26.2.2二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质同步练习2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 一、单选题 1.将二次函数y=x2-4x+3化为y=ax-m+k的形式，下列结果正确的是(). A.y=(x+22+1 B.y=(x-22+1 C.y=(x+2)2-1 D.y=(x-22-1 2.己知点A(2,y),B(02),C(-2,:)在二次函数y=x2+2V2x+c的图象上，则 y2:y的大小关系是() A.>5>⅓B.片>>2 C.>> D.>乃>2 3.如图是关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列结论正确的是() A.bc>0 B.ac>0 C.ab>0 D.abc>0 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=ax2-a的图象可能是() 不 5.抛物线y=ax2+2ax-4(a≠0)与x轴的一个交点坐标为-3,0)，则它与x轴的另外一个 交点的坐标为() A.(1,0 B.（-1,0 C.2,0 D.(0,1) 6.如图是函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，已知其对称轴为直线x=2,则当() 时，函数值大于0 答案第1页，共2页 2 6 A.x<-2或x>6B.x>6 C.x<-2 D.-2<x<6 7.已知二次函数y=x2+2x-4,当-2≤x<2时，y的取值范围是() A.-4≤y<4B.-4≤y≤4 C.-5≤y<4 D.-5≤y≤4 8.将抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+3)2-2,下列叙述正确的是（) A.向右平移3个单位，向上平移2个单位B.向左平移3个单位，向下平移2个单 位 C.向右平移3个单位，向下平移2个单位D.向左平移3个单位，向上平移2个单 位 9.下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点() Ay=x-29+155 B.y=4x+23+15 C.y=-4x-23-15 D广*2r+15 10.如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是() 6 -2f10 1234元 A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥3 D.x≤-1或x≥3 二、填空题 11.抛物线y=x2-2x+c与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于点A,B,则线段AB长是」 12.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A-2,4),B(1,1,则关 答案第1页，共2页 于x的方程ar2-br-c=0的解为」 YA 0 13.如图，抛物线片与直线2相交于点A和点B,点A,B的横坐标分别为-2和4，则当 片>2时，x的取值范围为一 B/ y 14.己知(-1，y),(2,y2)在二次函数y=x2-2x+1的图象上，比较片_ .(填 >、<或=)》 15.把抛物线y=x2-2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后得到 的抛物线的解析式是 16.在平面直角坐标系xOy中，M(x,y),N(x,y2是抛物线y=axD+bx+ca>0)上任意 两点.设抛物线的对称轴为x=t. (1)若对于x=1,x2=2,有y=y2,则t=: (2)若对于0<x<1,1<2<2,都有y<y2,则t的取值范围为 三、解答题 17.已知二次函数y=-x2+2x+2. ()请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； x y=-x2+2x+2 答案第1页，共2页 (2)根据表格，画出这个二次函数的图象； 4 3 -3-210 23456 -3 (3)根据表格图象可知，当-1<x<2时，y的取值范围是 18.已知二次函数y=ax2-2ax+ba≠0)的图象经过点(-2,0). (I)求Q和b的关系式： (2)当-3≤x≤2时，函数y有最小值-3，求a的值： (3)若a=-1时，将函数图象向上平移mm>0)个单位长度，图象与x轴相交于点A,B(点A 在y轴的左侧.当40-2时，求m的值 BO 3 答案第1页，共2页 19.函数y=-x2+2x+3的图象如图所示，结合图象回答下列问题： 10123 (1)方程-x2+2x+3=0的两个根为_； (2)当y>0时，则x的取值范围为_；当-1<x<2时，则变量y的取值范围为_； (3)若方程-x2+2x+3=k有实数根，则k的取值范围是_· 20.对于抛物线y=x2-4x+3. (1)将抛物线的解析式化为顶点式： (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线： 答案第1页，共2页 y (3)结合图象，当x2-4x+3<3时，x的取值范围 答案第1页，共2页 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 一、单选题 1．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．如图是关于x的二次函数的图象，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则它与x轴的另外一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．如图是函数的部分图象，已知其对称轴为直线，则当（　　）时，函数值大于0． A．或 B． C． D． 7．已知二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．将抛物线平移得到抛物线，下列叙述正确的是（    ） A．向右平移3个单位，向上平移2个单位 B．向左平移3个单位，向下平移2个单位 C．向右平移3个单位，向下平移2个单位 D．向左平移3个单位，向上平移2个单位 9．下列哪一个函数，其图象与轴有两个交点（   ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题 11．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    13．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 14．已知在二次函数的图象上，比较 ．（填或） 15．把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是 ． 16．在平面直角坐标系中，是抛物线 上任意两点．设抛物线的对称轴为． （1）若对于，有，则 ； （2）若对于，都有，则t的取值范围为 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)请按二次函数画图步骤，填写表中空格处的数值； … … … … (2)根据表格，画出这个二次函数的图象； (3)根据表格图象可知，当时，的取值范围是____________． 18．已知二次函数的图象经过点． (1)求和的关系式； (2)当时，函数有最小值，求的值； (3)若时，将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（点在轴的左侧）．当时，求的值． 19．函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 20．对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象，当时，x的取值范围______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A A A C B D D 1．D 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 配方后转化即可． 【详解】， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 由二次函数图象与性质得到二次函数的开口向上，对称轴为，从而得到抛物线上的点到对称轴距离越近值越小，求出点，，到抛物线对称轴的距离，比较距离大小即可得到答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为， 由二次函数图象与性质可知，抛物线上的点到对称轴距离越近值越小， 点，，到对称轴的距离为、、， ， ， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 根据抛物线开口方向、对称轴和与轴的交点，确定、、的符号，从而判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的正半轴相交， ， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ∴，，，，故B、C、D错误，不符合题意；A正确，符合题意； 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，由二次函数的图象确定的符号，进而得出一次函数图象的分布位置即可求解，掌握一次函数与二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象符合题意； 、∵抛物线开口向上， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 、∵抛物线开口向下， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，且与轴的交点为，故选项图象不合题意； 故选：． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称性．先根据二次函数的解析式求出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与轴的另一交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一交点坐标为． 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵函数开口向上， ∴当或时，． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为，再分别求出当和时的的值，即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，当时，取得最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二次函数图象平移的规律．根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行分析即可． 【详解】解：∵原抛物线为，平移后为， ∴表示向左平移3个单位， 表示向下平移2个单位， ∴平移方式是向左平移3个单位，向下平移2个单位． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了二次函数与轴交点个数问题，能够选用合适的方法来判断是解题的关键． 由在轴上的点纵坐标为0，故看当时，所得方程是否有实数根即可判断． 【详解】解：A．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； B．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； C．当时，方程无实数根，所以该函数与轴没有交点，故该选项不符合题意； D．当时，方程有两个不相等的实数根，所以该函数与轴有两个交点，故该选项符合题意． 故选D． 10．D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 11．4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 12． 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键． 将点坐标代入可求对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握变换规律是解题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查二次函数的性质，运用并熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据二次函数的图象和性质，即可求解； （2）分两种情况讨论，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵，有， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为， ∴； 故答案为： （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 当点M，N均在对称轴的右侧时，， 此时满足，符合题意； 当点M在对称轴的左侧，N在对称轴的右侧时， ∵， ∴， ∵， ∴点M距离对称轴更近， ∵， ∴，即； 综上所述，t的取值范围为． 故答案为： 17．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用． （1）根据所给表格填出x的值，再求y的值； （2）描点，连线即可； （3）根据表格、图象，即可看出y的取值范围 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，；… … 0 1 2 3 … … 2 3 2 … （2）解：画图如下： （3）解：根据表格图象可知，当时，的取值范围是， 故答案为：． 18．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点代入函数解析式求解； （2）当时，当时，分两种情况求解； （3）根据平移的性质求出平移后函数解析式，令时解方程求解． 【详解】（1）解：将点代入函数解析式，得， ∴； （2）解：由（1） 当时，该函数图像开口向上， 则时，函数有最小值， ∴， ； 当时，该函数图像开口向下，且图像上的点距离对称轴越远，函数值越小， 则时，函数有最小值， ∴， ； 综上所述， 或 ； （3）解：当时， ， 将函数图象向上平移个单位长度，则 ， 令，则 ， 解得 ． ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴． 【点晴】本题考查了二次函数的综合运用，二次函数的图象和性质，图形的平移性质，函数的最小值，熟悉函数的性质和分类求解是解答关键． 19．(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数一般式转化为顶点式，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握描点法画函数图象的方法． （1）根据配方法，将抛物线的一般式化为顶点式即可； （2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）由函数图象得出当时，，从而得出不等式的解集． 【详解】（1）解：． （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： （3）解：根据函数图象可知：当时，， ∴不等式的解集为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $