精品解析：四川成都实验外国语学校高2025-2026学年高一下学期期中测试数学

成都实验外国语学校高2028届高一期中测试 数学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 3. 如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（ ）． A. 50 B. C. 100 D. 7. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（   ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当，时，仅有一解 C. 当时，为等边三角形 D. 当时，的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，，则______． 13. 如图，三个相同的正方形相接，则______． 14. 已知平面向量，满足，，且，若（），则的最大值是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求 16. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 在锐角三角形中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围； 18. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： （1）证明： （2）应用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都实验外国语学校高2028届高一期中测试 数学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 3. 如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，，且， 四边形为平行四边形， 则与向量相等的向量为． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由，得． 5. 已知，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】 解得. 6. 如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（ ）． A. 50 B. C. 100 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】因为，， 所以，又， 由正弦定理得，． 7. 已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（   ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理化简，再结合因式分解可判断三角形的形状. 【详解】因为，故， 整理得， 即，故， 故或，故三角形为等腰或直角三角形. 8. 已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】函数． 当时，令，则， 若在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则在有且仅有3个零点和3条对称轴， 则，解得. 故选：A． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确； 选项B，因为，所以共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确； 选项C，设（为实数），则， ，则无解，所以不共线， 所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确； 选项D，是零向量，与任何向量都共线， 所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于对称 C. 在区间上单调递增 D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，的最小正周期，故A正确; 对于B，对于函数，令，解得 当时， 的图象关于对称，故B正确; 对于C，对于函数，令，解得， 当时，，即的单调递增区间为 又区间是的子区间，在区间上单调递增，故C正确; 对于D，函数图象向右平移个单位，得到，故D错误; 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当，时，仅有一解 C. 当时，为等边三角形 D. 当时，的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用辅助角公式化简，求出三角函数值域；B根据判断；C利用余弦定理得出，根据取等条件即可求出；D设外接圆圆心为，求出的外接圆半径，利用求最值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，则， 故，故A错误； 因为，所以为锐角，则三角唯一确定，故仅有一解，故B正确； 由余弦定理得，等号成立时， 因为，故为等边三角形，故C正确； 当时，由正弦定理可知，的外接圆半径， 设外接圆圆心为，则， 则， 等号成立时三点共线且在直线同侧， 故的最大值为，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，，由正弦定理，得， 所以. 13. 如图，三个相同的正方形相接，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，，再利用两角和的正切公式求出，即可得解. 【详解】由图可得，， 所以 而，均为锐角，即， 所以． 故答案： 14. 已知平面向量，满足，，且，若（），则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，设且，根据，得到，再设，列出关系式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，，可得， 又因为，所以， 可设，可得， 设向量，因为，即， 即向量的终点在以为圆心，半径为的圆上， 可设，其中， 又因为，则， 解得， 所以， 当时，即时，可得，此时取得最大值，最大值为. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义求解； （2）根据数量积的运算法则求解，进而得到. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数的二倍角公式和和差倍角的正弦公式化简函数的解析式，从而得到其最小正周期. （2）根据的取值范围和正弦函数的性质可求得函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 ∵，. 则当时，即时，取得最小值； 当时，即时，取得最大值. 17. 在锐角三角形中，分别是角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式边化角，结合三角形内角和性质与三角恒等变换求出，结合锐角三角形条件得到角的大小； （2）由正弦定理将用角表示，把整理为关于的三角函数，结合锐角三角形的角的限制得到的取值区间，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理，可化为， 由和角公式，左边， 因此等式化为锐角三角形中，所以​， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，因此，， 由​得， 因为是锐角三角形，所以，解得， ， 因为，所以，得， 因此，即的取值范围是. 18. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： （1）证明： （2）应用上面的公式解决下列问题： （i）已知，求的值； （ii）若，求的最大值. 【答案】（1） 根据余弦和角、差角公式 ， ， 将两式相加得， 整理得. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开等式右侧，合并化简后即可推导出等式左侧，完成证明； （2）对（i）将已知条件的乘积项套用给出的积化和差公式化简，即可得到所求代数式的值；对（ii）先利用角度和为π的条件替换，代入原式后套用积化和差公式化简原式，再结合三角函数的取值范围求出最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）对 套用（1）中公式： 令， 则， 由题知， 故，即， 即 ， 化简得 ，即： ， （ii）由，得，故 则 所以 因为 ，当且仅当时取最大值1， 因此： ， 上式是关于的开口向下的二次函数，对称轴为， 代入得最大值，此时满足， 故的最大值为. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求角A的大小； （2）当时， （ⅰ）设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点G，求的最大值； （ⅱ）求值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出，再由角的范围得出角即可； （2）（ⅰ）运用余弦定理得出，再应用向量基本定理结合为重心得出，最后应用数量积公式及运算律结合基本不等式计算求解；（ⅱ）应用数量积公式计算结合正弦定理化简，再应用三角恒等变换化简求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，， 即， 整理得. 因为，所以， 所以，即，化简. 又因为，所以，即得. 【小问2详解】 由余弦定理得，且，即得，即， 在中，，所以， ， 所以 ， 因为，所以，解得，当且仅当时取等号. 所以，所以当且仅当时取最大值.        （ⅱ）由正弦定理，得， 又因为，所以， 所以 ， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $