山西晋中市2025-2026学年高三二模考试数学试题

2025-2026高三二模考试 数 学 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答策答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本试卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 圜 符合题目要求的， 如 1.复数z=i一3在复平面内对应的点位于 留 A.第一象限 B.第二象限 长 C.第三象限 D.第四象限 g 2.已知集合A={一1,1,2,4)，B={x|x-1|≤1)，则A∩B= A.(-1,2} B.(-1,4} 舒 C.(1,2) D.(1,4) 3.已知命题p:3x>0,x2+2x十1=x的否定 女 A.Vx>0,x2+2x+1≠x B.Vx≤0，x2+2x+1≠x 淘 C.Vx>0,x2+2x+1=x D.3x>0,x2+2x+1≠x 4.双曲线3x2一4y2=12的焦距为 A.3 B.6 C.7 D.2√7 5品1+ A.-√5 B.-1 D.-√2 6.(G-)”(∈N")的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为 A.60 B.-60 C.15 D.-15 7.在△ABC中，AC.A店-子A=AC,则anA= A.2-3 B.1 C D.√3 【高三考试·数学第1页（共4页）】 11176C 扫描全能王创建 回 8.关于x的方程x(e+lnx)=1一a有两个不同的解，则实数a的取值范围为 A[0,) B(-o,] c(0.+] D(o,) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的是 A.两个变量x,y的相关系数为r,若|r越小，则x与y之间的线性相关程度越弱 B设随机变量N(2.1),若P(>3)=p,则P(<1)=司-力 C.若X~B(6,2),且Y=2X-1,则D(Y)=6 D.已知x,y之间的关系满足y=ce,设z=lny,若x,z之间具有线性相关关系，且与之对应 的线性回归方程为z=0.5.x+1,则c=e 10.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知Q=2,c=23,A=120°，则 A6=22 3 B.C=30° C.△ABC的周长为2+√3 D.△ABC的面积为号 11.已知正四棱台ABCD-A,B,CD上底面的边长为√2，下底面边长为2√2，且高为3，则下列说 法正确的有 A.该四棱台的体积为14 B.若E为CC1的中点，则AC∥平面BDE C.该四棱台的侧面积为3√19 D.该四棱台的外接球表面积为20π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知cos(晋-a)-号，则sin(a+)= 13.已知定义在R上的奇函数y=(x),当x≥0时，有f(x)=22+2r一1，则f(一2)= 14椭圆C爱+芳=1(。>6>0)的左右焦点分别为R,5,点P为椭圆C上位于第一象限内的 一点且∠FPF,=,∠FPF的平分线交x轴于点M(气，O,则椭圆C的离心率为 【高三考试·数学第2页（共4页）】 11176C 架 扫描全能王创建 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男 教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80 分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 (1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数 为X,求X的分布列和数学期望 n (ad-bc)2 附：X=(a+bc+(a+c(6+团其中n=a+b+c+d, a 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 已知数列(a,中，a1=2,a+1一。42 2an (1)证明：《 是等差数列； an (2)求数列 4(m十D}的前n项和Tn… an 【高三考试·数学第3页（共4页）】 11176C 扫描全能王创建 17.（15分) 如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面ACD,△ACD是等边三角形，AB=AC,E是AD的中点. (1)证明：CE⊥BD; (2)求二面角E-BC-D的正弦值 18.(17分) 已知抛物线E:x2=2y,圆F:x2+(y一1)2=1，点A(x0,yo)(其中y0>2)为抛物线E上一动 点，过点A作圆F的两条切线分别与x轴交于点B,C. ® (1)判断抛物线E与圆F的交点个数，并说明理由； 如 (2)求|BC的取值范围； 部 (3)求△ABC周长的最小值， 长 杯 19.(17分) 相 已知函数f(x)=x2-(a+2)x十alnx,其中a∈R, (1)讨论f(x)的单调性， (2)若函数g(x)=f(x)一x2有两个不同的零点x1,x2. ①求实数a的取值范围； ②证明：x1x2>e2. 【高三考试·数学第4页（共4页）】 11176C 扫描全能王创建2025-2026高三二模考试 数学 参考答案、提示及评分细则 1.B根据复数的几何意义,复数之=i一3在复平面内对应的点为(一3,1),所以复数之=i一3在复平面内对应的点 位于第二象限, 2.C由x-1≤1得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2,即B={x|0x≤2},故A∩B={1,2}. 3.A由存在量词命题的否定为全称命题,则原命题的否定为Vx>0,x2十2x+1≠x. 4D由题知双曲线的标准方程为片-苦=1,故c2=a2+份=4计3=7,得c=7,放焦距为2c=2厅。 号6=m60-万 5.A由题意得am15+ 6.A由题可知:2=64 n=6,通项公式为T+1=C行(-是)=(-1D2Cx,令3-号=0 r=2,所以 常数项为(-1)2 22C%=60. 7.C在 ABC中,设角A,B,C对边分别为ab,c,因为子A市=A衣,可得子A2=AC,即2c=,即b= 号,又由Ad.Ai=ACIiABA=-kmsA=号ccsA,又因为AC.A花=是A,所以号csA=是,即 cosA-号,因为A∈0x,所以A=吾,所以mA=m吾-号 &D方程心+n)=1-a可转化为心+h=1号=之一兰,则位+经=n是+女所以+兰 1n子+e时,设)=c+x,x∈R,则方程转化为f()=/(m),又了(x)=e+1>0恒成立,所以(x) 在R上为增函数,所以号=h子=-hx,即a=-xnx,x>0.令h()=一in,>0,所以W(0=-1一nx, 则M()=0可得x=是,当xe(0,)时,h'(x)>0,函数h(x)在(0,)上单调递增,当x∈(日,+∞)时, ()<0,函数A()在(日,十∞)上单调递减,所以h(s=A(日)=h-=是又-0+时,) 0, x十o∞时,h() 一,若方程a=一n,>0有两个不同的解,则实数a的取值范围为(0,。): 9.ACD由题意,A项,两个变量x,y的相关系数为r,r越小,x与y之间的线性相关程度越弱,故A正确:对于 B,随机变量服从正态分布N(2,1),由正态分布概念知若P(>3)=p,则P(<1)=P(>3)=p,故B错误; 对于C,D0=p1-p)=6x号 (1-)=号,又Yy=2X-1,放D0=2 号=6,放C正确:对于D.= 0.5x十1,则lny=0.5x十1,y=e.a+=e ex,故c=e. 23 10D园为a-8-A1议C0正弦定是可得应C爱湖血C一-得 3 3 2 C=30,则B=30,所以(25,所以 ABC的周长a+b十:=2+5,所以 ABC的面积为宁smA 是 2 2 号-号由上可知AC错误,D正确, 11.ABD设棱台的上下底面中心分别为O,O,对于A选项,由台体体积公式可知,该正四棱台的体积为V 号 (2+8+2X8)X3=14,A对:对于B选项,当点E为CC的中点时,易知0为AC的中点,所以0E/ 【高三考试 数学参考答案第1页(共4页)】 11176C AC1,因为OEC平面BDE,AC￠平面BDE,故AC∥平面BDE,B对:对于C选 项,侧面的斜高为√3+(号)=,所以此四棱台的侧面积为4 合 区 (W2+22)=6丽,所以C错:对于D选项,易知该正四棱台外接球球心 F在直线OO1上,设球F的半径为R,因为正方形ABCD的边长为√2,正方形 ABCD的边长为22,所以A0=2BD=7 √W2)+(2)=1,AO= 2BD-号 √22)+(22了=2,设点OF=a,则0F=3-a,由AP1=1AF可得+3-a= √22+a,解得a=1,故R=√22+a=5,因此,该四棱台的外接球表面积为4xR=20 ,D对. 12号因为晋-a+a十吾=吾,所以a+吾=受-(告-a小,所以sim(a+吾)=sm[登-(答-d)]=os(若 -)=g 13.-7因为奇函数f(x)满足,当x≥0时,有f(x)=x2+2-1,所以f(一2)=-f(2)=-(22+2-1)=-7. 14安 如图,作PN⊥x轴于N,由题设令∠FPM=∠FPM=0.所以Sa,m S FPM PI PMI ino FMIIPNI + 3m S F1M 分,5a,m FMI F2M =3, :PIIPMI sin0 IF:MIPNI C OM F N 所以FP=3,所以设P1=m,则FP=3m,在 FPF,中,FFP目 IFP+F,P-2 PlIFPlo∠FPR,即4c=9m+mi-2X3mXmX号=7m,得c-号。 2m.又FP T +FP|=4m=2a,故a=2m,所以椭圆C的离心率为e=C= a 2m41 15.解:(1)由2 2列联表中的数据, n (ad-bc)2 可得X=a+b(c+d)(a十c)(b+① 50 (20 10-10X10)2=50X10000≈1.389,.4分 30 20 30 20 360000 因为1.389<2.706,所以根据a=0.1判断,不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. …6分 (2)由题意得,随机变量X的可能取值为0,1,2,… 7分 则PX=0)-毫-器:PX=)-号:P(X=2)毫-易, C30 …10分 所以随机变量X的分布列为: X 0 1 2 38 40 3 11分 87 87 所以期望为B0X0=0x器+1X号+2X是-子。 …13分 16.解:(1)因为a1=2,所以am≠0, ant1 2an an 即。士=名得到2}是首项为7公老为宁的等差数列.… 6分 an+1 an 2由1可得十合一1=即a=是则D2+D=号(日中 ,…9分 a 得到工=(1-)+号(合号)+号(号)+叶号(只) 【高三考试 数学参考答案第2页(共4页)】 11176C =1++子++》 12分 -号1-)=2D 15分 17.(1)证明:因为AB⊥平面ACD,CEC平面ACD,所以AB⊥CE. 在等边 ACD中,E是AD的中点,所以CE⊥AD. 因为AB∩AD=A,AB,ADC平面ABD.所以CE⊥平面ABD. 因为BDC平面ABD,所以CE⊥BD.… …5分 (2)解:不妨设AB=AC=2,AB⊥平面ACD,ABC平面ABC,则平面ACD⊥平面ABC,在等边 ACD中,作 DO⊥AC,则DO⊥平面ABC, 以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 期B2,0.0.C02,0,D013),E(0,,号) 所以=(-2,20,酝-(-2,,号),Bi-(-21. …8分 n BC=-21+2y=0, 设平面BCE的法向量为n=(c1,y1,必),则 nE-2十n+ 1 29=0, 取x1=1,得n=(1,1,W5),…9分 /m BC=-22+2y=0, 设平面BCD的法向量为m=(x2,2,2),则 m.Bd=-2x2十%十32=0, 取=1,得m=(1.1,号 …………10分 又cos(m,n)= 1n n 1+1+1 3/105 m n 35 13分 √/+1+3 W1+1+3 所以sin(m,n=2四 35 14分 所以二面角E-BC-D的正弦值为2四 35 15分 1收每0联立信=两: 1x2=2y, 1分 所以抛物线E与圆F只有唯一交,点(0,0),即抛物线E与圆F的交点个数为1. V …2分 x2=21 () (2)显然AB,AC斜率存在, 设AB,AC的方程分别为y一%=k(x一xo),y一%=k(x一x0), “直线m:y-%=k(x一)与圆F:x2十(0y1)2=1相切,0一二1山 √1+ 1, 化简得:(品-1)k2+2x(1一%)k+y一2=0① 于是为0式的两个根6十6=2,6=学@ x-1 6分 B(n0)C(是0 =y% √(k1+k2)2-4k1k2 k1k2】 把②代入,可化简得:BC= 2 一2 1-2 (%>2), yo .|BC的取值范围为(2,十∞). 10分 【高三考试 数学参考答案第3页(共4页)】 11176C (3)设 ABC的周长为l,因为圆F为 ABC的内切圆(该内切圆的半径=1), 所以宁=SaC宁=合BC1, 由2=32w>2=3 3%-21 13分 令%-2=t,.%=1+2(t>0), 1=2 +2y=2x+4 =2(+4+4)≥16, t .当1=2即%=4时,取等号, ABC周长的最小值为16.…17分 19.(1)解:函数f的定义域为0,十e∞),/(0=2x-(a+2)十a=2x2=(a+2+4=2x-(x-D,当a≤ 0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当0<a<2时,函数f(x)在(0,号),(1,十∞)上 单调递增,在(号,1)上单调递减;当a=2时函数f(x)在(0,十∞)上单调递增;当a>2时,函数f(x)在(0,1), (号,十o∞)上单调递增,在(1,号)上单调递减。… …3分 (2)①解:g(x)=f(x)一x2有两个不同的零点x1,2,即g(x)=alnx-(a十2)x有两个不同的零点x1,x2. 当a=0时,g(x)=一2x只有一个零点,不符合题意,故a≠0, 即alnx一(a+2)x=0有两个不同实根,2,得十2_血g …5分 a 令Gx)=(x>0),G(x)=1-lhI,令G'()=0,得x=e, 当x∈(0,e)时,G(x)>0,可知G(x)在(0,e)上单调递增, 当x∈(e,+∞)时,G(x)<0,可知G(x)在(e,十∞)上单调递减, 当x=c时,Gx)取得最大值日,且G1D=0,当>1时,G)>0, 得G(x)的大致图象如图所示. 可得亡产∈(0,),所以实数a的取值范围为(二。一2), a ②证明:当,。<a<一2时,g)有两个不同的零点 两根满足n0=a士1,h=a士2, a a 两式相加得:ln(a)=a十(a十),两式相减得:ln=十2(x一a), a 上述两式相除得n()-十2 ,…11分 In 2x1 T1 不妨设c1<2,要证:c1x2>e,只需证:ln(x2)=十21n>2, C2一 1 即证h会>22(径一 ,设=2>1. 13分 x2十x1 丝+1 x1 令Pa)=n1-2=h+-2, t+1 则F)=名0.可知两数FO在1,十o)止单两莲增,且F)-0, =(t-1)2 可得F0,即1n>2,所以美>e.… …17分 【高三考试 数学参考答案第4页(共4页)】 11176C