精品解析：河南商丘市睢县高级中学等校2025-2026学年高一下学期4月学业评估数学试题

高一4月学业评估 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节~第八章第4节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量的坐标为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 6. 在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） 等级计算方法 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知是半径为2的圆上的三个点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 平行六面体的各个面都是平行四边形 B. 圆柱的侧面展开图是一个正方形 C. 将棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 将直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 10. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则的值为__________. 13. 已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________. 14. 在中，点分别是的三等分点，且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，关77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）若，求和； （2）若的面积为3，求的周长. 17. 在正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且. （1）若正方体的所有顶点均在球的球面上，球的表面积为，求球的体积及正方体的体积； （2）若平面，平面，平面，证明：三点共线. 18. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）已知点是边上的一点，且，求的长. 19. 在中，是的重心，且. （1）求的值； （2）若过点的直线与线段交于点，与线段交于点，且，求的值； （3）若，点是线段上一点（不同于端点），过点分别向作垂线，垂足分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一4月学业评估 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节~第八章第4节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设为坐标原点， ， 所以点的坐标为. 2. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数在复平面内对应点的坐标为，对应象限即可作出判断. 【详解】解：由， 则在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3. 设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点. 故选：B. 4. 如图，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，原平面图形为直角梯形，， 周长为. 5. 已知向量，且向量在向量上的投影向量的坐标为，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为向量在向量上的投影向量的坐标为， 不妨设，已知向量， 所以， 即 ， 解得. 6. 在平面四边形中，与不共线，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求出即可. 【详解】解：如图， 由题意知①，②，又， 则得， 所以，又与不共线， 所以，所以. 7. 如图，两座山峰的高度米，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（三点在同一水平面上）测得点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） 等级计算方法 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 在中，， 在中， 米. 8. 已知是半径为2的圆上的三个点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法以及投影向量表示出，再分析求解即可. 【详解】 已知圆半径，弦，设圆心为，设线段的中点为， 则，进而. 因为，则. . ， 其中是向量在向量上的投影. 对于圆上任意点，投影到直线得到， 到的平行于方向的最大偏移量等于圆的半径， 因此到的有向距离，即，因此. 则. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 平行六面体的各个面都是平行四边形 B. 圆柱的侧面展开图是一个正方形 C. 将棱台的侧棱延长后必交于一点 D. 将直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 【答案】BD 【解析】 【分析】根据立体几何图像的特征逐项判断即可． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确； 圆柱的侧面展开图是一个矩形，不一定是正方形，B错误； 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确； 将直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，D错误. 10. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的运算、共轭复数概念以及复数的模求解即可. 【详解】令， 则 ，所以，A正确； 对于B，取，显然满足，但，B错误； 因为，所以，C正确； 取，满足，但是，D错误. 11. 在中，内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则符合条件的有两个 B. 若，则是直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可判断A；由题可知，进而得到即可判断B；根据条件可得即可判断C；由正弦定理化简可得，结合函数的单调性可得即可判断D． 【详解】解：，则符合条件的有两个，故A正确； 由于，所以， 故，整理得，所以为等边三角形，B错误； 因为，所以，即， 又，所以， 又，所以， 所以是锐角三角形，C正确； 由正弦定理及，得， 所以，即， 又， ， 又在单调递减，且， 在单调递增， 则函数在上单调递增， 又，，则是等腰三角形，D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数是纯虚数，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是纯虚数，所以且，解得. 13. 已知甲､乙两个圆台的上底面的半径均为，下底面的半径均为，母线长分别为和，记甲､乙两个圆台的体积分别为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆台的性质，先分别求出两圆台的高，再利用圆台体积公式计算即可． 【详解】解：由题可得两个圆台的高分别为， ， 所以. 14. 在中，点分别是的三等分点，且，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用向量基本定理和向量数量积运算法则进行求解 【详解】记的中点为，则为的中点， ， ， 所以， 同理可得， 所以，解得. 四､解答题：本题共5小题，关77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线求出，再根据向量的模求解即可. （2）根据向量垂直求出，再利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 若，则 ，解得， 所以，则. 【小问2详解】 因为，则， 解得，设向量与的夹角为， 则， 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 在中，内角的对边分别为，且. （1）若，求和； （2）若的面积为3，求的周长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出，再由余弦定理求； （2）根据三角形面积可得，再利用余弦定理求即可． 【小问1详解】 解：因为 ，所以， 由正弦定理得，即，解得， 由余弦定理得，即， 解得（舍去）； 【小问2详解】 由题意，的面积 ，解得， 由余弦定理得，即 ， 所以 ，解得， 所以的周长为． 17. 在正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且. （1）若正方体的所有顶点均在球的球面上，球的表面积为，求球的体积及正方体的体积； （2）若平面，平面，平面，证明：三点共线. 【答案】（1）8 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据外接球表示出球的半径，再根据球的表面积列方程求出半径，再求出球的体积以及正方体体积. （2）根据平面的性质可得点在平面与平面的交线上，同理可得点也在两平面的交线上，即可得证； 【小问1详解】 设正方体的棱长为，则球的半径， 所以球的表面积，所以， 所以球的体积， 正方体的体积. 【小问2详解】 因为平面，所以平面，且， 又平面，所以平面， 同理，平面 平面，所以平面平面 ， 同理，平面 平面，所以， 即三点共线. 18. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； （3）已知点是边上的一点，且，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）用正弦定理将转化为，由已知结合正切函数的性质求出的范围，最后得到答案. （3）设，再利用向量表示出，化简求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为， 又为锐角三角形，则所以， 所以，所以 ，即的取值范围是. 【小问3详解】 设，则， 因为，所以，联立解得 因为， 所以， ， 所以. 19. 在中，是的重心，且. （1）求的值； （2）若过点的直线与线段交于点，与线段交于点，且，求的值； （3）若，点是线段上一点（不同于端点），过点分别向作垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用重心的向量性质以及向量的数量积求解即可. （2）先利用三角形重心的向量性质，再利用三点共线的向量性质建立等式求解. （3）根据向量运算以及向量的模求出，进而根据三角形面积求出，再利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为是的重心，所以，得， 两边平方可得，又， 所以， 即，所以. 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，又， 所以，解得， ，解得， ，解得， 所以的面积为， 又， 所以. 因为， 同理，， 所以，当且仅当时，取等号， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $