第26章二次函数练习卷2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 练习卷 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ）. A． B． C． D． 2．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是(　　) A． B． C． D． 3．如果三点，和在抛物线 的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 5．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中： ①；②；③；④点在抛物线上时，关于x的方程的两根为，，则．其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（   ） A． B．顶点的坐标为 C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时， 8．如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（ ） A． B． C． D．1 二、填空题 9．已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 10．如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线与于B、C两点，那么线段BC的长是________． 11．将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________． 12．某商品进价为元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件，经市场调查反映，每涨价元，每星期要少卖出件，则在涨价的情况下，可获得最大利润______元． 13．已知函数y＝﹣x2+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____． 三、解答题 14．若函数是二次函数． (1)求的值． (2)当时，求的值． 15．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A、B（点A在点B左侧）． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求B点的坐标，并求出的面积． 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于O、A两点，其中点O为坐标原点． (1)求二次函数的解析式； (2)在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6，求点B的坐标． 18．某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求矩形框架的周长． 19．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且，抛物线的顶点为D，直线经过B，C两点，与对称轴交于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)点M是直线上方抛物线上的动点，连接，，得到，求出面积的最大值及此时点M的坐标； (3)直线交线段于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与相似，求k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第26章 二次函数 练习卷》参考答案 1．C 【分析】由于抛物线的顶点坐标为，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题． 2．D 【分析】根据a＜0，b＞0，c＜0可知抛物线开口方向向下，对称轴x=-0，与y轴交点在负半轴,以此即可判断. 【详解】∵在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0， ∴抛物线开口方向向下，对称轴x=-0，与y轴交点在负半轴, 故选D. 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数性质是解题的关键. 3．C 【分析】本题考查了二次函数的函数值计算与大小比较，代入自变量求值并比较数值大小是解题的关键． 解题思路：代入三点的横坐标到抛物线解析式，算出对应值，再比较y值大小即可． 【详解】解：当时，， 当时， 当时，， ，故． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．根据二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点坐标为，结合图象找出图象在轴上方时对应的的取值范围即可得答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线开口向下，， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，根据图象和对称轴判断①②，特殊点判断③，对称轴，以及二次函数图象与一元二次方程的关系，判断④即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于负半轴， ∴；故①正确； ∵对称轴为直线， ∴；故②正确； 由图象可知，当时，；故③错误； ∵点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点在抛物线上， ∴方程的两根为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ∵， ∴， ∴；故④错误； 故选B． 6．D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，抛物线的对称性，二次函数的对称轴公式，是解题的关键． 点和纵坐标相同，故关于抛物线的对称轴对称，先求对称轴以确定，再代入求． 【详解】解：∵抛物线，经过和，两点纵坐标相等， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线为， 代入，得， 或代入，，结果一致． 故选：． 7．D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数对称轴为直线， ，得，故选项A正确； 该函数图象过点， ，得， ， 该抛物线的顶点坐标为，故选项B正确； 二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，随着的增大而增大，故选项C正确； 二次函数对称轴为直线，过点， 该函数过点， 又抛物线的顶点坐标为， 当时，，故选项D不正确； 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9．3 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点横坐标，再计算两点距离即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴A、B两点的坐标为和， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 10．2 【分析】根据题意，将分别代入 ，，求得的正数解，即求得的坐标，进而即可求得的长． 【详解】解：，则解得，即 解得，即 故答案为： 【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键． 11． 【分析】此题主要考查了二次函数的平移，直接利用二次函数的平移规律进而得出答案． 【详解】解：将抛物线的图象，向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数的应用，依据题意，设涨价时，每星期售出商品的利润为元，根据总利润等于单件利润乘以数量可得函数关系式，再求二次函数的最值即可求解．掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设涨价时， ∴每星期售出商品的利润为： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时定价为：（元）， ∴每件商品定价为元时利润最大，最大利润为元． 故答案为：． 13．a≥1 【分析】结合函数y=-x2+2x+1的图象和性质，及已知中当-1≤x≤a时函数的最大值是2，可得实数a的取值范围． 【详解】解：函数 y=-（x-1）2+2的图象是开口向下，且以x=1为对称轴的抛物线， 当且仅当x=1时，函数取最大值2， ∵函数y=-x2+2x+1，当-1≤x≤a时，函数的最大值是2， ∴a≥1， 故答案为a≥1． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 14．(1)； (2)． 【分析】（）根据二次函数的定义解答即可求解； （）把代入（）中所得的函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，求函数值，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，且， 解得； （2）解：把代入得，， ∴当时，． 15．(1) (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为． 16．(1)，顶点坐标 (2)，6 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数与图形面积，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，求解即可． （2）先求出B点的坐标，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得， 解得：， ∴， 顶点坐标是； （2）解：令，则， 解得：或， ∴， ∴． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）把原点坐标代入二次函数解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求求出点A坐标，进而得到的长，再根据三角形面积公式求出点B的纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于O，点O为坐标原点， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：在中，当时，解得或， ∴， ∴， ∵在第四象限内的抛物线上有一点B，使的面积等于6， ∴， ∴， 在中，当时， 解得或， ∴点B的坐标为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：点M为，顶点E为，然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵拱门的跨度，， ∴点M为，， ∵拱高，， ∴顶点E为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形框架的周长， 即矩形框架的周长为． 19．(1)抛物线的函数表达式为；直线的函数表达式为 (2)面积最大值为3， (3)的值为3或2 【分析】（1）先求出C点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）先求出点B与点E之间的水平距离，再设出M点的坐标，表示出，再利用面积得到关于m的二次函数， 函数的最大值即可； （3）先求出，得到一组对应角，再利用两个三角形相似分情况讨论，得到或，利用点的坐标得到对应线段的长度，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵抛物线经过点，，， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为， ∵直线经过B，C两点， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为． （2）∵抛物线对称轴为直线即， ∴E点横坐标为1， ∵， ∴， ∴点B与点E之间的水平距离为， ∵点M是直线上方抛物线上的动点， 所以设，， 连接和，过M点向x轴作垂线，与交于点N， ∴， ∴， ∵面积， 设E点和B点到的距离分别为和， ∴， 该抛物线的对称轴为，图象开口向下， ∵， ∴当时，； ∵， ∴当时，； 综上可得：面积最大值为3，． （3）将原抛物线的对称轴与x轴的交点记为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∵以点O，B，H为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵当时，， ∴， ∴，， ∵，   ∴，或， ∵直线交线段于点H， ∴令， 解得：， ∴，   过H点向x轴作垂线，垂足为R， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 经检验，或均分别为这两个分式方程的解，且符合题意， ∴的值为3或2． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的综合，涉及到了待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质、勾股定理、两点间距离公式、等角对等边和等边对等角等知识， 解题关键是理解题意，正确做出辅助线，本题综合性较强，且要求学生具备较高的运算能力． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $