 设四棱锥 P-ABCD的体积为 V，则 4E ABD E BDC VV V   ． 又由 2D BECE BDC D EFCV V V    ，则 8D EFC VV   ， 所以平面 截四棱锥 P-ABCD所得的下面部分的几何体的体积为 5 4 4 8 8 V V V V    ， 所以上面部分几何体的体积为 3 8 V ， 故平面 截四棱锥 P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5．…………（12分） 20. （本小题满分 15分) 【小问 1详解】 设DA m ，DB n ，又 AD为BC边上的中线，所以DC n ， 在 ABD△ 中，由余弦定理得， 2 2 2π2 cos 3 DA DB DA DB AB     ，又 1AB  ， 所以 2 2 1m n mn   ，① 在 ACD 中，由余弦定理得， 2 2 22π2 cos 3 DA DC DA DC AC     ， 即 2 2 2m n mn AC   ，② 由①＋②得 2 2 2+1 2( )AC m n  ， 又由①得 2 2 2 2 1 1 2 m nm n mn    ≤ （当且仅当 =1m n 时取等号）， 所以 2 2 2m n ≤ ， 所以 2+1AC ≤4，即 3AC≤ ． 综上，当且仅当 1m n  时，边 AC取得最大值 3．……………………………………（7分） 【小问 2详解】 因为 AD为 BAC 的平分线， 所以可设 BAD CAD     ，则 2π 3 B   ， π 3 C   ， 因为 ABC 为锐角三角形，所以 20 3 2 0 2 2             ， 所以 π π 6 4   . 在 ABD△ 中，由正弦定理得 π 2πsin sin( ) 3 3 AB AD    ，③ 在 ACD 中，由正弦定理得 2π πsin sin( ) 3 3 AC AD    ，④ ④÷③得 2π 3 1sin( ) cos sin 3 2 2 π 3 1sin( ) cos sin3 2 2 AC AB             ，又 1AB  ， 所以 3 tan 3 tan AC      ，设 tan t  ，又 π π 6 4   ， 所以 3( 1) 3 t ，，所以 3 t 3 t AC   2 31 t 3     在 3( 1) 3 ，上为增函数， 所以 (2 2 3)AC ， ．……………………………………………………（15分） 21. （本小题满分 15分) 【小问 1详解】 由已知，得 2 cos sincos tan a A BB c C   ， 由正弦定理，得 sin sinsin cos 2sin cos tan C BC B A A C   ， 即2sin cos sin cos cos sinA A B C B C  ， 即  2sin cos sin sinA A B C A   ， 由于0 π,sin 0A A   ，所以 1cos 2 A ，所以 π 3 A  .……………………………………（4分） 【小问 2详解】 设 , ,PA x PB y PC z      ， 则 1 1 1 4 2 2 2 PA PB PB PC PA PC xy yz xz                                      ． 所以 8xy yz xz   ，由 APB BPC APC ABCS S S S      得： 1 3 1 3 1 3 1 πsin 2 2 2 2 2 2 2 3 xy yz xz bc      ，即 8bc  ， 由余弦定理得， 2 2 2 2 cosa c b bc A   ， 即 2 2 2 2112 2 8 2 c b bc c b       ，即 2 2 20c b  ， 又b c ，联立 2 2 20 8 c b bc      解得 4, 2c b  ． 所以 ABCV 的周长为 6 2 3a b c    .……………………………………………………（9分） 【小问 3详解】 设 , ,PA x PB y PC z      ， 由（2）在 , ,PAB PBC PAC   中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 16 4 12 x y xy x z xz y z yz             ， 联立 8xy yz xz   求解可得 2 2 2 12x y z   ， 所以    2 2 2 2 2 28x y z x y z xy yz xz         ， 所以 2 7x y z   ，   4 2 4 2 2 7 0x x x xf x m PA PB PC m              ， 即 2 72 2 x xm   ，令  2 , 1,2 xt t  ， 由对勾函数性质知 2 7y t t   在  1,2t 上单调递减， 所以 min 2 7 2 72 2 7 2 m t t             ．即m的取值范围为  , 2 7   ． ……………………………………………………（15分）