山西阳城县第一中学校等学校2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级期中考试试题 数学 （满分150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（共40分） 1. 可表示为排列数（ ） A. B. C. D. 2. 设一组样本数据，， ，的方差为，则数据，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 3. 国家提出“乡村振兴”战略，各地纷纷响应．某县有7个自然村，其中有4个自然村根据自身特点推出乡村旅游，被评为“旅游示范村”．现要从该县7个自然村里选出3个作宣传，则恰有2个村是“旅游示范村”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两个事件，已知，，，则等于（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 5. 已知是首项为6的等差数列．当且仅当 时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若 的展开式中的系数为80，则正整数 的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 微信是人们的一个重要社交平台，它有一个功能是可以发朋友圈.微信发朋友圈时，可以最多同时分享9张照片，这9张照片排成三行三列，如九宫格的形式.某人参加了2021年中国共产党建党100周年的一个庆祝活动，拍摄了一些照片，准备将其中的9张不同照片分享给他的朋友，这9张照片中，有3张是不同三人的演讲，有3张是不同演员的双人朗诵，有3张是不同单位的合唱，那么该人在分享照片的时候，每行每列都是不同类别照片的排法有（ ）种. A. 2592 B. 1296 C. 648 D. 108 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知，则下列说法正确的为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为7，中位数为6 B. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等 C. 若随机变量满足则 D. 一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 三、填空题（共15分） 12. 若 为正整数，则不等式 的解集是_____ 13. 展开式中的系数为____________．（用数字作答） 14. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，（为左焦点），与在第三象限交于点，直线交轴于点且 平分，则的离心率为_________． 四、解答题（共77分） 15. 用数字 组成没有重复数字的数（结果用数字作答）． （1）求可组成多少个四位数； （2）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数． 16. 已知数列的前项和为． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式： （2）若对任意恒成立．求实数的取值范围． 17. 设函数 ． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 18. 盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 19. 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. （1）物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； （2）物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 2025-2026学年第二学期高二年级期中考试试题 数学 （满分150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（共40分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（共18分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（共77分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【17题答案】 【答案】（1）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增； （2）证明：由（1）知，当时，在 处取得最小值， 因此，对任意 ，有 . 只需证明 ，即 令，. 求导得，  ，故 在 上单调递增. 由 知，当时， ，当时， ， 所以 在单调递减，在单调递增. 所以 在处取得最小值 . 因此 ，即成立，等号当且 时取得. 【18题答案】 【答案】（1） （2）； （3） Y 2 3 4 5 P ； 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i），，证明： 第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）， 能提高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $