精品解析：山西晋中市榆次区第二中学等校2025-2026学年高三二模考试数学试题

2025-2026高三二模考试 数学 2026.4 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据复数的几何意义判断可得. 【详解】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 3. 已知命题，的否定（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，. 故选：A 4. 双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】将双曲线方程化为标准形式. 两边同除以得，由此可知，. 根据双曲线的关系，代入得，即.双曲线的焦距为，所以焦距为. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故选：A． 6. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可. 【详解】由题可知，解得， 则二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设角对边分别为，根据题意，得到，且，再由，求得，得到，即可求解. 【详解】在中，设角对边分别为， 因为，可得，即，即， 又由， 又因为，所以，即， 因为，所以，所以. 故选：B. 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱 B. 设随机变量，若，则 C. 若，且，则 D. 已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由相关系数与线性相关程度的关系可判断A；利用正态分布的对称性可判断B；根据方差的性质可判断C；根据线性回归的相关知识可判断D. 【详解】对于A，两个变量，的相关系数为，越小，与之间的线性相关程度越弱，故A正确； 对于B，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，故B错误； 对于C，，又，故，故C正确； 对于D，，则，，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 11. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 若为的中点，则平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用台体体积公式可判断A选项；利用线面平行的判定定理可判断B选项；根据棱台的侧面积公式可判断C选项；设出球心的坐标，根据球心到点的距离相等，可求出球心的坐标，进而可求出球的半径，结合球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设棱台的上下底面中心分别为， 对于A选项，由台体体积公式可知，该正四棱台的体积为，A对； 对于B选项，当点为的中点时，易知为的中点，所以， 因为平面，平面，故平面，B对； 对于C选项，侧面的斜高为， 所以此四棱台的侧面积为，所以C错； 对于D选项，易知该正四棱台外接球球心在直线上，设球的半径为， 因为正方形的边长为，正方形的边长为， 所以,, 设点，则， 由可得，解得， 故， 因此，该四棱台的外接球表面积为，D对. 故选:ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，所以. 13. 已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，将转化为，代入解析式即可． 【详解】因为奇函数满足，当时，有， 所以． 故答案为：． 14. 椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】从角平分线分析判断得到,结合椭圆定义求出与的长度,再在中用余弦定理建立与的关系,最后化简得到离心率. 【详解】已知椭圆：（），焦点，，且. 点在第一象限，满足，该角的平分线交轴于点. 在中，为角平分线，由角平分线定理有（证明见点睛）. 计算，，于是，即. 由椭圆定义得. 设，则，代入上式得，所以. 因此，. 在中，由余弦定理. 代入得. 化简得，离心率. 故椭圆的离心率为. 【点睛】在中，是的平分线. 设，则. 考虑与的面积. 一方面，两个三角形等高（到轴的垂线段为高），因此面积比等于底边之比： . 另一方面，用含角的面积公式： ，， 两式相比得，于是有，即角平分线定理. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关 （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入的计算公式，根据独立性检验的概念求解即可； （2）根据题意随机变量的可能取值为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式结合组合知识计算出对应的概率，进而可解出答案. 【小问1详解】 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关， 由列联表中的数据，可得， 因为，所以根据判断，我们可以推断成立， 即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 由题意得，随机变量的可能取值为0，1，2， 则；；， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. 16. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） 因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 则， 得到 17. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的性质和判断证明平面，再由线面垂直的性质定理证明结论； （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用法向量夹角的三角函数关系计算. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以. 又为等边三角形，且为的中点，所以， 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 以A为坐标原点，AC为轴，过A且与AC垂直的直线为轴，AB为轴建立如图空间直角坐标系. 设，则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设二面角的平面角为， 则， 所以. 所以二面角的正弦值为. 18. 已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C. （1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由； （2）求的取值范围； （3）求周长的最小值． 【答案】（1）一个，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立圆和抛物线，解得方程组的解从而确定交点个数； （2）设为和圆相切的直线，由于切线有两条，联立直线和圆，得出两条切线斜率的关系，然后用表示后求解； （3）利用内切圆性质，将周长用表示出来，然后由基本不等式求解. 【小问1详解】 联立得：． 所以抛物线与圆只有唯一交点，即抛物线与圆的交点个数为1. 【小问2详解】 显然斜率存在， 设的方程分别为， ∵直线：与圆相切，， 化简得：① 于是为①式的两个根，②． ， 把②代入，可化简得：， 的取值范围为． 【小问3详解】 设的周长为，因为圆为的内切圆（该内切圆的半径）， 所以， 由（2），． 令， ， ∴当即时，取等号． 周长的最小值为16． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①； ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【小问1详解】 由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 ①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026高三二模考试 数学 2026.4 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，的否定（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 双曲线的焦距为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. 1 D. 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个变量，的相关系数为，若越小，则与之间的线性相关程度越弱 B. 设随机变量，若，则 C. 若，且，则 D. 已知，之间的关系满足，设，若，之间具有线性相关关系，且与之对应的线性回归方程为，则 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 11. 已知正四棱台上底面的边长为，下底面边长为，且高为3，则下列说法正确的有（ ） A. 该四棱台的体积为14 B. 若为的中点，则平面 C. 该四棱台的侧面积为 D. 该四棱台的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 已知定义在上的奇函数，当时，有，则__________. 14. 椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上位于第一象限内的一点且的平分线交轴于点，则椭圆的离心率为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在四面体中，平面，是等边三角形，，是的中点. （1）证明：. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C. （1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由； （2）求的取值范围； （3）求周长的最小值． 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $