精品解析：江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集定义求解即得. 【详解】因，又， 故. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【详解】由二倍角的余弦公式可得． 故选：A． 3. 已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式与面积公式直接计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 则扇形的弧长，即， 解得， 则扇形面积， 故选：A. 4. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示求得，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】易知， 由， 得，解得或（舍去）， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 故选：B 6. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设 ,故选C. 考点：解三角形. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角函数的变换规则得到，根据奇偶性求出的取值，即可得解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位得到： ， 又函数是奇函数， 所以，解得， 又，所以当时取得最大值，最大值为. 故选：D 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 向量与向量垂直 【答案】AD 【解析】 【详解】由向量共线定理，若且，则存在唯一的实数使得，选项A正确； ，则；与的夹角为锐角，等价于且两向量不共线，则 ，化简得：. 还需排除与共线情况，若两向量共线，则存在使得，即，解得，，代入得 ，解得，此时，两向量相等，夹角为0，应排除. 所以的取值范围是，选项B错误； 且，只能推出，即与有可能垂直，不一定，选项C错误； 设，则 ，所以，选项D正确. 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线轴对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断其正误；对于B，利用特值法先求出，再验证后可判断B的正误；对于C，根据对称中心的性质求出，从而求并判断C的正误，对于D，利用正弦函数的性质结合辅助角可判断何时最值之差最大，求出最值后可判断D的正误. 【详解】对于A：当时，， 因为，所以， 因为函数在上不单调， 所以函数在区间上不单调.故A错误； 对于B：若关于直线轴对称，故， 所以，故，此时， 而，故确为对称轴，故B正确. 对于C：时，为的一个对称中心， 所以，故， 所以，故C正确； 对D：当时，， 其中，，且， 当时，， 由正弦函数的图像得，在同一单调区间上时最大值与最小值的差才可能最大， 即求与的差的绝对值何时最大， 令 ， 当即，时 ，.故D正确. 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 的最大值为 D. 最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 则，，，，. 设，，则，，， 由，得， 则，解得. 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A正确； 对于B，，，即，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 则， 而，当时，取得最大值为，C错误. 对于D，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】角的终边过点，则该点到原点的距离： ， 由三角函数的定义：，， ， 所以. 13. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 把代入，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值． 【详解】解：把代入 故答案为： 14. 已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可； （2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，设，则，解得． 因此或． 【小问2详解】 由已知可得，因为， 则，可得， ． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 【答案】（1），单调增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可得A，周期T，即可求出，再由图象过点即可求出，得到函数解析式，求出单调区间； （2）由求出，再由两角差的正弦公式直接计算即可. 【小问1详解】 由图象可知，，且，解得， 所以，因为， 所以， 则，则仅当时，符合题意， 所以，令， 解得 ， 综上，的解析式为， 单调增区间为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 则，因为， 则，所以， 则 . 17. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）若，，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系求出即可得解. （2）由（1）的结论，结合二倍角的余弦函数化简求得. （3）利用和角的正切公式，结合角的范围求得角的大小. 【小问1详解】 由，得，解得， 而，则，， 因此，所以. 【小问2详解】 由（1）得. 【小问3详解】 由（1）知，，则， ，，则，所以. 18. 如图，已知矩形中，，分别是边上的一动点（不含端点），为边的中点，且，设. （1）求的值； （2）求面积的取值范围（提示：）； （3）求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算，可得，再结合数量积的运算，即可求解； （2）根据题意，可得，，所以，结合三角函数的运算，即可求解； （3）由题意，可得，，再结合向量数量积的运算和三角函数的计算，应用换元法即可求解. 【小问1详解】 根据题意，可得，，， 所以； 【小问2详解】 因为，为边的中点，且，， 所以，， 所以在直角中，， 同理，在直角中，， 所以， 因为，所以， 所以，即； 【小问3详解】 在直角中，， 同理，在直角中，， 所以，， 令，则， 令，则 所以， 所以当且仅当，即时取到. 19. 定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若向量为函数的积向量，求； （2）若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； （3）当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）化简函数，根据“积函数”的定义，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解； （2）根据题意，由，求得，再由两角和与差的正弦公式，联立方程组，求得和，两式相除，即可得证； （3）根据题意，得到，得到，根据正弦函型函数的图象与性质，分类讨论，分别求得的表达式，进而求得其范围. 【小问1详解】 由函数， 根据“积函数”的定义，可得， 所以. 【小问2详解】 证明：由函数为向量的积函数，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以，所以，解得， 因为， 又因为，所以， 两式相加，可得，两式相减可得， 所以，所以. 【小问3详解】 由向量时，可得积函数为， 则， 设在区间上的最大值与最小值之差为， 因为，可得， ①当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ②当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ③当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ④当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑤当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑥当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 综上可得：， 所以在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海安高级中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，BC边上的高等于,则（　　） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 B. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 向量与向量垂直 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线轴对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 的最大值为 D. 最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，终边过点，则___________． 13. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则__________． 14. 已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值． 17. 已知，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）若，，求的值. 18. 如图，已知矩形中，，分别是边上的一动点（不含端点），为边的中点，且，设. （1）求的值； （2）求面积的取值范围（提示：）； （3）求的最大值． 19. 定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． （1）若向量为函数的积向量，求； （2）若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； （3）当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $