23.3.1 一次函数与一元一次方程、不等式 导学案 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第二十三章 一次函数 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 教学目标： 1.理解一次函数与一元一次方程、不等式之间的关联，能用函数观点解释方程和不等式的解； 2.掌握通过函数图象求解方程和不等式的方法，发展几何直观能力； 3.经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想. 教学重点：理解一次函数与方程、不等式的关系，能够从函数图象的角度解释方程的解和不等式的解集； 教学难点：理解一次函数与方程、不等式的关系，能够从函数图象的角度解释方程的解和不等式的解集. 活动一、复习导入 方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程（组）和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题. 先来研究一次函数与一元一次方程的关系. 问题1：一元一次方程和一元一次不等式的概念是什么？ 答：一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做一元一次方程. 一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式. 活动二、探究新知1： 探究1.一次函数与一元一次方程 思考： 如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？ 一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0. 由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5. 思考： （1） 对于2x-1=0 和y=2x-1，从形式上看，有什么相同和不同？ 答：相同点：两个式子都含有相同的一次式：2x-1，都包含未知数x，且x的次数都是 1. 不同点： （2） 从问题本质上看，2x-1=0和y=2x-1有什么关系？ 图象哪一个点的坐标表示函数值为0? 从图象上看：作出函数y=2x-1的图象. 即当x=0.5时，函数y=2x-1的值为0，这说明方程2x-1=0的解是x=0.5. 与x轴的交点（0.5，0）. 方程的解是函数与x轴的交点的横坐标. 小结： 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑,相当于已知直线y=ax+b,求它与x轴交点的横坐标. 一次函数与一元一次方程的关系： 探究2.一次函数与一元一次不等式 思考： 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？ 由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？ 如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞0.5； 当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5. 由此得出不等式2x-1＞0的解集是x＞0.5，2x-1＜0的解集是x＜0.5. 小结： 对于可化为 ax+b＞0或 ax+b＜0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线 y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 一次函数与一元一次不等式的关系： 活动三、典例分析 例1 当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8. 解:(1)当y=0时，2x+8＝0 解得x=-4； (2)当y=-8时，2x+8＝-8 解得x=-8. 【练一练1】直线y=2x+20与x轴交点坐标为（_-10_,__0_），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_-10_. 【练一练2】若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（_5_,__0_）. 【练一练3】已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( B ) 例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 【解】作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0). （1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2； 不等式0-3x+6<0的解集是图象位于x轴下方的x的取值范围，即x>2. （2）由图象可知，当x>1时，y<3. 注： 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤： ①将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0) 的形式； ②画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标； ③根据函数图象确定对应不等式的解集. 知识点一（一次函数与一元一次方程的关系） 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 知识点二（一次函数与一元一次不等式的关系） 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 活动四、随堂检测 随堂练习1 已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是(　C　) A． x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1 随堂练习2 直线y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)如图所示，则关于x的不等式kx＋b>0的解集为(　D　) A． x>0 B．x<0 C．x>2 D．x<2 随堂练习3 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ B ） A．x＞-2  B．x＜-2 C．x＞-1     D．x＜-1 随堂练习4 如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 x=2 .   随堂练习5 如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b＜0的解集是　x＜－3　. 随堂练习6 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，利用图象解决下列问题． （1）关于x的方程kx＋b＝0的解是___x＝2_____； （2）关于x的方程kx＋b＝2的解是___x＝1_____； （3）关于x的方程kx＋b＝4的解是___x＝0_____． 随堂练习7 如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点坐标为(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)，则关于x的不等式组0<kx＋b<3的解集是___0<x<2___． 随堂练习8 如图是一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象，根据图象信息求关于x的方程kx+b=4的解. 解:由图象求得一次函数解析式为y=x+1. 令y=x+1=4， 解得x=3， 即方程kx+b=4的解是x=3. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式 教学目标： 1.理解一次函数与一元一次方程、不等式之间的关联，能用函数观点解释方程和不等式的解； 2.掌握通过函数图象求解方程和不等式的方法，发展几何直观能力； 3.经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想. 教学重点：理解一次函数与方程、不等式的关系，能够从函数图象的角度解释方程的解和不等式的解集； 教学难点：理解一次函数与方程、不等式的关系，能够从函数图象的角度解释方程的解和不等式的解集. 活动一、复习导入 方程（组）、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程（组）和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题. 先来研究一次函数与一元一次方程的关系. 问题1：一元一次方程和一元一次不等式的概念是什么？ 活动二、探究新知1： 探究1.一次函数与一元一次方程 思考： 如图，一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？ 一次函数y=2x-1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0. 由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解是x=0.5. 思考： （1） 对于2x-1=0 和y=2x-1，从形式上看，有什么相同和不同？ （2） 从问题本质上看，2x-1=0和y=2x-1有什么关系？ 图象哪一个点的坐标表示函数值为0? 小结： 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑,相当于已知直线y=ax+b,求它与x轴交点的横坐标. 一次函数与一元一次方程的关系： 探究2.一次函数与一元一次不等式 思考： 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？ 由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1＞0与2x-1＜0的解集吗？ 如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x＞0.5； 当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x＜0.5. 由此得出不等式2x-1＞0的解集是x＞0.5，2x-1＜0的解集是x＜0.5. 小结： 对于可化为 ax+b＞0或 ax+b＜0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线 y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 一次函数与一元一次不等式的关系： 活动三、典例分析 例1 当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8. 【练一练1】直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=______ . 【练一练2】若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,____）. 【练一练3】已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( ) 例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 注： 利用图象法解一元一次不等式的一般步骤： ①将不等式转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0) 的形式； ②画出函数图象并确定函数图象与x轴的交点坐标； ③根据函数图象确定对应不等式的解集. 知识点一（一次函数与一元一次方程的关系） 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 知识点二（一次函数与一元一次不等式的关系） 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 活动四、随堂检测 随堂练习1 已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是(　 　) A． x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1 随堂练习2 直线y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)如图所示，则关于x的不等式kx＋b>0的解集为(　 　) A． x>0 B．x<0 C．x>2 D．x<2 随堂练习3 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（ ） A．x＞-2  B．x＜-2 C．x＞-1     D．x＜-1 随堂练习4 如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是________.   随堂练习5 如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式kx+b＜0的解集是________. 随堂练习6 已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，利用图象解决下列问题． （1）关于x的方程kx＋b＝0的解是________； （2）关于x的方程kx＋b＝2的解是________； （3）关于x的方程kx＋b＝4的解是________． 随堂练习7 如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点坐标为(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，3)，则关于x的不等式组0<kx＋b<3的解集是______． 随堂练习8 如图是一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象，根据图象信息求关于x的方程kx+b=4的解. 活动五、课堂总结 学科网（北京）股份有限公司 $