2026年山东省淄博市沂源县中考数学二模考前模拟练习示范试卷

2026年山东省淄博市沂源县中考数学二模考前模拟练习示范试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（﹣2m2）2＝﹣8m4 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2 3．（4分）如图，是一个无盖正方体盒子的展开图，则折叠后盒子的底面是（　　） A．A面 B．B面 C．C面 D．D面 4．（4分）在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（　　） A．（﹣5）+（﹣2） B．（﹣5）+2 C．5+（﹣2） D．5+2 5．（4分）某学习小组10名学生参加“数学课后训练”，他们的得分情况如表： 人数（人） 1 4 3 2 分数（分） 80 90 85 95 那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　） A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85 6．（4分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC＝3，则DE长为（　　） A．2 B． C． D．3 7．（4分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A．12＜a≤15 B．4＜a≤5 C．12≤a＜15 D．12≤a≤15 8．（4分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[1，4]＝2×4+3×1＝11．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C．且k≠0 D． 9．（4分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，连接AB．将Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′B′且点O′A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（　　） A．y＝﹣x B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x+3 10．（4分）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5的圆心依次按O，A，B，C1循环，若OA＝1，则弧C24C25所对应的扇形的面积为（　　） A．144π B．150π C．156.25π D．312.5π 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）某市股民小张上星期五买进某公司1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）：（注：正数表示比前一个交易日上涨，负数表示比前一个交易日下跌） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） +4 +5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 本周内最高价是每股 　 　 元． 12．（4分）如图，已知MN∥EF，点A在MN上，点B和D在EF上，点C在AB的延长线上，∠MAB＝76°，∠C＝36°，则∠BDC的度数是 　 　 ． 13．（4分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 　 　 ． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （1） x 6 20 22 y （2） 14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，若BC＝2OA，则b的值为 　 　 ． 15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝6，若点P为BC边的三等分点，连接AP，将AP绕A点顺时针旋转60°，点P的对应点为Q，射线AQ与射线CD交于M点，则CM＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（10分）解分式方程：． 17．（10分）如图，延长平行四边形ABCD的一边BC至点F，连接AF交CD于点E．若，求的值． 18．（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（2，3）和点B（﹣2，m），求反比例函数的表达式和m的值． 19．（10分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生为 　 　 人，表中x的值为 　 　 ； （2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； （3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 0≤t＜2 4 x B 2≤t＜4 20 C 4≤t＜6 36% D t≥6 16% 20．（12分）如图，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以3km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示． （1）求甲的速度和乙提速后的速度； （2）求两人在途中相遇时离B地的距离． 21．（12分）新考法•项目式学习探究某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度AB”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度AB 测量方案示意图 测得数据 已知，点A，B，C，D都是池塘岸边上的点，点D位于点B正南方向，点A位于点B南偏西53.3°方向，点D，E在点A的正东方向，点C位于点B南偏东45.5°方向，已知△DCE是草坪休息区域，∠E＝90°．测得BC＝80米，CE＝61米． 说明 点A，B，C，D，E位于同一平面内． 参考数据 sin53.3°≈0.80，cos53.3°≈0.60，an53.3°≈1.34，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02． 问：池塘的宽度AB的长约为多少？ 22．（13分）已知AB为⊙O的直径，弦CD和AB相交于点E，． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，在 上有一点F，，连接BF，求证：BF＝2OE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AD和BD，在AB上取一点G，使AG＝AD，GM⊥AD，垂足为点M，连接GD，在AD上取一点H，使DH＝2AH，在CE上取一点K，连接HK和BK，若∠HKB＝90°，∠DAB＝2∠KBE，HK与AB相交于点R，HM，求BF的长． 23．（13分）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． （1）判断二次函数y＝x2﹣1是否为一次函数y＝x﹣1的轴点函数，并说明理由． （2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若，求b的值． （3）函数（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值． 2026年山东省淄博市沂源县中考数学二模考前模拟练习示范试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：第一个交通标志，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 第二个交通标志，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 第三个交通标志既是轴对称图形，也是中心对称图形； 第四个交通标志，是轴对称图形，但不是中心对称图形． 因此既是轴对称图形，也是中心对称图形的有1个． 故选：D． 2．（4分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a5 B．（﹣2m2）2＝﹣8m4 C．（x+y）2＝x2+y2 D．2ab+3a2b＝5a3b2 【解答】解：a2•a3＝a5，则A符合题意； （﹣2m2）2＝4m4，则B不符合题意； （x+y）2＝x2+2xy+y2，则C不符合题意； 2ab与3a2b不是同类项，无法合并，则D不符合题意； 故选：A． 3．（4分）如图，是一个无盖正方体盒子的展开图，则折叠后盒子的底面是（　　） A．A面 B．B面 C．C面 D．D面 【解答】解：结合展开图，B面与其他面都是相邻的面，得出折叠后盒子的底面是B面． 故选：B． 4．（4分）在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图（1）表示的是计算3+（﹣4）的过程．按照这种方法，图（2）表示的过程应是在计算（　　） A．（﹣5）+（﹣2） B．（﹣5）+2 C．5+（﹣2） D．5+2 【解答】解：图（1）表示的是计算3+（﹣4）的过程可知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图（2）表示的是在计算5+（﹣2）． 故选：C． 5．（4分）某学习小组10名学生参加“数学课后训练”，他们的得分情况如表： 人数（人） 1 4 3 2 分数（分） 80 90 85 95 那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　） A．90，90 B．90，85 C．90，87.5 D．85，85 【解答】解：由表可知，90出现次数最多，故众数为90， ∵共有1+4+3+2＝10个数据， 把10个数据从大到小排序为：95，95，90，90，90，90，85，85，85，80， ∴中位数是第5、6个数据的平均数，即中位数为90， 故选：A． 6．（4分）如图，△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E，若AC＝3，则DE长为（　　） A．2 B． C． D．3 【解答】解：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝3， ∴BC＝2AC＝6，∠ACB＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠A＝90°，∠BCD＝∠ACD＝∠EDC， ∴BE＝2DE，DE＝CE， ∴BC＝BE+CE＝3DE＝6， ∴DE＝2． 故选：A． 7．（4分）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　） A．12＜a≤15 B．4＜a≤5 C．12≤a＜15 D．12≤a≤15 【解答】解：不等式组整理得：， 由不等式组有且只有三个整数解，得到整数解x＝2，3，4， ∴45， 解得：12＜a≤15， 故选：A． 8．（4分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[1，4]＝2×4+3×1＝11．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．且k≠0 B． C．且k≠0 D． 【解答】解：∵关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根， ∴方程k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0有两个实数根， ∴方程kx2+（5﹣2k）x+k＝0有两个实数根， ∴， ∴且k≠0， 故选：C． 9．（4分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点A，与x轴负半轴交于点B，连接AB．将Rt△OAB向左上方平移，得到RtΔO′A′B′且点O′A′落在抛物线的对称轴上，点B′落在抛物线上，则直线A′B′的表达式为（　　） A．y＝﹣x B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x+3 【解答】解：如图，∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B 令y＝0，解得x＝﹣3或1， 令x＝0，求得y＝﹣3， ∴B（﹣3，0），A（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x1， ∴A′的横坐标为﹣1， 设A′（﹣1，n），则B′（﹣4，n+3）， ∵点B'落在抛物线上， ∴n+3＝16﹣8﹣3，解得n＝2， ∴A′（﹣1，2），B′（﹣4，5）， 设直线A'B'的表达式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线A'B'的表达式为y＝﹣x+1， 故选：B． 10．（4分）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5的圆心依次按O，A，B，C1循环，若OA＝1，则弧C24C25所对应的扇形的面积为（　　） A．144π B．150π C．156.25π D．312.5π 【解答】解：由条件可得： 以O为圆心的圆的半径为1，则所对应的扇形的面积为， 以A为圆心的圆的半径为2，则所对应的扇形的面积为， 以B为圆心的圆的半径为3，则所对应的扇形的面积为， 以C1为圆心的圆的半径为4，则所对应的扇形的面积为， ……， 依次类推，所对应的扇形的面积为（n为大于1的正整数）， ∴弧C24C25所对应的扇形的面积为． 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11．（4分）某市股民小张上星期五买进某公司1000股，每股20元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）：（注：正数表示比前一个交易日上涨，负数表示比前一个交易日下跌） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） +4 +5 ﹣1 ﹣3 ﹣6 本周内最高价是每股 　29　 元． 【解答】解：周一的股价为20+4＝24（元）； 周二的股价为24+5＝29（元）； 周三的股价为29﹣1＝28（元）； 周四的股价为28﹣3＝25（元）； 周五的股价为25﹣6＝19（元）； 综上，本周内最高价是每股29元， 故答案为：29． 12．（4分）如图，已知MN∥EF，点A在MN上，点B和D在EF上，点C在AB的延长线上，∠MAB＝76°，∠C＝36°，则∠BDC的度数是 　40°　 ． 【解答】解：∵MN∥EF，∠MAB＝76°， ∴∠ABD＝∠MAB＝76°， ∵∠C＝36°，∠ABD是△BCD的外角， ∴∠BDC＝∠ABD﹣∠C＝40°． 故答案为：40°． 13．（4分）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是 　12　 ． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （1） x 6 20 22 y （2） 【解答】解：由题意可得：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为x+20+6＝26+x， ∴九宫格中左下角的数＝（26+x）﹣（22+x）＝4， ∴九宫格中间的数＝（26+x）﹣（20+4）＝2+x， ∴22+x+2+y＝26+x， 解得：y＝2， 由题意可得：x+x+2＝20+y， ∴x＝10， ∴x+y＝12， 故答案为：12． 14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，若BC＝2OA，则b的值为 　3　 ． 【解答】解：分别过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠BEC＝90°， ∵直线y＝x与反比例函数交于点A， ∴， 解得或（舍去）， ∴A（2，2）， ∴AD＝2， 由平移知，BC＝2OA，BC∥OA， ∴∠AOD＝∠BCE， ∴△AOD∽△BCE， ∴， ∴， ∴BE＝4， ∴B的纵坐标为4， 把y＝4代入y， 解得x＝1， ∴B（1，4）， ∵将直线y＝x沿轴向上平移b个单位长度得到直线y＝x+b， ∴把B的坐标代入得1+b＝4， 解得，b＝3， 故答案为：3． 15．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，AB＝6，若点P为BC边的三等分点，连接AP，将AP绕A点顺时针旋转60°，点P的对应点为Q，射线AQ与射线CD交于M点，则CM＝　7.5或8.4　 ． 【解答】解：①当点P靠近B点时，如图所示，过点M作ME⊥AD，MF⊥QD，垂足分别为点E，F，过点Q作QG⊥DM，交DM于点G，连接DQ，过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝CD＝6，∠B＝∠ADC＝120°， ∴∠BAD＝60°， ∵AP绕A点顺时针旋转60°， ∴∠QAP＝∠BAD＝60°，AQ＝AP， ∴∠QAP﹣∠DAP＝∠BAD﹣∠DAP， ∴∠QAD＝∠PAB， 在△PAB与△QAD中， ， ∴△PAB≌△QAD（SAS）， ∴∠ADQ＝∠ABC＝120°，QD＝BP， ∵点P为BC边的三等分点，且点P靠近B点， ∴， ∴QD＝2， ∵∠ADM＝180°﹣∠ADC＝60°， ∴∠MDQ＝∠ADQ﹣∠ADM＝60°， ∴∠ADM＝∠QDM， ∴ME＝MF， ∴， ∵S△ADM+S△QDM＝S△ABP＝S△ADQ， ∴， 解得， ， 根据等面积得，， ∴； ②当点P靠近C点时，如图所示，过点M作ME⊥AD，MF⊥QD，垂足分别为点E，F，过点Q作QG⊥DM，交DM于点G，连接DQ，过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H， ∴， 同①得，， ∴； 故答案为：7.5或8.4． 三．解答题（共8小题，满分90分） 16．（10分）解分式方程：． 【解答】解：原方程去分母得：3﹣x（x+2）＝﹣（x2﹣4）， 整理得：3﹣2x＝4， 解得：x＝﹣0.5， 检验：当x＝﹣0.5时，x2﹣4≠0， 故原方程的解为x＝﹣0.5． 17．（10分）如图，延长平行四边形ABCD的一边BC至点F，连接AF交CD于点E．若，求的值． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BF，AD＝BC， ∴△ADE∽△FCE， ∴， ∴． 18．（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（2，3）和点B（﹣2，m），求反比例函数的表达式和m的值． 【解答】解：由题知， 令反比例函数的解析式为y， 将点A坐标代入反比例函数解析式得， k＝2×3＝6， 所以反比例函数解析式为y． 将点B坐标代入y得， m． 19．（10分）2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生为 　50　 人，表中x的值为 　8%　 ； （2）该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； （3）本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 等级 时长t（单位：分钟） 人数 所占百分比 A 0≤t＜2 4 x B 2≤t＜4 20 C 4≤t＜6 36% D t≥6 16% 【解答】解：（1）本次调查的学生为8÷16%＝50（人）， ∴x＝4÷50×100%＝8%， 故答案为：50；8% （2）500200（人）， 答：估计等级为B的学生人数为200人； （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果由8种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 20．（12分）如图，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以3km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示． （1）求甲的速度和乙提速后的速度； （2）求两人在途中相遇时离B地的距离． 【解答】解：（1）从图可知：甲6h行驶30km， ∴甲的速度是5km/h； 如图， 根据已知乙以3km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度， ∴A（2，3）， ∴乙提速后的速度是9（km/h）； （2）由（1）可知，乙1h时离A地3km， 设乙提速后y与x的函数关系式为y＝kx+b，将（2，3）和（5，30）代入得： ， 解得， ∴乙提速后y与x的函数关系式为y＝9x﹣15（2≤x≤5）； 甲离A地距离y与行驶时间x的关系式是y＝5x， 当9x﹣15＝5x，即x＝3.75时，甲和乙相遇， 30﹣3.75×5＝30﹣12.8＝11.25（km）． 21．（12分）新考法•项目式学习探究某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度AB”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度AB 测量方案示意图 测得数据 已知，点A，B，C，D都是池塘岸边上的点，点D位于点B正南方向，点A位于点B南偏西53.3°方向，点D，E在点A的正东方向，点C位于点B南偏东45.5°方向，已知△DCE是草坪休息区域，∠E＝90°．测得BC＝80米，CE＝61米． 说明 点A，B，C，D，E位于同一平面内． 参考数据 sin53.3°≈0.80，cos53.3°≈0.60，an53.3°≈1.34，sin45.5°≈0.71，cos45.5°≈0.70，tan45.5°≈1.02． 问：池塘的宽度AB的长约为多少？ 【解答】解：△DCE是草坪休息区域，∠E＝90°．测得BC＝80米，CE＝61米． 如图，过点C作CF⊥BD于点F， 由题意可知∠ADB＝∠BDE＝∠E＝90°， ∴DF＝CE＝61米． 在Rt△BCF中，， ∴BF＝cos∠CBF×BC＝cos45.5°×80≈0.70×80＝56（米）． ∴BD＝BF+DF＝56+61＝117（米）． 在Rt△ABD中，， ∴（米）． 答：池塘的宽度AB的长约为195米． 22．（13分）已知AB为⊙O的直径，弦CD和AB相交于点E，． （1）如图1，求证：AB⊥CD； （2）如图2，在 上有一点F，，连接BF，求证：BF＝2OE； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AD和BD，在AB上取一点G，使AG＝AD，GM⊥AD，垂足为点M，连接GD，在AD上取一点H，使DH＝2AH，在CE上取一点K，连接HK和BK，若∠HKB＝90°，∠DAB＝2∠KBE，HK与AB相交于点R，HM，求BF的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC和OD， ∵， ∴∠COE＝∠DOE， ∵OC＝OD，OE＝OE， ∴△CEO≌△DEO（SAS）， ∴∠CEO＝∠DEO＝90°， ∴AB⊥CD； （2）证明：如图，连接OC和BC，过点O作OS⊥BF，垂足为点S，连接OF， ∵， ∴∠ABC＝∠CBF， 即∠OBF＝2∠ABC， ∵∠AOC＝2∠ABC， ∴∠EOC＝∠OBS， ∵∠CEO＝∠OSB＝90°，OC＝OB， ∴△CEO≌△OSB（AAS）， ∴OE＝SB， ∵OS⊥BF， ∴BF＝2SB， ∴BF＝2OE； （3）解：连接GH和RD相交于点P，RD与MG相交于点N，过点H作HQ⊥AG垂足为点Q， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DAB＝2∠KBE， ∴设∠KBE＝α，则∠DAB＝2α，∠DBA＝∠ADE＝90°﹣2α， ∴∠DBK＝∠DAB+∠KBE＝90°﹣α＝∠DKB， ∴DK＝DB， ∵∠HKB＝90°， ∴∠HKD＝α， ∵AG＝AD， ∴∠ADG＝∠AGD＝90°﹣α， ∴∠GDB＝∠ADB﹣∠ADG＝α＝∠HKD， ∴△DHK≌△BGD（ASA）， ∴HD＝BG， ∵∠KRE＝∠ARH＝∠AGD＝∠AHR＝90°﹣α， ∴HR∥DG，AH＝AR，HD＝RG＝BG， ∴， ∵DH＝2AH， ∴， 设AH＝AR＝a，则HD＝RG＝BG＝2a，AD＝AG＝3a，AB＝5a， ∴BDDK＝4a＝BR， ∴tan∠DAB， 在Rt△AHQ中，AH＝a，， ∴HQ，AQa， ∴GQ＝AG﹣AQ＝3aaa， ∴tan∠AGH， ∵BD＝BR， ∴∠BRD＝∠BDR＝45°+α， ∴∠ADR＝90°﹣∠BDR＝45°﹣α， ∴∠RDG＝90°﹣∠ADR﹣∠BDG＝90°﹣（45°﹣α）﹣α＝45°， ∵HD＝RG，∠HDG＝∠RGD，DG＝DG， ∴△HDG≌△RGD（SAS）， ∴∠HGD＝∠RDG＝45°， ∴∠DPG＝180°﹣∠HGD﹣∠RDG＝90°，∠HDP＝∠RGP， ∴tan∠AGH＝tan∠ADR， ∵∠NPG＝∠NMD＝90°，∠PNG＝∠MND， ∴∠PGN＝∠MDN， ∴tan∠MGH， ∵HM， ∴MG， ∵DG＝DG，∠MDG＝∠EGD，∠GMD＝∠DEG＝90°， ∴△GMD≌△DEG（AAS）， ∴MG＝DE， 在Rt△AED中，tan∠DAB， ∴， ∴， ∵tan∠DABtan∠BDE， ∴， ∴BE， ∴AB＝AE+BE＝10， ∴ODAB＝5， 在Rt△OED中，OE， ∴BF． 23．（13分）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． （1）判断二次函数y＝x2﹣1是否为一次函数y＝x﹣1的轴点函数，并说明理由． （2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若，求b的值． （3）函数（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣1为一次函数y＝x﹣1的轴点函数，理由如下： 联立得， 解得：，， ∴二次函数y＝x2﹣1与一次函数y＝x﹣1的图象有两个交点（0，﹣1）或（1，0），并且都在坐标轴上， 根据定义，二次函数y＝x2﹣1为一次函数y＝x﹣1的轴点函数． （2）在y＝x+c中，令y＝0，得x+c＝0， 解得：x＝﹣c， ∴A（﹣c，0）， 令x＝0，得y＝c， ∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c）， ∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0， ∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1， ∴y＝ax2+（ac+1）x+c， 解得：x′1＝﹣c，x′2， ∴B（，0）， ∴OB＝||，OA＝c， ∴||c，且a＜0， ∴ac＝±4， ∴b＝﹣3或5． （3）由题意得，M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0）， ∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t， ∴D（t，2t），E（﹣2t，2t）， 当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图1， 则， ∴n2﹣n＝0，且n≠0， ∴n＝1； 当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图2， 则， 消去m，t，得n2+2n﹣1＝0， 解得：n11，n21； ∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧， ∴n与m同号，即n＜0， ∴n1； 当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图3， ∴， 解得：n； 综上所述，n的值为1或1或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 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