重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

西南大学附中2025一2026学年度下期期中考试 三、填空题： 高一数学试题参考答案 一、单选题 2 13:70； 14:2,4+25 1-5:BBACD; 6-8:ACB 14.【解析】代数法一：令名=a,+4,52=4+b以，因==2，所以a2+42=a2+62=4, 8.B【解析】因a=btmA,由正弦定理得，5血A=血BtanA,即s如A=Si如B血4 3-=(a-a}+(4-}=2(a2+6）+2(a马+bb)+a2+62=42+2(a,4+b4)+4 cosA=血B,因△MBC为能角三角形，所以B=A+号，C=7-2A,由正弦定理得， 令a4+6=,所以当X=-时，片-有最小值3，即P=4,【=坦又因向量O乙，0可的夹 】_c0s24+cos224_1-sim3A+1-2sin24 sin'A sin"A sin'A 角为锐角，故t=2,0元·0Z-@凸2+=2：所以 4sin'4-5sin+24sin+ sin'A 片=a恤广+6地=(a2+4)+2a4+6)+g2+=25,又因 1,选B 4+-2-+,所以s6++4=25+4,故最大值为4+25： 二、多选题 9:BCD; 10:ABD 11:ACD 几何法二：在复平面内，复数，所对应的向量分别为0沉，0沉，k-表示点乙到向量0沉所 11.ACD【解析】对于选项A:f八-为=5cos(-x+sim小N5cos(x+simH=f),所以fx)为偶函 在的直线上点的连线段距离，即垂线段最短，即点乙，到O乙所在直线的距离为√5，由于向量 数；故选项A正确 对于选项B取x=受月}引血受1f侣+小斗m受=-1)所以 瓦，远的夹角为锐角，如图。即乙4=5所以（阿，0可）-于故 π不是∫(x)的周期，故选项B错误： 0瓦·0元-网z网©s于=2：因4+-，所以，复数z在复平面所对应的点的轨迹是以菱 对于选项C:当x>0时，fx)=5cos刘+sinx,此时有fx+2m)=5cos(x+2x+sin(x+2r) 形顶点C为圆心，4为半径的圆，所以的最大值为0C+4=4+2√5 5cw+m=2a(+}0ss号 =3cos+simx=f),所以对于xe[0,2x]时，f()= 5cosx+ix=2s+ 所以通数因在[碍医】[臣2]小上单调谜增在[哥引[告]上单清送流根提偶通数 的性质，函数因在（贺，一上单增，故选项C正确 15.解折0限据余弦定理d=d+-2 abcoC,因为a=3,b=8,C=宁 代入公式计算得：c=7: 对于选项D,0=5,得)2/()/(-2/（引-山，由函数的单调性，奇偶性得，函数 根据面积公式：Sac=)absinC=2×3x8×sim=65 2 x)值域为[-1，-2] (2)a+ =2c=acos B+bcos A=2ccos B; cos B. 由正弦定理知：sin AcosB+-sin Bcos A=2 sinCcosB;化简得：sinC=2 sinCcosB: 试卷第1页，共3页 所以1-2oB,所以osB-所以血B-5。 21 18.解折：(/f间=2W5cosg-2s血匹cos竖+2-5=50+cosx)-s血or+2-5 2 2 2 由正致定建品品。将a=3,b=8,血8=号代入得血4 16 =cosox-sinaxx+2=2cos(ax+)+2. 6 16.解折0)设z=a+bi(a,beR),则1z-3=ad2+仍-3=4， 因为)的最小正周期为T=开，所以=x解得@=2。 又因为_a+6-y_+b-0-2.a+b-)+b-a-yeR 所以f=2cos2x++2. 1+i1+i 2 2 6 所以b-a-1=0,即b=a+1. 令2s-S2x+s2kx解得标-径≤x≤音ke乙， 121 代入a2+亿-3=4，得a2-2a=0,解得a=0或2. 当a=0时，b=1,z=i: 所问网的华得是区周为✉-吾红合人乙 当a=2时，b=3,z=2+3 回烟为：不是纯盘数，所以z-24,所以+经-2k+匠-理。 ②g=f-f-2=2 Rcofo/x--+=2owar+培-音0 2+k>0 为g是得通数所后-音0-t红keZ 因为豆+k+子：在第四象限，所以{ -3<0解得-2<k<0或> 解得四=2-12k,又因为0<0<3所以k=0,@=2.于是g()=2c0s2x. 17.解析如图. 当x号时，2xe5争 所以x=0时，g()有最大值2， 当x=号时，g倒有最小值- o烟为re停孕.可得a做+受+管受+ 6 6 令1=r+若则函数/因-=2orx+骨+2在区间受，受上没有最值， 解得c6-55 即适数了=在区间宁受+受骨上无摄值 ②因为D在BC的延长线上.故∠DC+∠CMD-号 因为函数y=cost的单调区间为[k元，k红+小ke乙， 空+2版 2k1 @2- 所血∠Dc+s抽∠CD=油∠Dc+sG-LDC 则满足 ,keZ解得 5@+及skx+开 3 9keZ, .2k1 26 =c+soc-c-ctsoc=(oc+引 @s5*3 2k+1,0 因为ù>0，所以应满足 531 <ks5.keZ. 因为uc}所以c+号后}解得(uoc+引 坠+2达1e解得 6 533"9 所以k=0或k=1. 5 所以sin∠ADC+sin∠CD的取值范围为 当k=0时，0<w行当k=1时 ≤号缘综上，实数知的取值疱图是0写岩 15 试卷第2页，共3页 19.解折：(0)2仿射坐标系即为直角坐标系，所以2五+5=4-2)+(-12)=6,0， 因为0e03.则p<20-p誓-p, 所以12ā+61=1G,0)1=3: 故当20-p=受时，5m+3取得最大值西+头。 3 3 ×( (2)在直角坐标系xOy中，记g=Q,0),则马=(cosa,si加a), 在a-仿射坐标系中，a=(-l=g+3g=(-1+万cosa,5sina), -1+cosa cos1cosa3sino 解得cg=0(合去减caa=号，所以a-号 e在直角坐标系0中，云-00-(o@号m导-G身。 设丽n听-6a.元=n听-店9，而-号玩-g9.a>0n30,即 10BI=m,lOCl=n, 则C-2+2-2 mnco号-万，所以m2+-m=2 E,F分别为BD,BC的中点， 则O死=O丽+0D=m+2n,5,oF=o5+oo-=m+5n 1,,15 2、6”6 22 6 2 4 △OBC中，由正弦定理BC。,OB OC mgsm∠BC0sm∠CBO 3 设∠B0=0,则血∠C80=sm0+学.0e0, 所以m=25 0，n=2 sim(0+), 5 1-co00+ 5m+3n2-40sim29+8sm2(0+5=40x上cos20+8× 3 3 2 2 -90-a20+20+ 0s204 2n201 号+a5血0-兰w9如0-号其种为旅角，且m0 3 试卷第3页，共3页西南大学附中2025一2026学年度下期期中考试 高一数学试题 (满分：150分：考试时问：120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生先将白己的灶名、班似、考场/应位号、准考证号填写在答题卡上。 2.苍进择题时，必须使用2B悟笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫来的黑色签字笔书写： 必须在题号对应的答题区城内作答，翅出答题区域书写无效：保村答卷清洁、完整。 3.考试姑来后，将答题卡文田（试题卷学生保存，以备评讲)。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知某扇形的圆心角为2，半径为5，则该扇形的周长为() A.15 B20 C.25 D.35 2.复数z满足(2+切z=1+3,则2=（) A.1 B.√2 C.2 D.26 3 3.已知向量ā=(2,1)，6=（-1,2).若(a+)M(a+),则x=（) A.1 B.2 C.-1 D.-2 4.已知2-i是关于x的方程x2+mr+n=0(m,neR)的一个根，则m+n=() A.-2 B.-1 C.1 D.9 5.△MBC的内角：B.C的对边分别为a,bc,4=号b=4,若△1BC有两解，则a的取 值范围为() A.(2,4) B.(25,+o) c.(25,4] D.(25,4 6.已知a为微角，m2a+引片则eaa-引( ) A. B.-6 c.-6或6 3 3 3 7.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形AB'CD,己知A'B'=1,BC=4, 'D=2,则四边形ABCD的周长是() y A.7+N5 B.14W2+210 C.9+7 D.6+3+√行 0 B 高一敢学第1页（共4页） 8。纯角△4BC的内角，B,C的对边分别为，b,c,满足a=bmA,则+C的取值范围为 () A.(0.1) B.(1+o) C.[4W2-5,tm) D.[「2W2-5,+∞ 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小愿给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9,、已知复数2=名下列说法正确的是（） 2i A.z的虚部为i B.z的共轭复数为-1-i C.z在复平面内所对应的点位于第二象限D =-1 10.已知正六边形ABCDEF的边长为2，中心为O,动点P在正六边形的边上运动，则下列说 法正确的是() A.AB.AE=0 B.04+OC=OB C.AC在AB上的投彩向量为2AB D.PA.PC的最大值为6 11.已知函数∫(x)=V3cosx+sim内，则() A.(x)是偶函数 B.∫(x)的最小正周期为元 C。网在（受-上单调道增 D.∫(x)的值域是[-1,2] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12,已知同=1，月=2,2ā+6=2W5,则向量a与向量6的夹角为 13,中国的古建筑榫卯咬合、斗拱层叠，不用一钉一铆，却撑起千年不倒的殿字廊檐.攒尖是 中国古建筑中屋顶常见的一种结构形式，它可以看作是正三棱柱和不含下底面的正四楼台 的组合体，如下图.已知图中正四梭合上底、下底的长度分别为2√万米，6万米，侧棱长 为5米，正三校柱各梭长均相等，则该结构的体积为 立方米 14,已知复数=2=2，对任意的实数t,|t2一z2的最小值为√万，在复平面内，复数， z2所对应的向量分别为0Z,0Z,,向量0Z,0Z的夹角为悦角，则0Z·OZ2=一一一： 若复数2澜足+22一=4，则冈的最大值为一 面·敢学第2页（尖4川） 四、解答题，本大愿共5小愿，共77分、解答应写出文字说明、证明过程戚演算步爆. 15.(13分)在△MBC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,a=3,b=8, ()若C=了，求c的值，以及△BC的面积S: (2)若a+bos4=2c,求sinA. cos B 16.(5分)复数z满足：-3训=2且千是实数。 (1)求x: ②若艺不是纯虚数。且三+k+异：在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数k的取值 范围： 17.15分)如图。△MBC中，角4，B,C的对边分别为abc,C=号，2a=30.点D在BC 延长线上 (I)若a=3,∠ACB的角平分线交AB于点E,求线段CE的长： (2)求sin∠DC+sin∠CAD的取值范围. 高一数学第3页（共4页） 18.7分)已知向量-cos受eos受，i-(5cos受-m受》，o>0. 函数∫(x)=2m.n+2-√5. ()若(x)的最小正周期为n,求f()的单调通增区间： ②将面数/因的图象向右平移号个单位，再向下平移2个单位，得到的图象对应函数 记为8网，若0<a<3且8)为偶函数，求函数y=g因在区间[骨司上的最值： 包)若函菊/在区同（经}上没有最值，求仙的取值范围。 19.(17分)如图1，若平面内两条射线Ox,Oy相交成a(0<a<)角，，可分别为与Ox, Oy同向的单位向量，则称平面坐标系xO为“a仿射坐标系”.在“α仿射坐标系”中， 若OP=x花+y龙，则记OP=(x,y)· E D 0 B 图1 图2 （)在“仿射坐标系”中，石=2-)，石=(-1,2).求2a+61: 网在“0仿时型振系”中老合 且石与a的夹角为背，求a: (③)如图2，在“号仿附坐标系”中，点8，C分别在射线Ox,射线O上（均与点0不重 合)，(8C1=V反，O而=OC,E,F分别为BC,BD的中点，求OE.OF的最大值. 商一数学第4页（共4页）