8.2三角形的内角和与外角和（第1课时）-课件 2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

三角形的内角和 1 （一）情境导入 小学时研究三角形内角和用了什么方法吗？ 三角形的内角和到底是多少度呢？ （一）情境导入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°． （一）情境导入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°． 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢？ 折叠 2 1 剪拼 （二）新知探究 1. 回忆旧知，提出猜想 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 还有其他的拼接方法吗？ 拿出三角形纸片，用剪拼法再验证一次，说说你是怎么拼接的，过程中有什么失误点 （二）新知探究 1. 回忆旧知，提出猜想 从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？能不能借助一些几何图形的性质，来证明三角形的内角和是180°？ （二）新知探究 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 合作要求： ①说一说你的思路； ②规范整理证明过程； （二）新知探究 已知：△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证法1：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA，所以 ∠A =∠1， (两直线平行，内错角相等) ∠B =∠2. (两直线平行，同位角相等) 又因为∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， 所以 ∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 （二）新知探究 已知：△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C=180°． 证法2：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1． (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2． (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°． 1 2 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. 所以∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠AED +∠EDF = 180° (两直线平行，同旁内角相补). 所以 ∠A = ∠EDF. 因为∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， 所以 ∠C +∠A +∠B = 180°. （二）新知探究 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心思想是什么？ （二）新知探究 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 同学们还有其他的方法吗？ 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 B A C E 1 证法4：过点A作AE∥BC， ∴∠B=∠1． (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠C=180°． (两直线平行,同旁内角互补) ∵∠BAC+∠1=∠EAC ∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换) （二）新知探究 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ （二）新知探究 能力提升 2.合作探究推理证明，多种方法严谨验证 （二）新知探究 3.几何画板动态演示 验证一般性 ∴∠A+∠B+∠C=180° 在△ABC中， 几何语言： ∴∠A=180–∠B–∠C ∠B=180–∠A–∠C ∠C=180–∠A–∠B. 三角形三个内角的和等于180° （二）新知探究 4.总结三角形内角和定理： （二）新知探究 1.求出下列各图中的x值． x°=180°-70°-40°=70° x=60 x=30 x=50 特殊三角形 等边三角形，每个内角60° 直角三角板的角之间有怎么的特殊数量关系？ 由三角形的内角和等于180°，得 ∠A + ∠B+∠C=180° 由此可以推出 ∠A + ∠B=180°-∠C =90° 即∠A与∠B互余 （二）新知探究 5.直角三角形内角的数量关系 思考：在直角三角形ABC 中，∠C=90° ∠A与∠B有什么关系？ 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC 表示方法： 在Rt△ABC 中，∵　∠C =90°，∴　∠A +∠B =90°．　 这就是说，直角三角形的两个锐角互余 （三）典例解析 例1 AD是△ABC的边 BC上的高， ∠1=45°，∠C =65°.求∠BAC的度数 （三）典例解析 例1 AD是△ABC的边 BC上的高， ∠1=45°，∠C =65°.求∠BAC的度数 解： 在Rt△ABD 中 ∵∠1+∠B =90°(直角三角形的两个锐角互余) ∴∠B = 90°- ∠1= 90°-45°= 45°(等式性质). 在△ABC中 ∠B +∠C+∠BAC =180°(三角形的内角和等于180°) ∴∠BAC = 180°-∠B -∠C= 180°-45°-65°= 70° 方法总结 已知两角求第三角用内角和定理； 遇到直角三角形，可先利用“锐角互余”简化计算。 （三）典例解析 易错点：容易混淆角的位置，比如误把∠1当成∠BAC的一部分，计算时要注意对应关系。 （三）典例解析 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余，反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 思考 两个角互余的三角形是直角三角形 由三角形内角和等于180°，容易得出下面的结论： （四）巩固练习 1.如图，∠A=40°，则∠1+∠2+∠3+∠4=______。 280° 在左边的小三角形中，∠1+∠2=180°-40°=140°； 在右边的小三角形中，∠3+∠4=180°-40°=140°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°。 2.在△ABC中，∠A+∠B=80°，∠C=2∠B，求∠A、∠B和∠C的度数。 解答：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=80°， 所以∠C=180°-80°=100°。 又因为∠C=2∠B，所以∠B=100°÷2=50°，∠A=80°-50°=30°。 3.在△ABC中，∠B=∠A+30°，∠C=∠B+30°，求△ABC的各内角的度数。 解答：设∠A=x，则∠B=x+30°，∠C=x+30°+30°=x+60°。因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+(x+30°)+(x+60°)=180°，3x+90°=180°，3x=90°，x=30°。所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。 4.如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. ∴∠CFD＝∠AFE＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 建筑工人在安装三角形屋顶支架时，已知其中两个角分别是30°和60°，请你利用三角形内角和定理，说明这个支架的形状，并解释为什么这样的支架更稳固。 拓展任务 （五）文化拓展 （五）文化拓展 （六）课堂总结 猜想 实验 推理 应用 平行线性质 三角形内角和 直角三角形性质 三角形 三角形三边关系、相关线段 定义 性质 应用 多边形 多边形内角和 定义 性质 应用 谢谢观看 Thank you Lavf58.46.101 $