第26章二次函数练习卷2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

第26章 二次函数 练习卷 一、单选题 1．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 3．对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图像的顶点坐标是 B．当时，有最小值为7 C．当时，随的增大而增大 D．图像的对称轴是直线 4．下列抛物线中与的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线经过和两点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 6．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（   ） A． B．顶点的坐标为 C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时， 7．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象上有两点和，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 9．坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是_____． 10．抛物线与y轴交点位于x轴下方，则______． 11．某广场有一喷水池，水从地面喷出，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中运行路线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最远水平距离是______米． 12．二次函数y＝－2(x－3)(x＋1)的图象与y轴的交点坐标是________． 13．已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是_____________． 三、解答题 14．已知二次函数的，的部分对应值如下表所示： 求这个二次函数的表达式． 15．已知关于的二次函数（是常数）． (1)求证：二次函数的图象与轴总有两个交点； (2)若该抛物线与轴的交点分别为，且，求的值． 16．已知二次函数y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）． （1）求二次函数的关系式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标． 17．某校将新建实验楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现将设计方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示，拱门的跨度，拱高，点M在x轴上，，．要在拱门中设置高为（）的矩形框架，点A、D在抛物线上，边在上，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)求矩形框架的周长． 18．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求，的值； (2)直线，且直线与抛物线只有一个交点． ①求直线的表达式； ②设直线与抛物线的交点为，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标． 19．如图1，已知抛物线经过点A（4，0）、B（，）． (1)直接写出抛物线的解析式和顶点G的坐标； (2)如图2，点C、D是线段OA上的两点（不含端点），过C、D分别作x轴的垂线，交抛物线于点E、F．设P是第三象限内抛物线上任意一点，连接PE和PF，分别交y轴于点M、N．求证：MCND； (3)如图3，直线y＝kx（k＞0）交抛物线于另一点于Q．当∠OQG＝90°时，求k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值． 【详解】解：当时，， ∴ 交点坐标为． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，根据得出顶点坐标，对称轴，增减性，以及最值，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴函数图像的顶点坐标是， 故A选项不符合题意； ∵， ∴开口方向向下，当时，有最大值为7， 故B选项不符合题意； ∵， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， 故D选项符合题意； 当时，随的增大而减小， 故C选项不符合题意； 故选：D． 4．A 【详解】本题考查了二次函数 (a，b，c为常数，)的性质，a决定抛物线的形状和开口方向，a和b决定对称轴位置，c决定抛物线与轴的交点．根据二次函数的性质判断即可． 【分析】解：∵抛物线， ∴，开口向上， ∴与其开口方向相同、形状相同，位置不同． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，抛物线的对称性，二次函数的对称轴公式，是解题的关键． 点和纵坐标相同，故关于抛物线的对称轴对称，先求对称轴以确定，再代入求． 【详解】解：∵抛物线，经过和，两点纵坐标相等， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线为， 代入，得， 或代入，，结果一致． 故选：． 6．D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数对称轴为直线， ，得，故选项A正确； 该函数图象过点， ，得， ， 该抛物线的顶点坐标为，故选项B正确； 二次函数对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，随着的增大而增大，故选项C正确； 二次函数对称轴为直线，过点， 该函数过点， 又抛物线的顶点坐标为， 当时，，故选项D不正确； 故选：D． 7．B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．C 【分析】此题考查二次函数的性质，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由于点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到a，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可 【详解】∵点和在函数的图象上，   ∴，即，   同理，   ∴a, b是方程的两个根，   由根与系数关系得：，   由，得，   ∴，   代入，   ∴原式   故选C 9．9 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及抛物线与轴交点的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．先根据抛物线的定义确定的取值范围，再根据抛物线与轴交点的位置进一步确定的值． 【详解】解：∵函数是抛物线， ∴且． 由，得，即或； 由，得． 当时，， ∵抛物线与轴交点位于轴下方， ∴， ∴． 故答案为：． 11．4 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．水喷出的最远水平距离即为抛物线与x轴交点的横坐标差的绝对值，据此解答即可． 【详解】解：令， 解得：或， 所以抛物线与x轴交于点和， ∴水喷出的最远水平距离是米． 故答案为4． 12．(0，6) 【详解】试题分析：当x=0时，y=﹣2（x﹣3）（x+1）=6， 所以二次函数y=﹣2（x﹣3）（x+1）的图象与y轴的交点坐标为（0，6）． 故答案为（0，6）． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 13．或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；求出抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为；再求出当函数值分别为2与3时的自变量取值，结合二次函数的图象与性质即可求得自变量的取值范围． 【详解】解：，则抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当，且时，；当，且时，； 综上，当，则x的取值范围是或； 故答案为：或． 14． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，能够通过表格找到对称点是解题的关键． 根据表格观察出来和为对称点，再通过表格确认顶点坐标，用顶点坐标求二次函数的表达式即可． 【详解】解：∵由表可知和为对称点， ∴对称轴为直线， ∵由表可知，，对应的是， ∴该函数的顶点为，且， ∴这个二次函数的表达式为． 15．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，熟练掌握以上知识点并可以灵活运用是解答本题的关键． （1）令，即，根据根的判别式恒大于0即可求解； （2）由题意得：和是方程的两个根，即，，再根据，得到，变形得到，然后分别代入即可求解． 【详解】（1）证明：令，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有2个不相等的根， 即二次函数的图象与轴总有两个交点； （2）解：由题意得：和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 16．（1）y=x2﹣3x；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）． 【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a、b的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标． 【详解】（1）∵y=ax2+bx的图象过点（6，0），（﹣2，8）． ∴ ， 解得： ， ∴二次函数解析式为y=x2﹣3x； （2）∵y=x2﹣3x=（x﹣3）2﹣， ∴抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键. 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得：点M为，顶点E为，然后利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵拱门的跨度，， ∴点M为，， ∵拱高，， ∴顶点E为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入中得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴矩形框架的周长， 即矩形框架的周长为． 18．(1)， (2); 存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）①先求出直线的解析式为，根据直线，设的表达式为，再根据与抛物线只有一个交点求解即可；②先求出点的坐标，设，然后根据四边形的对角线分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式，得： ， 解得：，； （2）解：①由（1）可知，抛物线解析式为：， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴， ∵直线， ∴设的表达式为：， 联立直线与抛物线，得： ， 整理，得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为：； ②存在，点的坐标为或或， 理由如下： 设直线与抛物线的交点为， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∴不在直线上， ∴一定存在， 设，然后分三种情况讨论： 第一种情况：当四边形为平行四边形时，由平行四边形的性质可知，和互相平分， 又，，， ∴，， ∴，， ∴； 第二种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 第三种情况：当四边形为平行四边形时，和互相平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，解二元一次方程组，二次函数与平行四边形的结合，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质、平行四边形的性质及中点坐标公式是解题的关键． 19．(1)y＝﹣x2+4x，顶点G的坐标为（2，4） (2)见解析 (3)k＝1 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）设，及PE直线的解析式y=kx+m，联立求解.得出，从而tan∠OCM=t，同理也可得到tan∠ODN=-t，由∠OCM=∠ODN，证得MCND．； （3）联立y=kx和抛物线解析式，可计算Q坐标，根据O，G，Q坐标可用k表示OG，GQ，OQ的长度，根据勾股定理可解得k. 【详解】（1）解：将代入， 解得， ∴抛物线的解析式为， 顶点G的坐标为：（2，4）． （2）设，则E， ∵点P是第三象限内抛物线上一点， 故可设，其中t＜0， 设PE：y＝kx+m，则， 解得：， ∴PE：y＝（4﹣t﹣c）x+ct， 令x＝0，得y＝ct，即M（0，ct）， ∴OC＝c，OM＝﹣ct， 在Rt△OCM中， tan∠OCM＝＝﹣t， 同理：tan∠ODN＝﹣t， ， ∴MCND． （3）解方程组， 得：，， ∴Q（4﹣k，4k﹣k2）， 根据O，G，Q坐标可求， ， ， ∵∠OQG＝90°， ∴， 即 ∴ 令k﹣2＝t，则， 展开化简得， 进行因式分解得， ∴t＝0或者t＝﹣1或t＝2， ∴k＝2或者k＝1或k＝4， 当k＝2时，Q（2，4）与G重合，不符题意，舍去， 当k＝1时，Q（3，3），符合题意， 当k＝4时，Q（0，0）与原点重合，不符题意，舍去， ∴k＝1． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式及顶点坐标，两直线平行的判定，求正切，一次函数表达式k的求法以及勾股定理求k的值等，在第三小问中，用代换法解高次方程是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $