湖南株洲市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

株洲市四中高二期中考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项数列是公比不为的等比数列则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下 零件数（个） 2 3 4 5 加工时间（分钟） 26 49 54 根据上表可得回归方程，则实数的值为 A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5 5. ，则（ ） A. 16 B. 65 C. 80 D. 81 6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是个圆．在平面直角坐标系中，已知，，若直线上存在点与点，的距离之比为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（ ） A. 只有1个零点 B. 有2个零点 C. ， D. ， 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份以及每个月获得的利润（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ） 月份 1 2 3 4 5 利润 5 8 10 12 15 A. B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元 C. 可以估计10月份的利润为26.8万元 D. 5月份利润的残差为0.4万元 10. 已知抛物线：（）的焦点也是椭圆的一个焦点，过点作的两条切线，斜率分别为，，对应的切点分别为，，则（ ） A. B. （） C. 点在直线上 D. 的中点到轴的距离为 11. 已知长方体中，，，分别是的中点，点在上运动（含端点），则（ ） A. 该长方体外接球的表面积为 B. 点到平面的距离的最大值为 C. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为 D. 过三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分（单位：分）服从正态分布，若，则得分高于50分的人数约为_________． 13. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 14. 函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是______，焦距是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 16. 在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. （1）求的分布列和数学期望； （2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 17. 如图，在三棱锥P-ABC中，为边长为2的正三角形，，． （1）证明：平面平面． （2）已知，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，其中. （1）若，求的单调区间； （2）若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 19. 已知点是圆：上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，为线段的中点. （1）求点的轨迹方程； （2）过点的直线与曲线交于两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若曲线与轴交于，两点，直线，分别与直线相交于，两点，求的值. 株洲市四中高二期中考试数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】7500 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 8 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）分布列为： 2 3 4 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：取的中点D，连接， 因为为边长为2的正三角形，所以， 因为 ，所以 ， 因为，，平面 ，所以 平面 ， 因为平面 ，所以 ， 因为，，， 平面， 所以 平面， 因为平面 ， 所以平面 平面； （2）． 【18题答案】 【答案】（1）的单调递减区间为 ，无单调递增区间； （2） （i）由（1）知，当时，令 ， 当 时，， 故 在上单调递减， 因为，所以， 又因为，所以在区间内存在零点， 即结合在 上单调递减， 可得在区间内有且仅有1个零点，且； 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又因为，所以根据单调性可知：， 又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减， 可知：在区间内有且仅有1个零点， 又因为时，结合在单调递增，所以， 即在区间函数没有零点， 所以在区间内有且仅有1个零点， （ii）由题意可知：，即， 消可得：， 当时，构造函数， 求导得，则在时单调递增， 即，所以， 即可知， 则， 两边取对数得：，即. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $