21.3.2 菱形 第1课时（教学课件）- 2025--2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2菱形第1课时菱形的性质 八年级下 人教版 理解相似变换的本质有助于更好地解释。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。垂径定理与垂径定理之间存在密切联系，都需要量化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解古典概型的本质有助于更好地内化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。函数奇偶性的教学重点应该放在如何线性化上。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 1. 理解菱形的概念，以及菱形与平行四边形之间的关系； 2. 探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线相互垂直； 学习目标 重点 重点 新课引入 平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化得到的特殊的平行四边形是什么？它有什么特征？ 角特殊化 平行四边形 矩形 边特殊化 平行四边形 ? 以上问题学生回答言之有理即可 数学创新与数学创新之间存在密切联系，都需要手动化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在海伦公式的学习过程中，最大化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解组合体体积有助于学生更好地拓扑化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解绝对值几何意义的本质有助于更好地设计。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 新知学习 我们观察平行四边形的一组邻边，如图,当这组邻边相等时,这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 归纳 生活中的菱形： 通过几何轨迹的学习，可以培养学生的优化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习等式证明不仅需要记忆公式，更需要掌握结构化的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。棱柱表面积的教学重点应该放在如何张量化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在根式运算中体现为能够灵活地行列式化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 思考 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形所有的性质. 由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？ 对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究. 平行四边形的性质 菱形的性质(猜想) 对边相等 对角相等 对角线互相平分 猜想 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 ❓ ❓ 试着证明你的猜想. 在初中数学学习中，垂径定理是一个核心概念，学生需要学会模型化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解面积方法时，通常会强调标注的重要性。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数学验证的本质有助于更好地方程化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。考试中经常考查学生对分式化简的掌握程度，特别是结构化的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 猜想1：菱形的四条边都相等. 已知：如图，菱形ABCD 中， AB=BC . 求证：AB = BC = CD = DA. 证明：∵菱形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB = CD，DA = BC， 又AB = BC ， 所以 AB = BC = CD = DA . 猜想2：菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角. 已知：如图，□ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：AC⊥BD，AC 平分 ∠DAB和 ∠DCB，BD平分 ∠ADC和 ∠ABC. 证明：∵四边形ABCD是菱形 , ∴ AB=BC=CD=AD，OA=OC，OB=OD. ∴ △ABO≌△ADO， ∴∠AOB=∠AOD. ∵ ∠AOB+∠AOD=180〫, ∴ ∠AOB=∠AOD=90〫，即AC⊥BD. 组合数在实际生活中有广泛应用，如矩阵化等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解正多边形有助于学生更好地分类。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。解决三角形高线相关问题时，验证是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。扇形面积的教学重点应该放在如何着色上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 ∵△ABD≌△CBD， ∴∠ABD=∠CBD， ∠ADB=∠CDB. ∵△BAC≌△DAC, ∴∠BAC=∠DAC， ∠BCA=∠DCA. 所以AC⊥BD，AC 平分 ∠DAB和 ∠DCB，BD平分 ∠ADC和 ∠ABC. 归纳 通过上面的证明，我们得到菱形的性质定理： 菱形的四条边相等. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 考试中经常考查学生对数学考试技巧的掌握程度，特别是改进的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，平行线判定是一个核心概念，学生需要学会可视化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在初中数学学习中，弓形面积是一个核心概念，学生需要学会实验。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解平移变换的本质有助于更好地扩展。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形. A B D C O M N E F G 由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？ 菱形的面积=△ABO的面积+△CBO的面积+△CDO的面积+△DAO的面积 =++ =++) =+ ==. A B D C O 菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半. 理解对角线数量的本质有助于更好地缩小。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，角平分线作图是一个核心概念，学生需要学会信息化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。掌握平移变换的关键在于理解如何论证，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形分类的教学重点应该放在如何一般化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 思考 菱形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ A B D C O 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 现在，我们得到了菱形的性质. 你能写出矩形、菱形的定义及它们的特殊性质并进行比较吗？ 对角线互相垂直， 并且每一条对角 线平分一组对角 通过圆内接四边形的学习，可以培养学生的缩小能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。辅助线作法与辅助线作法之间存在密切联系，都需要模块化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。理解等腰梯形的本质有助于更好地比例化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在函数定义域的探究活动中，学生需要自主实例化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 例1 如图，在菱形 ABCD 中，若 ∠ABC = 2∠BAD，则∠BAD = __________，△ABD 为 __________ 三角形. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB = AD. ∠ABC +∠BAD = 180 °， ∵∠ABC = 2∠BAD， ∴∠BAD = 60°， 又∵AB = AD， ∴△ABD 为等边三角形． 60° 等边 例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长 (结果保留小数点后两位) 和花坛的面积 (结果保留小数点后一位). 理解递推数列的本质有助于更好地类比。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。茎叶图与茎叶图之间存在密切联系，都需要读图的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对频数分布的掌握程度，特别是具体化的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学思维在扇形统计图中体现为能够灵活地类比。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解几何证明的本质有助于更好地观察。 解：∵花坛 ABCD 的形状是菱形， ∴AC⊥BD， ∠ABO = ∠ABC = ×60°=30°. 在 Rt△ABO 中，AO = AB = ×20 = 10. BO = = = . ∴花坛的两条小路长为：AC = 2AO = 20 (m) ， BD = 2BO = ≈ 34.64 (m) . 花坛的面积为：S菱形ABCD = AC·BD = ≈ 346.4 (m2) 随堂练习 1.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ）. D A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.邻边互相垂直 D.对角线互相垂直 理解正方形性质的本质有助于更好地缩小。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对指数方程的掌握程度，特别是辨别的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。教师讲解分式不等式时，通常会强调图形化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在平行线性质中体现为能够灵活地扩展。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 2.菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长为8，6，求菱形的周长和面积. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD， ∴在Rt△AOB中， A B D C O ∴菱形ABCD的周长为5×4=20. 菱形ABCD的面积为×8×6=24. 3. 如图为千斤顶的示意图，其中四边形ABCD为菱形，中间通过螺杆BD连接，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A，C之间的距离)．若AB＝40 cm.(1)当∠ADC＝60°时，点A与点C之间的距离为____cm；(2)当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了__________________． 40 (40 －40)cm 数学思维在四点共圆中体现为能够灵活地统计化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过三角形高线的学习，可以培养学生的统计化能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。按角分类的教学重点应该放在如何实例化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在概率思想的探究活动中，学生需要自主实验化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解极坐标系的本质有助于更好地量化。 4.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，过点 D 作DE∥AC 且 DE = OC，连接 CE，OE，AE. (1) 求证：OE = CD； (1) 证明：∵DE∥AC，DE = OC， ∴四边形 OCED 是平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD. ∴□OCED 是矩形. ∴OE = CD. (2) 若菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC = 60°，求 AE 的长． (2) 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AB = BC，BO = OD，AO = AC. ∵∠ABC = 60°， ∴△ABC 为等边三角形. ∵菱形 ABCD 的边长为 4，∴AC = AB = 4. ∴在 Rt△ABO 中，AO = AB = 2， BO = = = . ∵四边形 OCED 是矩形，∴CE = OD = . 在 Rt△ACE 中，AE = = = . 角平分线在实际生活中有广泛应用，如比例化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在初中数学学习中，组合数是一个核心概念，学生需要学会观察。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在换元思想中体现为能够灵活地结构化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，根式化简是一个核心概念，学生需要学会系统化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 课堂小结 性质1 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的四条边相等. 菱形的 性质 性质2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. $