精品解析：安徽滁州中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

滁州中学2024级高二下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的姓名､座位号. 2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 一､选择题（本题共有8小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 的正因数的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 32 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. C. D. 7. 一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，部分选对得部分分，有错选得零分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中共有9项 B. 第3项为 C. 各项系数和为 D. 二项式系数的最大值为126 10. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 三､填空题（每天5分，共15分） 12. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为：__________. 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 14. 甲､乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立.用表示甲学校的总得分，则__________. 四､解答题（本大题共计77分） 15. 现有甲､乙､丙､丁､戊5位优秀的大学生利用假期回母校，对高三（1）班､高三（2）班､高三（3）班的同学进行学法指导和介绍丰富多彩的大学生活，要求：每个班级至少有一位大学生进行宣讲，每位大学生必须且只能选择一个班级. （1）共有多少种不同的安排方案？ （2）若甲､乙不能对同一个班级宣讲，共有多少种不同的分配方案？ 16. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）若恒成立，求的值. 17. 某工厂去年12月试生产1100个智能机器人产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.4%，设从今年1月起，各月的产量以及不合格率分别构成数列，.（可能用到的参考数据：） （1）求数列，的通项公式. （2）设从今年1月起，各月的不合格品的数量构成数列，求的值. 18. 已知等比数列的首项，公比，在数列中每相邻两项之间都插入个数，使得它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. （1）求数列的通项公式. （2）是不是数列中的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. （3）记，证明：. 19. 已知函数 （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数的两个零点分别为. ①证明： ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滁州中学2024级高二下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的姓名､座位号. 2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 一､选择题（本题共有8小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 若函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数在处可导， 所以. . 2. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据求导公式以及复合函数求导规则即可判断出C正确. 【详解】易知，可得A错误； 而，可得B错误； 显然，可得C正确； 易知，可得D错误. 故选：C 3. 若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 4. 的正因数的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 32 【答案】D 【解析】 【详解】,故1080的正因数可以表示为 其中， 因此正因数的个数为 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法结合裂项相消法求解. 【详解】因为，，，即， 所以时， ， ， ， ， ， 又， 上述个等式相加得： . 也适合上式， 所以． 6. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式定理求得系数． 【详解】的展开式中项为， 所以所求系数为． 7. 一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由超几何分布的期望公式计算． 【详解】由已知服从超几何分布，所以． 8. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，函数在区间上单调递增，等价于在区间上恒成立，然后构造新函数，求导判断单调性，求出最小值，即可得出结果. 【详解】对函数求导得， 函数在区间上单调递增， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，求导得， 所以在区间上单调递增， 所以，所以要使得在区间上恒成立， 则，所以的最大值为. 二､多选题（每题6分，部分选对得部分分，有错选得零分） 9. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式中共有9项 B. 第3项为 C. 各项系数和为 D. 二项式系数的最大值为126 【答案】BCD 【解析】 【详解】的展开式中共有10项，所以A错误； 第3项为，所以B正确； 令，可得的展开式中各项系数和为，所以C正确； 根据二项式系数的性质可得，的展开式中二项式系数的最大值为，所以D正确. 10. 已知随机变量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式和方差公式求得，再计算出期望与方差，并利用变量关系求得变量的期望与方差. 【详解】由题意， 又，所以，解得， 所以，， 又，所以， 从而ABC正确，D错误. 11. 在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（ ） A. B. C. D. 若，则与互斥 【答案】ACD 【解析】 【详解】有限样本空间中，，且与相互独立， 所以，所以A正确； ，所以B错误； 因为与互斥，所以，， 所以，所以C正确； 若，则， 所以，所以，所以与互斥，所以D正确. 三､填空题（每天5分，共15分） 12. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为：__________. 【答案】120 【解析】 【详解】由题意可知，由二项式系数的性质可得， 故这两项的二项式系数为 13. 曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】，又，故， 故切线方程为，即. 14. 甲､乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立.用表示甲学校的总得分，则__________. 【答案】17 【解析】 【分析】确定的所有可能值，分别求出概率后，由期望公式计算期望. 【详解】由题意的可能值为， ， ， , , 所以. 四､解答题（本大题共计77分） 15. 现有甲､乙､丙､丁､戊5位优秀的大学生利用假期回母校，对高三（1）班､高三（2）班､高三（3）班的同学进行学法指导和介绍丰富多彩的大学生活，要求：每个班级至少有一位大学生进行宣讲，每位大学生必须且只能选择一个班级. （1）共有多少种不同的安排方案？ （2）若甲､乙不能对同一个班级宣讲，共有多少种不同的分配方案？ 【答案】（1）150 （2）114 【解析】 【分析】（1）按照三个班人数分成两类：一类是，另一类是； （2）求出甲､乙两人在同一班级的方法数，用间接法求解． 【小问1详解】 安排方案有2种 ①型）（种） ②型）（种） 共有（种） 【小问2详解】 若甲乙进入同一个班级，有两种情况： ①甲乙与另外一人进入同一个班级：种 ②甲乙两人进入同一个班级，且该班级没其他人：种 所以甲､乙不能对同一个班级宣讲，共有种. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性. （2）若恒成立，求的值. 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）． 【解析】 【分析】（1）先求导得 ，再按 与 分类讨论导数符号，从而得到函数单调性； （2）由（1）的函数单调性可知，当 时，不合题意；当 时，可将不等式恒成立问题转化为 ．构造函数 ，证明其最大值为 ，且只有 时取到，最后验证 符合题意． 【小问1详解】 函数的定义域为 ，求导得 ， 当 时，恒有 ，即 ，故 在 上单调递增． 当 时，由 ，解得 ． 当 时， ；当 时， ． 故 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． 【小问2详解】 由题意，对任意 ，都有 ． 若 ，由第（1）知 在 上单调递增，因 ，则当 时，， 这与 恒成立矛盾．即 不合题意，故有 ． 当 时，由第（1）可知 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在 处取得最小值． 则 对任意 恒成立，等价于 ． 即 ， 令 ，其中 ．则 ． 当 时，，所以 ，则 在 上单调递增； 当 时，，所以 ，故 在 上单调递减． 因此 在 处取得最大值为．即对任意 ，都有 ，且等号仅在 时成立． 又题意要求对任意 ，恒有 ， 综上分析，必有 ，即 ． 下面验证 符合题意．当 时，，且 ． 由第（1）可知，此时 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 的最小值为 ．因此对任意 ，都有 ． 故． 17. 某工厂去年12月试生产1100个智能机器人产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.4%，设从今年1月起，各月的产量以及不合格率分别构成数列，.（可能用到的参考数据：） （1）求数列，的通项公式. （2）设从今年1月起，各月的不合格品的数量构成数列，求的值. 【答案】（1）， （2）1776 【解析】 【分析】（1）确定数列是等比数列可得通项公式，先求出合格率构成的数列（是等差数列），然后可得不合格率数列通项公式； （2）用错位相减法求和． 【小问1详解】 由题意是等比数列，首项为，公比为； 合格率构成以为首项，为公差的等差数列， 所以， ； 【小问2详解】 由（1）可得：， ①， ②， ①—②得， ， ， ． 18. 已知等比数列的首项，公比，在数列中每相邻两项之间都插入个数，使得它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. （1）求数列的通项公式. （2）是不是数列中的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. （3）记，证明：. 【答案】（1） （2）不是，理由如下： 设是数列中的第n项，则 ， 该方程无整数解，故不是数列中的项. （3） 由（1）知， . 【解析】 【分析】（1）求出公比可得通项公式； （2）设是数列中的第n项，利用的通项公式解方程，有正整数解即是，没有就不是； （3）在中从第二项开始放缩：，然后求和可证． 【小问1详解】 设数列的公比为，在之间插入两个数后成为新数列的第4项， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数 （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数的两个零点分别为. ①证明： ②证明： 【答案】（1） （2） ①由（1）可知：设， 要证明，只要证明， 又因为均在函数的单调递增区间上， 故只需证明：， 又因为， 故只需证明：， 记， ， 所以在上单调递减，， 所以； ②过O，A两点的直线方程为， 设直线与直线的交点的横坐标为， 令， 则时，， 所以， 故有， 又因为单调递减，， 类似的过的直线方程为， 设直线AB与直线的交点的横坐标为， 令， 则， 在上单调递增， ， 由根的存在性定理知，， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以当时有，即， ，又单调递增，， 由得． 【解析】 【分析】（1）由得，令，利用导数确定的性质，然后由直线与的图象有两个交点得参数范围； （2）①由（1）知，问题转化为只要证，只要证，只要证，令，然后由导数证明；②的图象与轴的交点是，极小值点，设直线与直线的交点的横坐标为，构造函数，证明，过的直线方程为，设直线AB与直线的交点的横坐标为，令，，用导数证明，从而证明，然后由证得结论成立. 【小问1详解】 令， 设， 因为在上单调递增，由得， 所以在单调递减，单调递增. 当时，， 当时，时， 作出的图象和直线，其中的图象与轴的交点是，极小值点， 如图我们有：当时，有两个零点. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $