湖南师范大学附属中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高一下学期期中数学试卷，通过梯度化题型设计覆盖集合、复数、向量等核心知识，融入美丽乡村规划等现实情境，突出数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|单选8/40、多选3/18|集合交运算、复数乘法、向量线性表示|基础题注重概念辨析（如向量共线求tanα），多选题综合考查（如三角函数图象变换）| |填空题|3/15|圆台高计算、异面直线成角、函数零点|强调空间想象（如圆锥母线与底面线成角）| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明、解三角形应用、函数奇偶性与不等式、复数三角形式|综合题突出实际应用（如鱼塘面积优化）与创新探究（如单位圆内接正十六边形顶点复数）|

高一数学(T)参考答案－(这是边文，请据需要手工删加) 高一下学期期中考试 数学参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答 案 B D D A A C D B AD BD ACD 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．B　【解析】B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|(x－2)(x＋1)<0}＝{x|－1<x<2}，又A＝{－2，－1，0，1，2}， 所以A∩B＝{0，1}．故选B. 2．D　【解析】因为z＝i(2＋i)＝2i－1＝－1＋2i，所以z＝－1－2i.故选D. 3．D　【解析】∵AB＝3AD，∴＝＝a，∵CE＝ED，∴＝＋＝b＋×a＝a＋b，故选D. 4．A　【解析】函数y＝x＋1的反函数为y＝log(x－1)，其图象过点(2，0)，且在定义域(1，＋∞)内为减函数，分析四个选项发现只有A选项满足要求．故选A. 5．A　【解析】由acos B－bcos A＝R，有2Rsin Acos B－2Rsin Bcos A＝R，得sin(A－B)＝，因为A，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，所以A－B＝或，又C＝，所以A－B＝应舍去，则A－B＝. 又A＋B＝，解得A＝，B＝.故选A. 6．C　【解析】如图，由题意不妨设c＝＝(1，0)，a＝＝(1，a)，b＝＝(3，b)， 由a·b＝2，得3＋ab＝2，即ab＝－1，b＝－， 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝. ∵10＋9a2＋≥10＋2＝10＋6＝16，当且仅当9a2＝，即a2＝时取等号，∴cos θ∈，又θ∈[0，π]，则a与b夹角的取值范围是.故选C. 7．D　【解析】设t＝f(x)，则t2－(a2＋a)t＋a3＝0，即(t－a)(t－a2)＝0， 故t1＝a，t2＝a2， 因为a>1，故t1>1，t2>1，画出f(x)的大致图象如图所示， 由图象可知直线y＝a和y＝a2与y＝f(x)分别有3个公共点， 故原方程共有6个根．故选D. 8．B　【解析】如图，取B1C1的中点为E，BB1的中点为F，CC1的中点为G， 因为∠BAD＝60°，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2， 所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E＝，D1E⊥B1C1， 又四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1， 又D1E平面A1B1C1D1，故BB1⊥D1E， 因为BB1∩B1C1＝B1，BB1，B1C1侧面B1C1CB，所以D1E⊥侧面B1C1CB， 设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，则D1E⊥EP， 因为球的半径为，D1E＝，所以|EP|＝＝＝， 所以侧面B1C1CB与球面的交线上的点到E的距离为， 因为|EF|＝|EG|＝，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG， 因为∠B1EF＝∠C1EG＝，所以∠FEG＝，根据弧长公式可得＝×＝π.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．AD　【解析】因为AB＝，AC＝1，B＝，由正弦定理得＝， 则sin C＝＝＝，又0<C<π，所以C＝或， 当C＝时，A＝，此时S＝AB·AC＝××1＝； 当C＝时，A＝，此时S＝·AC·AB·sin A＝×1××＝.故选AD. 10．BD　【解析】将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin＝sin＝g(x)＝sin，∵0<φ<π，∴φ－＝，即φ＝，故A不正确； 则f(x)＝sin， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故B正确； 令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋(k∈Z)，即f(x)的对称中心为(k∈Z)，故C不正确； 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调递减区间为， 当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为，故D正确．故选BD. 11．ACD　【解析】对于A，因为平面α与对角线AC1垂直，又AC1⊥平面BA1D，所以平面α与平面BA1D平行或重合，而正方体各棱与平面BA1D所成角，即为体对角线AC1与正方体各棱所成角的余角，由正方体的对称性易得体对角线AC1与正方体各棱所成角均相等，故直线AB，AD，AA1与平面α所成角也相等，故A正确； 对于B，当平面α沿对角线AC1平行移动时，只有当平面α移动到平面EFGHRS(E，F，G，H，R，S分别为所在棱的中点)时，面积最大．又由题易知，六边形EFGHRS为正六边形，可求得EF＝，则平面α截此正方体所得截面面积的最大值为6×＝>.故B错误； 对于C，直线BC与平面α内任一直线所成角的正弦值的最小值，即为直线BC与平面α所成角的正弦值，不妨取平面α为平面BA1D，又BC∥AD，故等价于求AD与平面A1BD所成角，设AC1与平面BA1D交于点H，因为AC1⊥平面BA1D，所以∠ADH为所求角，AH＝AC1＝，AD＝1，则sin∠ADH＝＝，故C正确； 对于D，当平面α与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分， M1S1＋M1N1＝DM1＋M1C＝DC＝，同理可得N1P1＋P1Q1＝Q1R1＋R1S1＝，∴当平面α与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值3，故D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．4 13.　 【解析】如图，过点A作AD∥BC交底面圆锥于点D，连接PD， 因为PA＝PD，AD∥BC，则∠PAD为异面直线PA与BC所成角， 所以cos∠PAD＝＝＝， 又0<|AD|≤2，所以0<≤，即0<cos∠PAD≤， 因为∠PAD∈，函数y＝cos α在α∈上单调递减，所以≤∠PAD<， 故异面直线PA与BC所成角的最小值为. 14.∪　【解析】因为函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上有且仅有一个零点， 所以函数的最小正周期T＝≥π－＝，所以0<ω≤， 由x∈，可得ωx－∈， 由0<ω≤，得－<ω－≤， 当－<ω－<0，即0<ω<1时，需有0<πω－≤π，解得<ω≤，所以<ω<1； 当ω－＝0，即ω＝1时，πω－＝，此时函数在内没有零点； 当0<ω－≤，即1<ω≤时，需有π<πω－≤2π，解得<ω≤，所以<ω≤， 综上所述，ω的取值范围为∪. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．【解析】(1)因为a∥b， 所以4sin α－＝0，2分 即6sin α＝cos α， 所以tan α＝.5分 (2)因为|a＋b|＝|a－b|， 所以(a＋b)2＝(a－b)2， 即a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0，7分 又因为a·b＝sin α＋4(cos α－2sin α)， 则sin α＋4(cos α－2sin α)＝0， 所以tan α＝，10分 所以＝＝＝＝＝.13分 16．【解析】(1)证明：如图，连接B1C，交BC1于点G，连接EG，1分 在△AB1C中，G为B1C的中点，E为AC的中点，所以EG是△AB1C的中位线，所以EG∥AB1，3分 因为AB1平面BC1E，EG平面BC1E，所以AB1∥平面BC1E.4分 (2)证明：在正三棱柱ABCA1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，EB平面ABC，所以CC1⊥EB，5分 在等边△ABC中，E为AC的中点，所以BE⊥AC，6分 又因为AC∩CC1＝C，所以EB⊥平面ACC1A1，7分 又EB平面BC1E，所以平面BC1E⊥平面ACC1A1.8分 (3)如图，连接EM，BM，因为△AEM和△CC1E都是直角三角形，且＝＝2， 所以△AEM∽△CC1E，所以∠CC1E＝∠AEM， 因为∠CC1E＋∠CEC1＝，所以∠CEC1＋∠AEM＝，所以ME⊥C1E.11分 由(2)得，平面BC1E⊥平面ACC1A1，平面BC1E∩平面ACC1A1＝C1E， 又ME平面ACC1A1，所以ME⊥平面BC1E， 则∠EBM为直线BM与平面BC1E所成的角，13分 在Rt△BME中，因为BE＝，ME＝，所以tan∠EBM＝＝， 所以直线BM与平面BC1E所成角的正切值为.15分 17．【解析】(1)在△ABC中，CA＝6 km，CB＝6 km，∠ACB＝90°， 则tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°， 在△AMC中，CM2＝CA2＋AM2－2CA·AMcos ∠CAM＝36＋16－2×6×4×＝28， 所以CM＝2 km.3分 于是cos∠ACM＝＝＝， 在△CAN中，sin∠ANC＝sin(∠A＋∠ACN)＝sin(∠A＋∠NCM＋∠ACM)＝sin(60°＋30°＋∠ACM)＝sin(∠ACM＋90°)＝cos∠ACM＝， 在△CMN中，＝，所以MN＝ km.7分 (2)设∠ACM＝α，0°<α<60°， 在△AMC中，＝，得CM＝， 在△ANC中，＝，得CN＝，10分 所以△MNC的面积S＝CM·CNsin 30°＝××× ＝×＝×，13分 因为0°<α<60°，所以当α＝15°时面积最小，最小值为(54－27)km2.15分 18．【解析】(1)(ⅰ)因为函数f(x)为奇函数，故f(0)＝a＋1＝0，a＝－1，则f(x)＝－＋2x， f＝－＋2－x＝－2x＋＝－f(x)，函数f(x)为奇函数， 解不等式－＋2x>，设2x＝t，则－＋t>，解得t>2或t<－(舍)， 即2x>2，解得x>1， 故原不等式的解集为(1，3].4分 (ⅱ)因为函数f(x)为偶函数，故f＝＋2－x＝a·2x＋＝f(x)＝＋2x， 解得a＝1，则f(x)＝＋2x， f(2x)＋2m·f(x)<0，即＋22x＋2m<0， 设＋2x＝k，x∈，则2x∈，函数y＝x＋在上单调递减，在[1，8]上单调递增， 故＋2x＝k∈， ＋22x＋2m＝2＋2m－2＝k2＋2mk－2<0， 即m<＝－，函数y＝－在上单调递减， 故max＝－＝－，故m<－.10分 (2)根据(1)知，g(x)＝ 当x∈时，g(x)＝－＋2x，设2x＝b，则b∈，y＝－＋b，函数单调递增， 则y＝－＋b∈； 当x∈时，g(x)＝＋2x，设2x＝c，则c∈，y＝＋c，函数在(2，4)上单调递增， 故y＝＋c∈，又函数g(x)在∪上为偶函数， 故g(x)＝＋2x∈， 综上所述，g(x)∈∪. 不等式g＋g＋4>ng恒成立， 当n>0时，即2g(x)min＋4>ng(x)max，即－3＋4>n，解得n<； 当n＝0时，即2g(x)min＋4>0，即－3＋4>0，成立； 当n<0时，即2g(x)min＋4>ng(x)min，即－3＋4>－n，解得n>－. 综上所述，n∈.17分 19．【解析】(1)z＝－1＋i，故|z|＝2，arg z＝.故z＝2.2分 z2＝4，z3＝8，zn＝2n(n∈N*).5分 (2)正十六边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即zk＝z1·k－1＝cos＋i·sin ，k＝1，2，3…，16. 故z＝cos＋i·sin ＝cos－i·sin ， 由三角函数的周期性知，z＝z，即z以8为周期，所以一共对应8个不同的点.11分 (3)设z1＝cos α＋i·sin α，z2＝cos β＋i·sin β，则z1·z2＝cos(α＋β)＋i·sin(α＋β)． (z1＋z2－2z1z2)∈R，即2sin＝sin α＋sin β＝sin＋sin＝2sin cos， 即sin＝sin cos. 又因为sin＝2sin cos，所以sin ＝0. 假设α，β∈，则sin ≠0，所以2cos－cos＝0. 即coscos＝3sin sin ，进一步得到tantan＝， 又α，β∈，所以，∈，所以tan，tan∈， 故tantan<，这与tantan＝矛盾，故假设不成立， 从而max≥.17分 (这是边文，请据需要手工删加) 学科网（北京）股份有限公司 $ 题　　答　　要　　不　　内　　线　　封　　密 　号位座____________　号场考____________　号　学____________　名　姓____________　级　班____________　级　年 (这是边文，请据需要手工删加) 高一数学试题(T)　第页(共6页)(这是边文，请据需要手工删加) 高一下学期期中考试 数　　学 时量：120分钟　　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩B＝ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{1，2} D．{－1，0，1，2} 2．设复数z＝i(2＋i)，则z＝ A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i 3．如图，在△ABC中，BD＝2AD，E为CD的中点，设＝a，＝b，则＝ A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 4．函数y＝x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是 5．若△ABC外接圆的半径为R，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝，acos B－bcos A＝R，则B＝ A. B. C. D. 6．若平面向量a，b，c满足|c|＝1，a·c＝1，b·c＝3，a·b＝2，则a与b夹角的取值范围是 A. B. C. D. 7．已知函数f(x)＝则当a>1时，方程f2－f＋a3＝0的根的个数是 A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 A.π B.π C.π D．2π 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是 A. B．1 C. D. 10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin的图象，则下列说法正确的是 A．φ＝ B．函数f(x)的最小正周期为π C．函数f(x)的图象关于点成中心对称 D．函数f(x)的一个单调递减区间为 11．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，平面α与对角线AC1垂直，则 A．该正方体的每条棱所在直线与平面α所成角均相等 B．平面α截该正方体所得截面面积的最大值为 C．直线BC与平面α内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D．当平面α与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值3 答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得 分 答案 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径长分别为2，8，则圆台的高为__________． 13．已知P是一个圆锥的顶点，PA是母线，PA＝2，该圆锥的底面半径是1.B，C分别在圆锥的底面上，则异面直线PA与BC所成角的最小值为________． 14．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在区间上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为__________． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分) 已知向量a＝(sin α，cos α－2sin α)，b＝(1，4)． (1)若a∥b，求tan α的值； (2)若|a＋b|＝|a－b|，求的值． 16.(本小题满分15分) 如图，在棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，E为棱AC的中点． (1)求证：直线AB1∥平面BC1E； (2)求证：平面BC1E⊥平面ACC1A1； (3)若M为棱A1A上一点，且AM＝AA1，求直线BM与平面BC1E所成角的正切值． 17．(本小题满分15分) 为建设美丽乡村，某镇政府拟将一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为桃树林和散养走地鸡，△CMA区域为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域为小型鱼塘供休闲垂钓．已知AC＝6 km，BC＝6 km，∠ACB＝90°，∠MCN＝30°. (1)若AM＝4 km，求CM和MN的长度； (2)当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？ 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)＝＋2x(x∈A)． (1)若集合A＝[－3，3]． (ⅰ)若函数f(x)为奇函数，求不等式f(x)>的解集； (ⅱ)若函数f(x)为偶函数，关于x的不等式f(2x)＋2m·f(x)<0有解，求实数m的取值范围； (2)设g(x)＝若对于区间[－2，2]上的任意实数x1，x2，x3，不等式g(x1)＋g(x2)＋4>ng(x3)恒成立，求实数n的取值范围． 19.(本小题满分17分) 已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是z＝r(cos θ＋i·sin θ)，其中r是复数z的模，θ是复数z的辐角．当θ∈[0，2π)时，θ称为辐角的主值，记为arg z．复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若z1＝r1(cos θ1＋i·sin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋i·sin θ2)，则z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋i·sin(θ1＋θ2)]．即模相乘，辐角相加． (1)写出复数z＝－1＋i的三角形式，并计算z2，z3(三角形式)，由此归纳出zn(n∈N*)的三角形式； (2)设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为z1，z2，…，z16(逆时针顺序)，其中z1＝1.求复数z，z，…，z在复平面所对应不同点的个数； (3)设复数z1，z2不全为实数，|z1|＝|z2|＝1，(z1＋z2－2z1z2)∈R，证明：max{arg z1，arg z2}≥. 学科网（北京）股份有限公司 $