精品解析：湖南岳阳市期中联考2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题

岳阳市七年级2026年4月联考数学试题 （分值：120分 时量：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 计算的结果是（　） A. 1.5 B. C. D. 3. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（） A. 平方根等于本身的数是0和1 B. 无理数是无限不循环小数 C. 是的算术平方根 D. 无理数与有理数的积一定是无理数 8. 若不等式无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （ ） A. B. C. 7 D. 填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若是完全平方式，则m的值等于_______． 12. 的立方根为________． 13. 已知，，则________． 14. 已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝__________． 15. 已知的整数部分，的小数部分，则的值为___________． 16. 观察下列等式规律： … 请用你找到的规律计算： _______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算 （1） （2） 18. 实数计算和解不等式组 （1） （2） 19. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 20. 已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 21. 已知． （1）求的平方根； （2）求的值． 22. 在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． （1）甲型、乙型单价各是多少万元？ （2）若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ （3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如，由图 1可以得到完全平方公式： 这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1） 如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式： ； （2） 利用（1） 中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知 ，求 的值． ②若m、n满足如下条件： ，，求m的值． 【应用迁移】如图3，中，，点O为底边上一点，（，垂足分别为M，N，H），连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 24. 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为所以10是“理想数”． （1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成（，是整数）的形式； （2）探究问题：已知，则______ （3）融会贯通：已知（是整数，是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的值，并说明理由； （4）举一反三：已知实数，满足，求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳市七年级2026年4月联考数学试题 （分值：120分 时量：120分钟） 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数的分类、无理数，根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可求解． 【详解】解：， 在所给数中，，，，（两个1之间依次多一个0）是无理数，共4个， 故选：C． 2. 计算的结果是（　） A. 1.5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ． 3. 设，，则M与N的关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、整式的加减．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．由于，，可以通过比较M与N的差得出结果． 【详解】解：∵，， ， ∴． 故选：A． 4. 不等式的解集是，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等式方向改变， ∴， 解得． 5. 若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式组无解说明两个不等式没有公共解集，据此推导参数a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得． 6. 设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又∵c为最长边 ， 故选：C． 7. 下列说法正确的是（） A. 平方根等于本身的数是0和1 B. 无理数是无限不循环小数 C. 是的算术平方根 D. 无理数与有理数的积一定是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根、无理数、算术平方根，实数的乘法，逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A．的平方根是，只有的平方根等于本身，该项错误． 对于选项B．根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数，该选项表述符合无理数定义，该项正确． 对于选项C．的算术平方根是，，该项错误． 对于选项D．当有理数取时，与任意无理数的乘积为，是有理数，该项错误． 8. 若不等式无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 9. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，由平方差公式得，进行前后约分运算，即可求解；能熟练利用平方差公式进行简便运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：B． 10. 式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子： 根据以上的信息及运关系，若则 （ ） A. B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义，同底数幂的乘法，设，，，则，，，再根据同底数幂的乘法及新定义得到，和的关系，求解即可．正确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 若是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 12. 的立方根为________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：利用立方根的定义计算即可得到结果. 详解：∵， ∴的立方根即为4的立方根. ∴的立方根为：. 点睛：本题考查了立方根的定义. 13. 已知，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】先给等式两边同时平方，得，再根据同底数幂除法运算法则，可得，再应用立方根运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂乘除法运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则进行计算． 14. 已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝__________． 【答案】6.5或7 【解析】 【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2a－6得出关于a的不等式组，解之即可求得a的取值范围，再根据2a－6为整数即可得出a的值． 【详解】解：解不等式x﹣a﹥0得， ∵最小整数解为2a－6， ∴，且2a－6为整数， 解得， ∴a＝6.5或7． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质． 15. 已知的整数部分，的小数部分，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 16. 观察下列等式规律： … 请用你找到的规律计算： _______． 【答案】 【解析】 【分析】先观察已知等式归纳出一般性规律，再将所求式子变形，利用得到的规律进行计算． 【详解】解：根据给出的等式可得规律． 令， ， 代入规律得 ， 等式两边同除以3，得 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，熟练掌握整式运算法则，幂的运算法则和乘法公式是解题的关键． （1）先运用积的乘方与幂的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先运用平方差与完全平方差、多项式乘以多项式法则计算，然后去括号，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 实数计算和解不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，立方根，绝对值，乘方，还考查了解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用算术平方根，立方根，绝对值，乘方化简，再进行加减即可； （2）利用解一元一次不等式组的方法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解为． 19. 实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【答案】 【解析】 【分析】由数轴，得到，则，再计算绝对值，算术平方根，立方根，最后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ， ∴， ∴ ． 20. 已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 21. 已知． （1）求的平方根； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，据此求解即可． （2）把x和y的值代入，然后把每个式子化成两个分数的差的形式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：∵，有意义， ∴，即， 解得， ∴， 则， ∴的平方根为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 22. 在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． （1）甲型、乙型单价各是多少万元？ （2）若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ （3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲型单价是15万元，乙型单价是10万元 （2）共有2种采购方案 （3）采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【解析】 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【小问1详解】 解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． 【小问3详解】 解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 23. 【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． 例如，由图 1可以得到完全平方公式： 这样的方法称为“面积法”． 【解决问题】 （1） 如图2，利用上述“面积法”，可以得到数学等式： ； （2） 利用（1） 中所得到的等式，解决下面的问题： ①已知 ，求 的值． ②若m、n满足如下条件： ，，求m的值． 【应用迁移】如图3，中，，点O为底边上一点，（，垂足分别为M，N，H），连接．若，利用上述“面积法”，求的长． 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式运算在几何图形中的应用，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）利用“面积法”求解即可； （2）①将，代入（1）中等式，求解即可； ②设，得到，根据，列出方程进行求解即可； （3）根据，易得，即可获得答案． 【详解】解：（1）利用“面积法”，可以得到数学等式：． 故答案为：； （2）①由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴； ②设， ∴， ∵ ， 又∵ ∴ ∵， ∴当时，，不符合；当时，，符合， ∴； （3）∵，，， 又∵， ∴， ∴． 24. 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为所以10是“理想数”． （1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成（，是整数）的形式； （2）探究问题：已知，则______ （3）融会贯通：已知（是整数，是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的值，并说明理由； （4）举一反三：已知实数，满足，求最值． 【答案】（1） （2） （3） ，理由如下： ， ∵S为“理想数”， ∴， ∴； （4）的最小值为，无最大值 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用，熟练掌握以上知识点，理解理想数的定义是解此题的关键． （1）根据理想数的定义求解即可； （2）利用完全平方公式配方得出，利用非负数的性质求出，，代入代数式计算即可得解； （3）配方得出，再结合理想数的定义求解即可； （4）表示出，结合非负数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，无最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $