精品解析：湖南湘潭电机子弟中学2025-2026学年高一数学下学期期中试题

湖南湘潭电机子弟中学2025-2026学年高一数学下学期期中试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 1或 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 20 D. 21 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的面积为6 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分） 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在中，若，则 C. 已知向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” 11. 如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ） A. 面 B. 与是异面直线 C. 的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数，则的虚部为______. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______． 四、解答题（77分) 15. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 16. 已知向量和夹角为，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）与的夹角的余弦值． 17. 在中，角，，的对应边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求的面积． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面. （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 19. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求； （2）当点为中点时，求：的余弦值； （3）当取得最小值时，设，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南湘潭电机子弟中学2025-2026学年高一数学下学期期中试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. C. 0 D. 1或 【答案】B 【解析】 【分析】由纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得. 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的结构特征依次判断. 【详解】由题意得，圆柱的截面有可能为矩形，圆锥的截面有可能为三角形， 圆台的截面有可能为梯形，球的截面一定是圆面． 故选：C 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，    过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 5. 已知向量，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】向量垂直等价于向量数量积等于零，利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可知，， 由，得， 解得. 6. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 20 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】先求出棱台的高，然后利用台体的体积公式求体积即可. 【详解】由棱台的几何特征可得其高为： ， 则其体积为： . 故选：A 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c若，，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 的面积为6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，，利用余弦定理，正弦定理可求角，的三角函数值，进而求，利用三角形的面积公式即可求其面积. 【详解】对于A，， 由余弦定理得，则，A正确； 对于B，，， ，由正弦定理得 ，又 ， ，，B正确； 又，由正弦定理得 ，D错误； ，C正确； 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分） 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. 的实部是5 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD. 【详解】对于A，复数的实部是5，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误. 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 在中，若，则 C. 已知向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 D. 已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的定义判断；对于B，利用向量数量积的定义计算判断；对于C，根据向量数量积的坐标公式与向量共线的条件计算判断；对于D，利用正弦定理与三角形内角范围推理判断. 【详解】对于A，因向量既有大小又有方向，故不能比较大小，即A错误； 对于B，如图，取的中点为点，因，则， 于是，故B正确； 对于C，由与的夹角为钝角，可得，解得且， 即实数的取值范围是，故C正确； 对于D，在中，，.由和正弦定理，可得，即，故； 又由可得，由正弦定理，，即，故“”的充要条件是“”，故D正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，是线段上的动点（含端点），则（ ） A. 面 B. 与是异面直线 C. 的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由空间中点、线、面的相关知识逐一判断各选项即可． 【详解】对于A，连接， 正方体中，，，四边形为平行四边形，则， ∵平面，平面，∴平面， 同理平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故A正确； 对于B，当点P在点处时，，即，故B错误； 对于C，将平面沿展开到与平面共面，连接与的交点即为P，如图， 此时，在中，，，， 由余弦定理有： ∴的最小值为，故C正确； 对于D，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，则有， ∵平面，平面，∴平面， ∴P到平面的距离等于到平面，为定值， 又的面积也为定值，∴三棱锥的体积为定值，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数，则的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算直接可得解. 【详解】， 则其虚部为， 故答案为：. 13. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由条件求出角，再由正弦定理即可解得的值. 【详解】因为，且，，所以， 由正弦定理可得，即， 即，解得， 故答案为：. 14. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，利用向量坐标的运算公式进行计算. 【详解】以A作坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，设， 则，解得：， 所以. 故答案为：6 四、解答题（77分) 15. 如图，这是某建筑大楼的直观图，它是由一个半球和一个圆柱组合而成的.已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）是边长为6的正方形. （1）求该几何体的表面积； （2）求该几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高.结合球的表面积公式与圆的面积公式，矩形的面积公式可求该几何体的表面积. （2）利用球的体积公式与圆柱的体积公式可求几何体的体积. 【小问1详解】 由题意可知半球的半径，圆柱的底面圆半径，高. 由球的表面积公式可得半球的曲面面积， 由圆的面积公式可得圆柱底面圆的面积， 由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积， 故该几何体的表面积. 【小问2详解】 由球的体积公式可得半球的体积. 由圆柱的体积公式可得圆柱的体积. 故该几何体的体积. 16. 已知向量和夹角为，且，求： （1）的值； （2）的值； （3）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 依题意，； 【小问2详解】 因， 则； 【小问3详解】 因， 由（2）得，则. 17. 在中，角，，的对应边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解； （2）根据余弦定理可得，进而可得面积. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，， 所以，即， 又，则； 【小问2详解】 在中，由余弦定理可知， 即，化简可得， 解得或（舍）， 则的面积. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点. （1）当为的中点时，求证：平面. （2）当平面，求出点的位置，说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在点M，点M为PD上靠近P点的三等分点，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得，即可判断的位置. 【小问1详解】 取中点为，连接， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； 【小问2详解】 连接，相交于，连接， 面，面面面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 19. 如图，在中，已知边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），相交于点. （1）求； （2）当点为中点时，求：的余弦值； （3）当取得最小值时，设，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）设，由中点可得，再由数量积的运算性质求解即可； （3）设则可转化为关于的二次函数，求最值，再由及三点共线得解即可. 【小问1详解】 ，由余弦定理知： ， . 【小问2详解】 设， 分别为的中点， ， ， ， 又. . 【小问3详解】 设 ， 当即时，取最小值， ， ， ， 三点共线， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $